В осевом сечении равностороннего цилиндра лежит (2 видео)

Методическая разработка «Тела и поверхности вращения»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Методическая разработка по теме

«Тела и поверхности вращения»

РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………………. …3-11

РАЗДЕЛ 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………..………..12-33

Практическая работа №1: Решение задач по теме «Цилиндр»………12-16

Практическая работа №2: Решение задач по теме «Конус»………..…17-20

Практическая работа №3: Решение задач по теме «Усеченный конус»……………………………………………………………………..….21-23

Практическая работа №4: Решение задач по теме «Нахождение частей сферы и шара»………………………………………………………..……..23-26

Практическая работа №5: Решение задач по теме «Уравнение сферы»………………………………………………………………..………26-29

РАЗДЕЛ 3. ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «Тела и поверхности вращения»……………………………………………………30-33

РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Определение 1: Цилиндр – это фигура, образованная вращением прямоугольника вокруг одного из его катетов (рис. 1).

Окружности, получаемые при вращении, называются основаниями цилиндра, а прямые их соединяющие – образующими. Прямая, которая проходит через центры окружностей оснований называется осью цилиндра, а совокупность всех образующих – боковой поверхностью цилиндра. Величина называется высотой цилиндра и равна по длине всем его образующим, а – радиусом цилиндра.

прямой цилиндр наклонный цилиндр

Определение 2: Цилиндр, у которого все образующие перпендикулярны к плоскостям, проходящим через основания, называется прямым . В противном же случае он является наклонным (рис. 2).

Рис. 2. Прямой и наклонный цилиндры.

Площадь поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра определяется следующим образом:

Найдем теперь формулы для вычисления площадь боковой поверхности и основания.

Так как в основании лежат круги, то очевидно, что

Теорема 1: Площадь боковой поверхности цилиндра определяется как произведение длины окружности, ограничивающей основание цилиндра на его высоту.

Сечение, параллельное осевому сечению

Замечание: цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, называется равносторонним цилиндром.

Какой цилиндр называется равносторонним?

Какие фигуры могут получаться в сечении цилиндра?

Какой цилиндр называется прямым? Наклонным?

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра?

Чему равна площадь полной поверхности цилиндра?

Лекция 2 . Конус. Усеченный конус.

Определение 1: Конус – это фигура, образованная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (рис. 1).

Круг, из которого составлен конус, называется основанием конуса, r – радиус конуса, точка, не лежащая в плоскости основания – вершиной конуса, прямые, соединяющие вершину с окружностью основания – образующими конуса ( l ), а совокупность всех образующих – боковой поверхностью конуса, а отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания – вершиной конуса ( h ).

Площадь поверхности конуса.

Площадь поверхности цилиндра определяется следующим образом:

Найдем теперь формулы для вычисления площадь боковой поверхности и основания.

Так как в основании лежит круг, то очевидно, что

Теорема 1: Площадь боковой поверхности конуса определяется как половина произведения длины окружности, ограничивающей основание конуса на его образующую.

Определение 2: Усеченный конус – это часть конуса, заключенная между основанием конуса и секущей плоскостью, параллельной основанию (рис. 2).

Теорема 2: Площадь боковой поверхности усеченного конуса определяется как произведение полусуммы длин окружностей, ограничивающих основания на образующую.

Какой конус называется равносторонним?

Что такое усеченный конус?

Какие фигуры могут получаться в сечении конуса?

Чему равна площадь боковой поверхности конуса? Усеченного конуса?

Чему равна площадь полной поверхности конуса? Усеченного конуса?

Определение 1: Сфера – геометрическая фигура в пространстве, состоящая из всех точек, расположенных на равном расстоянии R (радиус сферы) от заданной точки О (центр сферы) (Рис. 1).

Выведем уравнение сферы в системе координат с тремя измерениями. Пусть центр сферы имеет координаты , а радиус сферы равен . Пусть точка с координатами – произвольная точка этой сферы (рис. 2).

Расстояние от центра сферы до точки вычисляется следующим образом

Но, так как лежит на окружности, то по определению 3, получаем . Тогда получим следующее

Уравнение (1) – искомое нами уравнение.

Также можно выделить частный случай для уравнения сферы. Если центр сферы лежит вначале координат, то она имеет следующий вид уравнения:

Площадь сферы определяется следующей формулой:

Определение 2: Шар – геометрическая фигура, ограниченная какой либо сферой, включая саму сферу.

Сечением сферы является окружность (рис. 3)

Если секущая плоскость не проходит через центр сферы, то радиус сечения меньше радиуса сферы.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Плоскость сечения, проходящая через центр сферы имеет наибольший радиус и называется большим кругом сферы.

Плоскость большего круга сферы – это плоскость симметрии шара.

Радиусы сечений сферы, равноудаленных от центра сферы, равны.

Определение 3. Плоскость, имеющая со сферой только одну точку, называется касательной плоскостью к сфере (рис. 4).

Читайте также: Как почистить цилиндр бензопилы

Теорема 1: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и касательной плоскости, перпендикулярен данной плоскости.

Справедлива обратная теорема.

Теорема 2: если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной плоскостью к сфере.

Шаровой сегмент – часть шара, отсекаемая плоскостью (рис. 5).

Аналогично определяется понятие сферического сегмента.

Площадь сферического сегмента называется шаровым сводом и находится по формуле

Шаровой слой – часть шара, заключенная между параллельными секущими плоскостями (рис. 6).

Сферическая поверхность шарового слоя называется сферическим поясом. Его площадь вычисляется по формуле

Шаровой сектор – часть шара, образованная вращением кругового сектора вокруг оси, проходящей через его центр (рис. 7).

Площадь поверхности шарового сектора определяется по формуле

Как выглядит уравнение сферы в декартовой системе координат?

Что такое шаровой сегмент? Шаровой сектор? Шаровой слой?

Какие фигуры могут получаться в сечении сферы?

Чему равна площадь боковой поверхности сферы и ее частей?

Что такое касательная плоскость к сфере?

Сформулируйте теоремы о касательной плоскости к сфере.

РАЗДЕЛ 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Практическая работа №1: Решение задач по теме «Цилиндр»

№ 510 (Сборник задач, Богомолов Н.В.)

В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 60 градусов. Высота цилиндра равна 15 см, расстояние от секущей плоскости до оси цилиндра равно 3 см. Вычислите площадь сечения.

Так как сечение – это прямоугольник, то его площадь находится следующим образом

Рассмотрим треугольник .Здесь

– радиусы цилиндра. Угол – является центральным углом окружности основания цилиндр а, а значит равен дуге , на которую опирается, то есть .

Видео:Объём цилиндраСкачать

Следовательно, треугольник равносторонний треугольник. Отрезок является высотой и медианой, а значит и треугольник –прямоугольный треугольник с прямым углом Н . По теореме Пифагора

№ 517 (Сборник задач, Богомолов Н.В.)

Площадь боковой поверхности цилиндра составляет половину площади его полной поверхности, диагональ осевого сечения равна 5. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Напомним формулы площадей полной и боковой поверхностей цилиндра

Так как , то получим следующее:

Рассмотрим треугольник . По теореме Пифагора

Задачи для закрепления материала:

Решить из сборника задач Богомолова Н.В. следующие задачи: №507, №515, №518 и №519.

Задания для самостоятельного решения (по вариантам).

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: БуквыА-В 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант , Буквы П-С – 5 вариант , Буквы Т-Ц – 6 вариант , Буквы Ч-Я – 7 вариант.

№ 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 13 см. а высота равна 12 см. Вычислить площадь основания цилиндра.

№ 2. Радиус основания цилиндра равен 15 см, его высота равна 10 см. Вычислить площадь сечения, параллельного осевому, проведенного от оси на расстоянии 9 см.

№ 3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 300. найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 4. Образующая равностороннего цилиндра равна 13 см. вычислить площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 5. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 7 см 24 см. Длина бокового ребра равна 7 см. вычислите площади осевых сечений вписанного и описанного около призмы цилиндров.

№ 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см. а высота равна 6 см. Вычислить площадь основания цилиндра.

№ 2. Радиус основания цилиндра равен 13 см, его высота равна 8 см. Вычислить площадь сечения, параллельного осевому, проведенного от оси на расстоянии 5 см.

№ 3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 220. найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 4. Образующая равностороннего цилиндра равна 22 см. вычислить площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 5. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 10 см 24 см. Длина бокового ребра равна 6 см. вычислите площади осевых сечений вписанного и описанного около призмы цилиндров.

№ 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см. а высота равна 8 см. Вычислить площадь основания цилиндра.

№ 2. Радиус основания цилиндра равен 5 см, его высота равна 12 см. Вычислить площадь сечения, параллельного осевому, проведенного от оси на расстоянии 4 см.

№ 3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 130. найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 4. Образующая равностороннего цилиндра равна 9 см. вычислить площадь боковой поверхности цилиндра.

Читайте также: Цилиндр вариатора барабана акрос 580

№ 5. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Длина бокового ребра равна 15 см. вычислите площади осевых сечений вписанного и описанного около призмы цилиндров.

№ 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 5 см. а высота равна 4 см. Вычислить площадь основания цилиндра.

№ 2. Радиус основания цилиндра равен 10 см, его высота равна 13 см. Вычислить площадь сечения, параллельного осевому, проведенного от оси на расстоянии 6 см.

№ 3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 110. найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 4. Образующая равностороннего цилиндра равна 4 см. вычислить площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 5. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см. Длина бокового ребра равна 14 см. вычислите площади осевых сечений вписанного и описанного около призмы цилиндров.

№ 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 5 см. а высота равна 3 см. Вычислить площадь основания цилиндра.

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

№ 2. Радиус основания цилиндра равен 10 см, его высота равна 14 см. Вычислить площадь сечения, параллельного осевому, проведенного от оси на расстоянии 8 см.

№ 3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 140. найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 4. Образующая равностороннего цилиндра равна 16 см. вычислить площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 5. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 12 см. Длина бокового ребра равна 8 см. вычислите площади осевых сечений вписанного и описанного около призмы цилиндров.

№ 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 13 см. а высота равна 12 см. Вычислить площадь основания цилиндра.

№ 2. Радиус основания цилиндра равен 5 см, его высота равна 5 см. Вычислить площадь сечения, параллельного осевому, проведенного от оси на расстоянии 3 см.

№ 3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 240. найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 4. Образующая равностороннего цилиндра равна 8 см. вычислить площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 5. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Длина бокового ребра равна 10 см. вычислите площади осевых сечений вписанного и описанного около призмы цилиндров.

№ 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 26 см. а высота равна 24 см. Вычислить площадь основания цилиндра.

№ 2. Радиус основания цилиндра равен 20 см, его высота равна 7 см. Вычислить площадь сечения, параллельного осевому, проведенного от оси на расстоянии 12 см.

№ 3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 120. найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 4. Образующая равностороннего цилиндра равна 10 см. вычислить площадь боковой поверхности цилиндра.

№ 5. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Длина бокового ребра равна 12 см. вычислите площади осевых сечений вписанного и описанного около призмы цилиндров.

Справочный материал за курс 9-ти летней школы для решения задачи 5.

Теорема 1: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности находится по формуле

где – катеты прямоугольного треугольника, а — его гипотенуза.

Теорема 2: Диаметр описанной около прямоугольного треугольника окружности равен гипотенузе прямоугольного треугольника.

Практическая работа №2: Решение задач по теме «Конус»

№ 526 (Сборник задач, Богомолов Н.В.)

Высота конуса равна Н, угол между высотой и образующей равен 30 градусов. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 60 градусов.

Сечением является треугольник. Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника через синус угла:

Так как две образующие конуса, то

Найдем .По определению косинуса, получим

№ 537 (Сборник задач, Богомолов Н.В.)

Площадь основания конуса составляет , а площадь его осевого сечения — , вычислите площадь его боковой поверхности.

Формула площади боковой поверхности

Так как осевое сечение – это треугольник с высотой то его площадь равна

Так как основание конуса – окружности, то его площадь равна

Найдем образующую по теореме Пифагора

Задания для закрепления материала.

Решить из сборника задач Богомолова Н.В. следующие задачи: №522, №523 и №525.

Видео:№523. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высотуСкачать

Задачи для самостоятельного решения (по вариантам).

Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-Д 1 вариант, Буквы Е-Л – 2 вариант, Буквы М-П – 3 вариант, Буквы Р-Ф – 4 вариант , Буквы Х-Я – 5 вариант.

№ 1. В равностороннем конусе (осевое сечение – равносторонний треугольник) радиус основания равен 6. Найти площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 30 градусов.

Читайте также: Блок цилиндров ямз 238нд3

№ 2. Образующая конуса равна 40 см и составляет с плоскостью основания угол в 60 градусов. Вычислите площадь основания конуса.

№ 3. Радиус конуса равен 2 см. Найдите радиус сечения конуса, параллельного основанию, которое делит высоту конуса в отношении 2:1.

№ 4. Через вершину конуса с высотой, равной 4 см, под углом 60 градусов к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая дугу, равную 90 градусов. Найдите площадь сечения.

№ 5. Площадь осевого сечения конуса равна 120 см.Образующая составляет с плоскостью основания угол в 45 градусов. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

№ 1. В равностороннем конусе (осевое сечение – равносторонний треугольник) радиус основания равен 4. Найти площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 30 градусов.

№ 2. Образующая конуса равна 50 см и составляет с плоскостью основания угол в 60 градусов. Вычислите площадь основания конуса.

№ 3. Радиус конуса равен 12 см. Найдите радиус сечения конуса, параллельного основанию, которое делит высоту конуса в отношении 5:1.

№ 4. Через вершину конуса с высотой, равной 2 см, под углом 60 градусов к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая дугу, равную 90 градусов. Найдите площадь сечения.

№ 5. Площадь осевого сечения конуса равна 100 см. Образующая составляет с плоскостью основания угол в 45 градусов. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

№ 1. В равностороннем конусе (осевое сечение – равносторонний треугольник) радиус основания равен 8. Найти площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 30 градусов.

№ 2. Образующая конуса равна 10 см и составляет с плоскостью основания угол в 60 градусов. Вычислите площадь основания конуса.

№ 3. Радиус конуса равен 10 см. Найдите радиус сечения конуса, параллельного основанию, которое делит высоту конуса в отношении 4:1.

№ 4. Через вершину конуса с высотой, равной 6 см, под углом 60 градусов к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая дугу, равную 90 градусов. Найдите площадь сечения.

№ 5. Площадь осевого сечения конуса равна 210 см. Образующая составляет с плоскостью основания угол в 45 градусов. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

№ 1. В равностороннем конусе (осевое сечение – равносторонний треугольник) радиус основания равен 3. Найти площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 30 градусов.

№ 2. Образующая конуса равна 20 см и составляет с плоскостью основания угол в 60 градусов. Вычислите площадь основания конуса.

№ 3. Радиус конуса равен 8 см. Найдите радиус сечения конуса, параллельного основанию, которое делит высоту конуса в отношении 2:1.

№ 4. Через вершину конуса с высотой, равной 3 см, под углом 60 градусов к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая дугу, равную 90 градусов. Найдите площадь сечения.

№ 5. Площадь осевого сечения конуса равна 180 см. Образующая составляет с плоскостью основания угол в 45 градусов. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

№ 1. В равностороннем конусе (осевое сечение – равносторонний треугольник) радиус основания равен 5. Найти площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 30 градусов.

№ 2. Образующая конуса равна 30 см и составляет с плоскостью основания угол в 60 градусов. Вычислите площадь основания конуса.

№ 3. Радиус конуса равен 6 см. Найдите радиус сечения конуса, параллельного основанию, которое делит высоту конуса в отношении 3:1.

№ 4. Через вершину конуса с высотой, равной 5 см, под углом 60 градусов к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая дугу, равную 90 градусов. Найдите площадь сечения.

№ 5. Площадь осевого сечения конуса равна 60 см. Образующая составляет с плоскостью основания угол в 45 градусов. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

Практическая работа №3: Решение задач по теме «Усеченный конус»

№ 535 (Сборник задач, Богомолов Н.В.)

Площади оснований усеченного конуса составляют 32 и 2. Высота разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. Найдите площади сечений.

Достроим усеченный конус, до конуса. Треугольники

Видео:№525. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания — 5 м2.Скачать