В обеих частях закрытого горизонтального цилиндра (8 видео)

2018-04-16
Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра находится легкоподвижный поршень. Первоначально поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом $V_ $, в которых находится идеальный газ одинаковой температуры и под одним и тем же давлением $p_ $. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно двигая поршень, изотермически увеличить объем одной части газа в $\eta$ раз по сравнению с объемом другой части?

Пусть сила переместить поршень вправо на $x$. В равновесном положении

Работа, выполняемая силой в бесконечно малом изменении $dx$,

$F_ dx = (p_ — p_ ) Sdx = (p_ — p_ ) dV$.

Учитывая $pV = const$ для двух частей,

$p_ (V + Sx) = p_ V_ $ и $p_ (V_ — Sx) = p_ V_ $

Когда объем левой части в $\eta$ раз больше объема правой части

$(V_ + V) = \eta (V_ — V)$, или, $V = \frac V_ $
$A = \int_ ^ (p_ — p_ )dV = \int_ ^ \frac V_ V > ^ — V^ > dV = — p_ V_ [ln(V_ ^ — V^ ) ]_ ^ = — p_ V_ [ ln (V_ ^ — V^ ) — ln V_ ^ ] = — p_ V_ \left [ ln \left ( V_ ^ — \left ( \frac > \right ) V_ ^ \right ) — ln V_ ^ \right ] = — p_ V_ \left ( ln \frac > \right ) = p_ V_ ln \frac > $

Содержание

В обеих частях закрытого горизонтального цилиндра
Разделы
Дополнительно
Задача по физике — 14940
Задача по физике — 14941
Задача по физике — 14942
Задача по физике — 14943
Задача по физике — 14944
Задача по физике — 14945
Задача по физике — 14946
Задача по физике — 14947
Задача по физике — 14968
Задача по физике — 14969
Задача по физике — 14970
Задача по физике — 14981
Задача по физике — 14982
Задача по физике — 14983
Задача по физике — 15010
Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра имеется тонкий поршень
Условие задачи:
Решение задачи:
Ответ: 0,65.
Скрытые «пружины»
🔥 Видео

Видео:19. Уроки рисования. Построение горизонтального цилиндра.Скачать

В обеих частях закрытого горизонтального цилиндра

Видео:горизонтальный цилиндр с отверстиямиСкачать

Разделы

Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать

Дополнительно

Задача по физике — 14940

Внутри закрытого с обоих торцов горизонтального цилиндра находится в равновесии тонкий поршень. С одной стороны поршня находится $m_ = 2 г$ водорода, с другой — $m_ = 14 г$ азота. Какую часть объема цилиндра занимает азот, если температуры газов одинаковы? Молярная масса водорода $\mu_ = 0,002 кг/моль$, азота — $\mu_ = 0,028 кг/моль$.

Задача по физике — 14941

Закрытый с обоих торцов горизонтально расположенный цилиндрический сосуд разделен подвижным поршнем на две части, объемы которых относятся как один к двум. Температура газа в обеих частях одинакова и равна $T_ = 300 К$. До какой температуры нужно нагреть газ в сосуде меньшего объема, чтобы отношение объемов изменилось на обратное? Поршень и сосуд теплоизолированы.

Задача по физике — 14942

Сосуд объемом $V = 20 л$ содержит смесь водорода и гелия при температуре $t = 20^ С$ и давлении $p = 2 атм$. Масса смеси $m = 5 г$. Найти отношение массы водорода к массе гелия в смеси. Молярная масса водорода $\mu_ = 2 \cdot 10^ кг/моль$, гелия — $\mu_ = 4 \cdot 10^ кг/моль$.

Задача по физике — 14943

В сосуде находится идеальный двухатомный газ. Под действием ультрафиолетового излучения распалось на атомы $\alpha = 12$% молекул и после этого установилось давление $p = 93 кПа$. Определить первоначальное давление в сосуде. Температуру газа считать постоянной.

Задача по физике — 14944

Во сколько раз изменится давление двухатомного идеального газа в сосуде, если при той же температуре треть молекул распадется на атомы?

Задача по физике — 14945

Стеклянная трубка длиной $L_ $ наполовину погружена в ртуть. Ее закрывают пальцем и вынимают. При этом часть ртути вытекает. Какова длина столбика ртути, оставшегося в трубке? Атмосферное давление равно $H$ мм. рт. ст.

Задача по физике — 14946

Идеальный газ расширяется по закону: $pV^ = const$, и его объем увеличивается в $n = 3$ раза. Найти первоначальную температуру $T_ $, если после расширения его температура $T_ = 100 К$.

Задача по физике — 14947

С идеальным газом происходит процесс: $V = \alpha T^ $. Температура газа при этом увеличилась в $n = 5$ раз. Определить конечное давление, если начальное давление газа равно $p_ = 105 Па$.

Задача по физике — 14968

В вертикальном теплоизолированном цилиндре под поршнем находится некоторое количество гелия при температуре $T_ = 240 К$. На поршне лежит груз массой, равной половине массы поршня. Груз мгновенно убирают и дожидаются прихода системы к равновесию. Чему станет равна температура газа? Трением и теплообменом пренебречь, над поршнем газа нет.

Задача по физике — 14969

В высоком теплоизолированном цилиндре под тонким массивным поршнем находится одноатомный идеальный газ. Над поршнем на некоторой высоте удерживают груз, масса которого равна массе поршня. Груз отпускают, и он падает на поршень. Через некоторое время после абсолютно неупругого удара система приходит в равновесие. Оказалось, что поршень в конце находится на той же высоте, что и в начале. Во сколько раз начальная высота груза над дном сосуда больше высоты поршня? Трением и теплообменом пренебречь, над поршнем газа нет.

Читайте также: Форд куга 5 цилиндров замена грм

Задача по физике — 14970

В длинном горизонтальном цилиндре между двумя одинаковыми поршнями находится $\nu = 0,1$ моль гелия. В начальный момент один поршень покоится, а другой приближается к нему со скоростью $v = 12 м/с$. На сколько градусов максимальная температура газа больше начальной? Массы поршней $m = 415 г$. Трением между поршнями и цилиндром и теплообменом пренебречь, за поршнями газа нет.

Задача по физике — 14981

Два одинаковых сосуда соединены тонкой трубкой. Система наполнена газом и находится при температуре $27^ С$. Температуру одного из сосудов увеличилина $33^ С$. На сколько градусов надо уменьшить температуру другого сосуда, чтобы давление в системе не изменилось?

Задача по физике — 14982

При повышении температуры азота, заключенного в закрытый сосуд, от $7^ С$ до $1407^ С$ третья часть молекул азота распалась на атомы. Но сколько раз при этом возросло давление газа?

Задача по физике — 14983

В закрытом сосуде при температуре $100^ С$ находится влажный воздух под давлением 1,5 атм. После того как объем сосуда изотермически уменьшили в 3 раза, давление возросло до 4,3 атм. Чему была вначале равна относительная влажность? Объемом сконденсировавшейся воды пренебречь.

Задача по физике — 15010

В стоящем на столе вертикальном цилиндре под поршнем массой $M$ и площадью $S$ содержится один моль гелия. С помощью спирали, находящейся внутри цилиндра, газ начинают медленно нагревать, при этом поршень сразу начинается подниматься. Модуль силы трения поршня о цилиндр равен $F$. Пренебрегая теплообменом с внешней средой и теплоемкостью поршня с цилиндром, найдите теплоемкость $C$ системы «цилиндр-поршень-газ». Атмосферное давление равно $p_ $.

Видео:Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра имеется тонкий поршень

Видео:Объём цилиндраСкачать

Условие задачи:

Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра имеется тонкий поршень, который может скользить в цилиндре без трения. С одной стороны поршня находится водород массой 3 г, с другой – азот массой 23 г. Какую часть объема цилиндра занимает водород?

Задача №4.2.92 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Решение задачи:

Давления водорода и азота будут одинаковыми, поскольку в противном случае поршень пришёл бы в движение и двигался до тех пор, пока давление в обеих частях цилиндра не станет одинаковым.

Температура газов также одинакова, так как в условии не сказано, что поршень теплоизолированный.

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для водорода и азота:

Здесь $M_1$ – молярная масса водорода, равная 0,002 кг/моль, а $M_2$ – молярная масса азота, равная 0,028 кг/моль.

Поделим нижнее уравнение на верхнее, тогда получим:

Сумма объемов частей цилиндра, занимаемых газами ($V_1$ и $V_2$), равна общему объему цилиндра, то есть:

Учитывая выражение (1), получим:

Приведём в левой части равенства под общий знаменатель:

Тогда искомое отношение равно:

Переведём массы газов в систему СИ и произведём вычисления:

Видео:Парадокс сужающейся трубыСкачать

Ответ: 0,65.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Видео:Расчет объема жидкости в неполной ёмкости (цистерне) цилиндрической формы в Excel. Часть 2.Скачать

Скрытые «пружины»

В школьном курсе физики изучаются два вида механических колебательных систем: математический и пружинный маятники. Сравнение и анализ уравнений колебаний в этих системах позволяют сделать вывод: колебания в обоих случаях являются гармоническими, т.е. происходят по законам синуса или косинуса (впоследствии этот вывод обобщается и на электромагнитные колебания в колебательном контуре):

где m – масса колеблющегося тела, a – его ускорение, g – ускорение свободного падения, l – длина маятника, x – смещение тела от положения равновесия, k – коэффициент жесткости пружины. Оба уравнения можно записать в общем виде:

где w ₀ – собственная циклическая частота колебаний. Как видим, ускорение при гармонических колебаниях прямо пропорционально величине смещения тела от положения равновесия. Знак «–» указывает на то, что направление смещения тела от положения равновесия и направление действия возвращающей силы противоположны.

Хотя далеко не все механические колебательные системы представляют собой в явном виде пружинный или математический маятники, многие из них можно представить как их комбинацию. Другими словами, любые механические колебания, в которых возвращающая сила прямо пропорциональна величине смещения колеблющегося тела от положения равновесия, происходят по гармоническому закону. Такие возвращающие силы называют квазиупругими. В общем случае период колебаний можно рассчитывать по формуле или если определиться, что в каждом конкретном случае будет играть роль массы колеблющегося тела, что – роль жесткости пружины («гравитационной», «пневматической», «гидравлической», «фрикционной» и т.п.), что — длины маятника.

Задачи на выявление аналогий с пружинным или математическим маятником встречаются в сборниках задач, но к сожалению, только по одной-две, что не позволяет учащимся выработать системный подход к их решению. Вот и приходится учителю листать задачники, в основном старые, изданные лет 20–30 назад. Приведем несколько задач и их решения в общем виде.

Читайте также: В вертикальном цилиндре под поршнем находится 1 моль идеального газа

Задача 1. По внутренней поверхности полусферической чаши радиусом кривизны R свободно скользит маленький шарик. Найдите период его малых колебаний.

Итак, выполним рисунок и покажем на нем силы, под действием которых происходит движение (рис. 1). Малость размеров шарика позволяет считать его материальной точкой. Видно, что «расстановка» сил и их действие такие же, как в случае математического маятника, с тем лишь отличием, что

вместо силы натяжения нити действует сила реакции опоры. Применяем закон колебаний математического маятника, заменяя в формуле для периода колебаний длину маятника на радиус чаши:

Задача 2. Вблизи поверхности Земли прорыт сквозной прямой туннель. В нем проложили рельсы и пустили вагонетку, которая движется без сопротивления. Каким будет период свободных колебаний вагонетки (от одного выхода туннеля до другого и обратно)? Радиус Земли равен R.

Слова «вблизи поверхности» позволяют считать, что расстояние от центра Земли до вагонетки практически постоянно и равно R и что амплитуда колебаний мала по сравнению с ним (рис. 2). Проведем координатную ось x и отметим на ней положение равновесия вагонетки – точку O (рис. 3). Покажем силы, действующие на вагонетку в какой-либо произвольной точке x.

Оказывается, и эта ситуация сводится к математическому маятнику, а сила тяготения играет роль силы натяжения нити. Но для описания характера движения не важна природа действующих сил, главное, что их равнодействующая F направлена вдоль туннеля к положению равновесия и пропорциональна смещению. Итак, мысленно перевернув систему, считаем ее подобной математическому маятнику и применяем формулу .

Проверим наш подход математически. Запишем векторное уравнение для равнодействующей силы:

Вдоль координатной оси Оx:

С другой стороны, угол a можно связать и с расстояниями. Учитывая что мы «перевернули» вагонетку, получим: Подставив это выражение в предыдущее, получим: Отметим, что ускорение прямо пропорционально смещению вагонетки от положения равновесия (координате x). Это очень важно, поскольку именно этот факт позволяет нам считать колебания вагонетки гармоническими с периодом

Задача 3. В U-образную стеклянную трубку постоянной площадью поперечного сечения S налита ртуть массой m. Плотность ртути r. Найдите период колебаний ртути после того, как трубку качнули.

Сначала, как обычно, выполним схематический рисунок, на котором покажем начальные уровни столбов ртути в обоих коленах трубки, а также (пунктиром) положения этих уровней при наклоне (рис. 4). Величину отклонения обозначим x. Как известно, при открытых обоих коленах уровни в них в равновесии равны, т.к. равны их гидростатические давления (давления pА и pВ на дно соответственно в точках А и В). Если

уровни жидкости в коленах оказались разными, то возникает разность давлений и сила, стремящаяся возвратить жидкость в равновесное состояние.

Пусть в некоторый момент в левом колене высота столба ртути уменьшилась на величину x, а в правом – на столько же возросла. Возникла разность гидростатических давлений:

Отсюда находим численное значение возвращающей силы F, учитывая, что направление смещения столбика ртути в колене противоположно направлению действия этой возвращающей силы:

С другой стороны, согласно второму закону Ньютона F = ma, где m – масса тела, на которое действует сила. Возвращающая сила благодаря силам межмолекулярного взаимодействия действует на все количество ртути, находящейся в трубке, т.е. в данном случае m – масса всей ртути. Отсюда:

Важно, что в полученном выражении возвращающая сила прямо пропорциональна смещению x, т.е. колебания будут гармоническими. Величина 2rgS играет роль коэффициента жесткости «гидравлической» пружины. Поэтому окончательное выражение для периода:

Перейдем к другому примеру «гидравлической» пружины, действие которой обусловлено не разницей гидростатических давлений, а действием выталкивающей (архимедовой) силы и силы тяжести.

Задача 4. На поверхности воды плотностью r плавает бутылка массой m и площадью поперечного сечения S. Найдите период свободных вертикальных колебаний бутылки при условии, что в воде находится только ее цилиндрическая часть (т.е. горлышко в воду не погружается).

Начинаем, разумеется, с рисунков. На левом покажем бутылку в равновесном положении, глубину ее погружения h и действующие на бутылку силы (рис. 5, a), на правом – бутылку в «притопленном» на глубину x положении (рис. 5, б).

В начальном (равновесном) положении:

В «притопленном» положении на бутылку действует такая же сила тяжести и возросшая архимедова сила F_А ‘ , т.к. увеличился объем погруженной части бутылки. Равнодействующая этих сил не равна нулю и направлена вверх. Следовательно:

Подставив в это выражение формулу (3), получаем:

Выразим величины сил F_А и F_А ‘ через объем погруженной части бутылки. Так как она имеет форму цилиндра c основанием S, то в равновесном состоянии объем погруженной части V = Sh, а в «притопленном» V ‘ = S(h + x). Соответственно силы равны:

После подстановки этих выражений в формулу (4), получим:

При расчете объема мы учитывали только модуль x. Поскольку направление дополнительного погружения бутылки противоположно направлению действия равнодействующей силы, запишем:

Снова ускорение прямо пропорционально величине смещения тела от положения равновесия, т.е. колебания гармонические. Величина r gS выполняет функцию коэффициента жесткости «гидравлической» пружины (k = r gS). Отсюда:

Задача 5. Цилиндрический сосуд длиной 2l расположен горизонтально. Посередине цилиндра находится в равновесии тонкий легкоподвижный поршень массой m и площадью S. Справа и слева от поршня давление воздуха составляет p₀. Найдите период малых колебаний поршня.

Возникает вопрос: а как этих колебаний добиться, ведь поршень находится внутри закрытого сосуда? Ответ: например, встряхнув цилиндр. Далее, обратим внимание на то, что речь идет о колебаниях малой амплитуды, что позволяет считать колебательный процесс в обоих отсеках сосуда изотермическим и применить закон Бойля–Мариотта. [При реальных значениях параметров колебания, так же как и при распространении звука в воздухе, будут адиабатическими. Изотермичность колебаний необходимо дополнительно ввести в условие задачи. – Ред.] Затем, поскольку поршень тонкий, можно считать начальную длину каждого отсека равной l – половине длины всего цилиндра. Наконец, поршень, по условию, движется легко, т.е. трения между поршнем и стенками сосуда нет.

Решение начинаем, как обычно, с рисунков. На рис. 6, а покажем цилиндр при равновесном положении поршня, обозначим длины отсеков и давление газа в них, на рис. 6, б – цилиндр со смещенным на расстояние x поршнем и давления газа в отсеках.

Применим закон Бойля–Мариотта к газу в левом отсеке:

где V₀ = lS – объем левого отсека при равновесном положении поршня, V₁ = (l – x)S – при смещенном. Выполнив те же действия для правого отсека, получаем:

Читайте также: Замена цилиндра суппорта лачетти передние

Наличие возвращающей силы обусловлено разностью давлений газа слева и справа от поршня. Эту силу согласно второму закону Ньютона можно связать с ускорением, сообщаемым поршню:

Выражая p₁ из уравнения (2) и подставляя его в выражение (3), получаем:

Аналогично, выражая p₂ из уравнения (1) и подставляя его в (3):

Вспомним, что колебания малые: если x мало, то x 2 – малая величина, которой можно пренебречь на фоне l 2 :

Сделаем еще один шаг: поскольку направления возвращающей силы F и смещения противоположны, то в одну из частей последнего равенства добавим «–»:

т.е. и в этой колебательной системе ускорение прямо пропорционально координате. Сравнение этого уравнения с уравнением колебаний груза на пружине позволяет сделать вывод, что величинаиграет роль коэффициента жесткости «пневматической» пружины для поршня массой m. Период малых колебаний поршня равен

Наконец рассмотрим самую сложную задачу — про «фрикционную пружину».

Задача 6. Два одинаковых ролика вращаются с одинаковой угловой скоростью в противоположные стороны. Ролик слева – по часовой стрелке, ролик справа – против часовой стрелки. Оси вращения роликов лежат в горизонтальной плоскости, расстояние между ними l. На ролики положена доска, коэффициент трения которой о ролики равен m. Изначально центр доски находился на одинаковом расстоянии от осей роликов. Если ролики начнут вращаться одновременно, то доска останется в равновесии (в состоянии покоя). Но если доску чуть-чуть подтолкнуть вдоль ее длины, то она начнет совершать колебания на роликах в горизонтальной плоскости. Найдите период этих колебаний.

Итак, изобразим эту систему и обозначим силы при равновесном положении доски (рис. 7). Сила тяжести mg компенсируется силами реакции опор N₁ и N₂. Если доску сдвинуть на расстояние x, то нагрузка на ролики перераспределится. Ролик с большей нагрузкой будет действовать на доску с большей силой трения, ролик с меньшей нагрузкой – с меньшей; в результате доска начнет двигаться в направлении, обратном смещению. Она по инерции пройдет положение равновесия, нагрузка на ролики вновь перераспределится, и теперь уже другой ролик заставит доску двигаться в обратную сторону и т.д. Возникнут колебания.

Рассмотрим смещенное положение доски. Пусть x – величина смещения в какую-либо сторону (рис. 8). Для определения сил реакции опор покажем плечи этих сил и плечи силы тяжести относительно точек O₁ и O₂

(см. верхнюю часть рисунка). Как известно, если тело не вращается, то алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на него, равна нулю (отсчитывать моменты можно относительно любой точки, если векторная сумма сил, создающих эти моменты, равна нулю. Это существенно):

Найдем отсюда силы реакции опор:

Поскольку при смещении равновесие доски нарушилось, то:

Величина силы трения (скольжения) зависит от силы реакции опоры: F_тр = m N. Так как N₁ > N₂, то F_тр1 > F_тр2. Следовательно, вектор ускорения a направлен в ту же сторону, что и вектор F_тр1. Поэтому при проецировании последнего векторного равенства на ось x, получается:

Выражая силы трения через соответствующие силы реакции опор, находим:

Подставляя эти выражения в (4) для расчета ускорения и упрощая, имеем:

С учетом направления смещения x (оно противоположно направлению возвращающей силы) получаем уравнение:

которое указывает на гармонический характер колебаний доски на роликах.

Сравнивая его с уравнением колебаний груза на пружине мы видим, что играет роль откуда период колебаний

Разумеется, множество задач на «скрытые пружины» не исчерпывается приведенными выше, но наша цель состояла в выработке системного подхода к их решению. Будем надеяться, что кто-нибудь из читателей продолжит этот список.