В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр найдите высоту призмы (6 видео)

Содержание

Решение №2305 Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3.
Цилиндры, вписанные в призмы
Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра
Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n — угольной призмы
11 класс. Геометрия. Тела вращения. Взаимные комбинации тел вращения.
11 класс. Геометрия. Тела вращения. Взаимные комбинации тел вращения.
Вопросы
Поделись с друзьями
Комментарии преподавателя
Цилиндр, вписанный в призму
Условия, при которых цилиндр можно вписать в призму
Задача №1
Цилиндр, описанный около призмы
Условия, при которых цилиндр можно описать около призмы
Задача №2
Разветвление: задача №3
Заключение
📸 Видео

Видео:Стереометрия. В правильную четырехугольную призму вписан круглый цилиндра. Найдите высоту цилиндраСкачать

Решение №2305 Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3.

Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Правильной четырёхугольной призмой – называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками.
Площадь боковой поверхности данной призмы – это площадь 4-х равных прямоугольников.
Длина прямоугольника равна диаметру цилиндра, ширина прямоугольника равна высоте цилиндра.

Найдём площадь боковой поверхности призмы:

S_{бок. поверх.} = 4·S_{прямоугольника} = 4· h ·( r + r ) = 4·3·(3 + 3) = 4·3·6 = 72

Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

Цилиндры, вписанные в призмы

Видео:Цилиндр вписан в правильную четырехугольную призмуСкачать

Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра

Определение 2. Если цилиндр вписан в призму, то призму называют описанной около цилиндра.

Прежде, чем перейти к вопросу о том, в какую же призму можно вписать цилиндр, докажем следующее свойство призм.

Утверждение 1. Если в основания призмы можно вписать окружности, то отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.

Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что точка O’ равноудалена от всех прямых, на которых лежат ребра верхнего основания A’₁A’₂, A’₂A’₃, . , A_{n – 1}A_n , а поскольку O’ лежит в плоскости верхнего основания, то точка O’ является центром вписанной в многоугольник A’₁A’₂ . A’_n окружности.

В силу того, что прямые OO’ и A₁A’₁ параллельны по построению, а прямые OA₁ и O’A’ параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, замечаем, что четырехугольник OO’A₁A’₁ является параллелограммом, откуда вытекает равенство: OO’ = A₁A’₁ .

Теорема. В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Призма является прямой призмой;
В основания призмы можно вписать окружности.

Читайте также: Свинцовый цилиндр массой 200

Доказательство. Докажем сначала, что если в n – угольную призму вписан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, вписанного в призму. Докажем, что выполняется и условие 1, т.е. докажем, что описанная около цилиндра призма является прямой призмой.

С этой целью рассмотрим ось цилиндра OO’ , соединяющую центры окружностей, вписанных в нижнее и верхнее основания призмы (рис. 3).

Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен боковым ребрам призмы. Поскольку ось цилиндра OO’ перпендикулярна к плоскостям его оснований, то и боковые ребра призмы также перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть призма является прямой призмой.

Таким образом, мы доказали, что, если призма описана около цилиндра, то оба условия теоремы выполнены.

Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты h, в основания которой можно вписать окружности, и докажем, что в такую призму можно вписать цилиндр.

Обозначим буквой O центр окружности радиуса r, вписанной в нижнее основание призмы, а символом O’ обозначим центр окружности, вписанной в верхнее основание призмы (рис. 4).

Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы вписанных в них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок OO’ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.

Цилиндр с осью OO’ , радиусом r и высотой h и будет вписан в исходную призму.

Доказательство теоремы завершено.

Следствие 1 . Высота призмы, описанной около цилиндра, равна высоте цилиндра.

Следствие 2. В любую прямую треугольную призму можно вписать цилиндр.

Справедливость этого утверждения вытекает из того факта, что в любой треугольник можно вписать окружность.

Следствие 3. В любую правильную n – угольную призму можно вписать цилиндр.

Для доказательства этого следствия достаточно заметить, правильная призма является прямой призмой. Основаниями правильной призмы являются правильные многоугольники, а в любой правильный n – угольник можно вписать окружность.

Читайте также: Цилиндр тормозной задний фольксваген гольф

Видео:ЕГЭ. Профильная математика, задание 3Скачать

Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n — угольной призмы

Задача. Найти отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n — угольной призмы.

Решение. Поскольку и объем цилиндра, и объем призмы объем призмы вычисляются по формуле

а высота цилиндра равна высоте описанной около него призмы, то для объемов цилиндра и описанной около него правильной n — угольной призмы справедливо равенство

Следствие 4. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы равно

Следствие 5. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы равно

Следствие 6. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной шестиугольной призмы равно

Видео:Стереометрия, номер 9.1Скачать

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Взаимные комбинации тел вращения.

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Видео:Цилиндр вписан в четырехугольную призму. Найдите площадь боковой поверхности призмы.Скачать

Цилиндр, вписанный в призму

Говорят, что цилиндр вписан в призму (или призма описана около цилиндра), если основания цилиндра вписаны в соответствующие основания призмы (рис. 1). Очевидно, что их высоты совпадут (рис. 2).

Рис. 1. Цилиндр, вписанный в призму

Рис. 2. Цилиндр, вписанный в призму

Видео:Призма и цилиндр. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Условия, при которых цилиндр можно вписать в призму

Нужно, чтобы в основание призмы можно было вписать окружность. Что для треугольной и правильной призмы верно всегда (рис. 3, 4).

Рис. 3. Цилиндр, вписанный в треугольную призму

Рис. 4. Цилиндр, вписанный в правильную шестиугольную призму

Вывод: цилиндр можно вписать в призму, если призма прямая, а в ее основание можно вписать окружность.

Для четырехугольный призмы необходимо чтобы призма была также прямой, а четырехугольник в основании был описанным. Т. е. суммы противоположных сторон были равны (рис. 5).

Рис. 5. Цилиндр, вписанный в четырехугольную призму

Видео:Стереометрия. ЕГЭ. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра. Найдите высоту цилиндраСкачать

Задача №1

Условие: в правильную треугольную призму, все ребра которой равны 6, вписан цилиндр. Найти его радиус и высоту (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

Заметим, что высота цилиндра равна высоте призмы, а значит, равна 6.

Читайте также: Температура цилиндра воздушного охлаждения

Радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной 6. Радиус этой окружности находим по формуле , то есть он равен .

Ответ: .

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Цилиндр, описанный около призмы

Говорят, что цилиндр можно описать около призмы (или призму вписать в цилиндр), если основания призмы вписаны в основания цилиндра. В данном случае, очевидно, снова будут равны высоты (боковые стороны призмы и образующие цилиндра) (рис. 7).

Рис. 7. Цилиндр, описанный около призмы

Видео:GeoGebra: цилиндр, вписанный в правильную призмуСкачать

Условия, при которых цилиндр можно описать около призмы

Цилиндр можно описать около призмы, когда основание призмы можно вписать в окружность. Для треугольной -угольной правильной призмы – всегда, для четырехугольной – когда сумма противоположных углов в основании дает 180 градусов (рис. 8).

Рис. 8. Цилиндр, описанный около четырехугольной призмы

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Вся стереометрия первой части. Задача 3. МиниСИРОПСкачать

Задача №2

Условие: дана правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр. Радиус основания цилиндра равен 7, а площадь боковой поверхности цилиндра равна 28. Найти площадь боковой поверхности призмы (рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 2

Сперва найдем высоту цилиндра. Так как , то .

Значит, и боковое ребро призмы также равно 2.

Далее, в основании призмы лежит правильный шестиугольник, вписанный в окружность. Как известно, сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то есть 7.

Тогда площадь боковой поверхности призмы равна .

Видео:ЕГЭ. Задача 8. Призма и цилиндрСкачать

Разветвление: задача №3

Условие. Дана четырехугольная прямая призма, все ребра которой равны 1. Известно, что около этой призмы можно описать цилиндр. Найдите объем призмы и площадь полной поверхности данного цилиндра (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 3

Так как все ребра равны, то в основании призмы лежит ромб. Раз можно описать цилиндр около призмы, то ромб можно вписать в окружность, а значит, этот ромб – квадрат. Следовательно, призма – это куб со стороной 1, его объем также равен 1.

Высота цилиндра – 1, а радиус окружности равен половине диагонали квадрата, то есть . Тогда .