В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом
основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании
проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее
через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания
цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
Так как плоскость сечения пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения плоскостей будут параллельными, т.е AB параллельна MN.
Пункт А, на самом деле очень простой. Прямая CD перпендикулярна плоскости ABNM
\( (DMC)⊥(MNAB) \) — т.к Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости взаимно перпендикулярны.
\( AB=MN \) — это в принципе и так очевидно, т.к MN — проекция AB на плоскость основания, но можно доказать строго с помощью равенства соответствующих треугольников.
\( AN \) и \( BN \) — образующие цилиндра, значит они перпендикулярны плоскостям основания, в том числе прямой AB
\( ABNM \) — прямоугольник. А по свойству прямоугольника : его диагонали равны.
По условию \( DC⊥AB \) и еще \( DC⊥AN \) значит \( DC⊥(ABNM) \)
Вывод: \( CH \) — высота пирамиды
треугольник \( MON \) — равносторонний, так как по условию сторона равна радиусу.
\( OH=\frac > =3\sqrt \) — как высота правильного треугольника.
В основании прямого кругового цилиндра лежит
В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
Читайте также: Теплоизоляционные цилиндры для улицы
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
а) Для построения сечения опустим перпендикуляры AM и BN на второе основание цилиндра. Отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Отрезки AN и BM равны как диагонали прямоугольника, что и требовалось доказать.
б) Площадь прямоугольника ABNM равна 3 · 8 = 24. Пусть H — точка пересечения отрезков NM и CD. Отрезок OH равен Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен:
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В основании прямого кругового цилиндра лежит
В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
а) Так сечение перпендикулярно прямой CD, то оно перпендикулярно основанию цилиндра содержащему эту прямую. Для построения сечения опустим перпендикуляры AM и BN на второе основание цилиндра. Отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Диагонали прямоугольника равны, что и требовалось доказать.
б) Площадь прямоугольника ABNM равна Отрезок OH равен Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен
В основании прямого кругового цилиндра лежит
Дан прямой круговой цилиндр высотой 9 и радиусом 2. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNM, перпендикулярной прямой CD, причём точка C и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.
а) Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNM равны.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
а) Плоскость сечения ABNM перпендикулярна прямой CD, поэтому отрезки AM и BN являются образующими цилиндра. Следовательно, отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Отрезки AN и BM равны как диагонали прямоугольника, что и требовалось доказать.
б) Площадь прямоугольника ABNM равна Пусть H — точка пересечения отрезков NM и CD, O — центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD. Отрезок OH равен Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен:
В основании прямого кругового цилиндра лежит
В прямом круговом цилиндре проведена образующая NN1, точка N лежит в нижнем основании. Отрезок KM1 пересекает ось цилиндра, а точки K и M1 лежат на окружностях нижнего и верхнего основания соответственно.
а) Докажите, что треугольник KNM1 прямоугольный.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой KM1, если KN = 9, N1M1 = 20.
а) Назовём ось цилиндра OO1, проведём образующие MM1 и KK1. Тогда, так как KM1 пересекает ось цилиндра, ось цилиндра лежит в плоскости KMM1K1. Таким образом, KM — диаметр и, значит, угол KNM — прямой. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямая NM1 также перпендикулярна прямой KN, а треугольник KNM1 — прямоугольный.
б) Из точки N опустим перпендикуляр NH на прямую KM1, искомое расстояние — длина этого перпендикуляра. Найдём её, как высоту прямоугольного треугольника KNM1:
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В основании прямого кругового цилиндра лежит
В прямом круговом цилиндре проведена образующая NN1, точка N лежит в нижнем основании. Отрезок KM1 пересекает ось цилиндра, а точки K и M1 лежат на окружностях нижнего и верхнего основания соответственно.
а) Докажите, что треугольник KNM1 прямоугольный.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой KM1, если KN = 9, N1M1 = 20.
а) Назовём ось цилиндра OO1, проведём образующие MM1 и KK1. Тогда, так как KM1 пересекает ось цилиндра, ось цилиндра лежит в плоскости KMM1K1. Таким образом, KM — диаметр и, значит, угол KNM — прямой. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямая NM1 также перпендикулярна прямой KN, а треугольник KNM1 — прямоугольный.
б) Из точки N опустим перпендикуляр NH на прямую KM1, искомое расстояние — длина этого перпендикуляра. Найдём её, как высоту прямоугольного треугольника KNM1:
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
В основании прямого кругового цилиндра лежит
В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 9 и радиусом основания 2 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.
а) Для построения сечения опустим перпендикуляры AM и BN на второе основание цилиндра. Отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Отрезки AN и BM равны как диагонали прямоугольника, что и требовалось доказать.
б) Площадь прямоугольника ABNM равна 9 · 2 = 18. Пусть H — точка пересечения отрезков NM и CD. Отрезок OH равен Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен:
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,