В правильную треугольную пирамиду вписан цилиндр нижнее основание которого лежит

Видео:Как начертить правильную треугольную пирамиду на #ЕГЭ2023 #стереометрияСкачать

В правильную треугольную пирамиду вписан цилиндр, нижнее основание которого лежит в плоскости основания пирамиды, а окружность верхнего

От нашего клиента с логином wSbZsJyilt на электронную почту пришел вопрос: «В правильную треугольную пирамиду вписан цилиндр, нижнее основание которого лежит в плоскости основания пирамиды, а окружность верхнего основания касается боковой поверхности пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если сторона основания пирамиды равна 8√3, а высота цилиндра 2. Боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания угол в 45°.» это здание мы отнесли к разделу ЕГЭ (школьный). Так как клиент является зарегистрированным пользователем нашего сайта, то мы бесплатно предоставим ответ.

ЕГЭ (школьный) — довольно сложный раздел, здесь действительно попадаются вопросы, которые даже у специалиста с законченным высшим образованием поставят в тупик при подготовке правильного ответа. Но мы известны тем, что сложности нас не останавливают, а наоборот развивают и расширяют наши знания.

Вы спрашивали В правильную треугольную пирамиду вписан цилиндр, нижнее основание которого лежит в плоскости основания пирамиды, а окружность верхнего основания касается боковой поверхности пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если сторона основания пирамиды равна 8√3, а высота цилиндра 2. Боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания угол в 45°.? — отвечаем:

решение задания по геометрии

Видео:Вычисление радиуса сферы, вписанной в правильную треугольную пирамидуСкачать

Вписанный в пирамиду цилиндр. Цилиндр и пирамида: варианты комбинаций

Одними из интересных задач, которые позволяют сравнить различные объемные фигуры, являются задачи на описание одной из них около другой. В данной статье рассмотрим различные варианты описанного около пирамиды и вписанного в пирамиду цилиндра.

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

Пирамида в геометрии

Прежде чем изучать комбинации вписанного в пирамиду цилиндра и вписанной пирамиды в цилиндр, следует рассмотреть эти фигуры с точки зрения геометрии. Начнем с пирамиды.

Фигура пирамида представляет собой тело в пространстве, которое получается, если соединить все вершины произвольного плоского n-угольника с некоторой точкой в пространстве. При этом n-угольник может быть совершенно произвольным (выпуклым, вогнутым, правильным, с различным количеством сторон n). На положение отмеченной точки накладывается одно единственное условие: она не должна лежать в той плоскости, в которой n-угольник находится.

На рисунке выше показана, пожалуй, самая известная пирамида — четырехугольная. Видно, что вершины четырехугольника, который называется основанием фигуры, соединены с точкой, лежащей над ним. Эта точка называется вершиной пирамиды.

Приведенное определение и также представленный рисунок свидетельствуют, что любая пирамида, независимо от типа ее основания, будет включать в себя n треугольников. Все они соединяются в вершине фигуры.

Перпендикулярный отрезок, проведенный из вершины фигуры к ее основанию, называется высотой. Если высота пересекает в геометрическом центре n-угольник, то такая пирамида будет прямой. В противном случае имеет место наклонная фигура.

Если все стороны n-угольника равны между собой, и фигура является прямой, то ее называют правильной. Именно с правильными пирамидами удобно работать при изучении их взаимного расположения с другими объемными телами в геометрии.

Видео:ЕГЭ по математике - Шар в пирамидеСкачать

Цилиндр в геометрии

Цилиндр в общем случае можно получить, если вдоль замкнутой кривой перемещать отрезок параллельно самому себе таким образом, чтобы отрезок не лежал в плоскости этой кривой. Этот отрезок называется образующей цилиндра, а кривая, вдоль которой он перемещается, носит название направляющей.

Читайте также: Как выкрутить резьбу от свечи из блока цилиндров газель

Если направляющая является окружностью, а образующая ей перпендикулярна, то полученный цилиндр будет называться прямым с круглым основанием. Эта фигура известна каждому. Она представлена на рисунке ниже.

Далее будем рассматривать только прямой круглый цилиндр.

В отличие от пирамиды, цилиндр не имеет вершин и ребер. Однако он образован двумя основаниями (два одинаковых круга, находящихся в параллельных плоскостях) и боковой цилиндрической поверхностью. Если посмотреть на развертку этой фигуры, то можно увидеть, что она состоит из двух кругов и одного прямоугольника (см. рис. ниже).

Основными характеристиками цилиндра являются следующие:

• радиус основания;
• высота — расстояние между основаниями;
• площадь оснований и боковой поверхности;
• объем фигуры.

Видео:Геометрия с Нуля (стереометрия для заданий 13)Скачать

Многоугольник и окружность

Последний вопрос, который следует изучить перед тем, как рассматривать вписанный в пирамиду цилиндр и описанный около нее, связан с взаимным расположением правильного многоугольника и окружности.

Существуют всего два варианта расположения этих плоских фигур:

• описание окружностью n-угольника;
• описание n-угольником окружности.

Приведем формулы, позволяющие вычислить длину стороны многоугольника через радиус окружности. Рассмотрим для примера только два первых многоугольника, то есть равносторонний треугольник и квадрат.

Если окружность проходит через все вершины n-угольника, то говорят, что она его описывает. При известном радиусе R длина стороны вычисляется по формуле:

То есть сторона квадрата, вписанного в окружность с радиусом R, будет немного меньше таковой для равностороннего треугольника, описанного той же окружностью.

Если окружность касается каждой из сторон n-угольника, то говорят, что она вписана в него. В случае правильных многоугольников точка касания фигур находится точно посередине каждой стороны n-угольника. Если известен радиус r окружности вписанной, тогда сторона n-угольника определится по формуле:

То есть вокруг окружности фиксированного радиуса можно описать треугольник с большей длиной стороны, чем квадрат.

Видео:10 класс, 34 урок, Усеченная пирамидаСкачать

Треугольная пирамида, вписанная в цилиндр

Сначала рассмотрим более простой вариант, то есть когда пирамида находится внутри цилиндра. Разберем конкретный пример с правильной треугольной пирамидой. Предположим, что известен радиус R цилиндра и его высота h. Необходимо найти характеристики правильной треугольной пирамиды, вписанной в цилиндр.

Выше уже была приведена формула для стороны равностороннего треугольника, находящегося внутри окружности. Длина его стороны является длиной основания пирамиды. Она равна:

Вершина пирамиды вписанной лежит точно в центре верхнего основания цилиндра, поэтому высоты обеих фигур равны.

Зная длину стороны основания и высоту правильной пирамиды треугольной, можно рассчитать другие ее характеристики. Например, объем вычисляется по формуле:

Длину бокового ребра a_b можно рассчитать так:

Видео:Геометрия 11 класс (Урок№15 - Комбинации многогранников и круглых тел.)Скачать

Пирамида четырехугольная, вписанная в цилиндр

Как и в предыдущем случае, пирамида находится внутри цилиндра. Только теперь ее основание представляет собой квадрат, сторона которого через радиус R цилиндра вычисляется так:

Высота пирамиды равна таковой для цилиндра, то есть h.

Длина бокового ребра a_b составляет:

Заметим, что формула для длины бокового ребра получилась точно такой же, как в случае треугольной пирамиды.

Видео:Треугольная пирамида. Ортогональные и изометрическая проекции.Урок22.(Часть2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Цилиндр вписан в фигуру

Цилиндр, вписанный в пирамиду, представляет более сложный случай расположения этих фигур. Чтобы рассчитать размеры пирамиды по известному радиусу и высоте цилиндра, следует разобраться, как этот цилиндр будет расположен внутри нее.

Предположим, что имеется плоскость, параллельная основанию пирамиды. Пересечем этой плоскостью боковую поверхность фигуры. Образованное сечение будет представлять точно такой же многоугольник, что лежит в основании, но меньшего размера. Этот многоугольник будет описывать верхнее основание цилиндра. Нижнее основание будет лежать в основании пирамиды.

Чтобы найти длину стороны многоугольника сечения, следует воспользоваться функцией зависимости площади сечения от вертикальной координаты z. Эта функция имеет вид:

Здесь z — расстояние от основания пирамиды вдоль ее высоты, h_p — высота пирамиды.

Читайте также: Ваз 2107 когда менять цилиндр сцепления

Как пользоваться этой формулой для определения параметров описанной около цилиндра пирамиды, покажем на примере решения задачи.

Видео:ЕГЭ Задание 14 Пирамида вписана в сферуСкачать

Задача с четырехугольной пирамидой и цилиндром

Известно, что цилиндр имеет радиус r = 5 см и высоту h = 6 см. Найти высоту и сторону правильной четырехугольной пирамиды, описывающей его.

Верхнее основание цилиндра должно вписываться в квадратный срез на высоте h = 6 см от основания пирамиды. Тогда площадь сечения равна:

Здесь a — сторона основания пирамиды. Если взять квадратный корень из S(6), то получим длину стороны квадрата сечения. Она должна быть равна 2*r, чтобы основание цилиндра могло вписаться в это сечение, тогда получаем:

Отсюда получаем выражение:

Таким образом, вписать цилиндр, заданный условием задачи, можно не в одну единственную правильную четырехугольную пирамиду, а в бесконечное их число. Однако параметры каждой из них должны удовлетворять выражению выше, которое связывает высоту фигуры с длиной стороны ее основания.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Вписанный в пирамиду цилиндр. Цилиндр и пирамида: варианты комбинаций

Одними из интересных задач, которые позволяют сравнить различные объемные фигуры, являются задачи на описание одной из них около другой. В данной статье рассмотрим различные варианты описанного около пирамиды и вписанного в пирамиду цилиндра.

Видео:Самый сложный пример 5 задание проф. ЕГЭ (часть III)Скачать

Пирамида в геометрии

Прежде чем изучать комбинации вписанного в пирамиду цилиндра и вписанной пирамиды в цилиндр, следует рассмотреть эти фигуры с точки зрения геометрии. Начнем с пирамиды.

Фигура пирамида представляет собой тело в пространстве, которое получается, если соединить все вершины произвольного плоского n-угольника с некоторой точкой в пространстве. При этом n-угольник может быть совершенно произвольным (выпуклым, вогнутым, правильным, с различным количеством сторон n). На положение отмеченной точки накладывается одно единственное условие: она не должна лежать в той плоскости, в которой n-угольник находится.

На рисунке выше показана, пожалуй, самая известная пирамида — четырехугольная. Видно, что вершины четырехугольника, который называется основанием фигуры, соединены с точкой, лежащей над ним. Эта точка называется вершиной пирамиды.

Приведенное определение и также представленный рисунок свидетельствуют, что любая пирамида, независимо от типа ее основания, будет включать в себя n треугольников. Все они соединяются в вершине фигуры.

Перпендикулярный отрезок, проведенный из вершины фигуры к ее основанию, называется высотой. Если высота пересекает в геометрическом центре n-угольник, то такая пирамида будет прямой. В противном случае имеет место наклонная фигура.

Если все стороны n-угольника равны между собой, и фигура является прямой, то ее называют правильной. Именно с правильными пирамидами удобно работать при изучении их взаимного расположения с другими объемными телами в геометрии.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Цилиндр в геометрии

Цилиндр в общем случае можно получить, если вдоль замкнутой кривой перемещать отрезок параллельно самому себе таким образом, чтобы отрезок не лежал в плоскости этой кривой. Этот отрезок называется образующей цилиндра, а кривая, вдоль которой он перемещается, носит название направляющей.

Если направляющая является окружностью, а образующая ей перпендикулярна, то полученный цилиндр будет называться прямым с круглым основанием. Эта фигура известна каждому. Она представлена на рисунке ниже.

Далее будем рассматривать только прямой круглый цилиндр.

В отличие от пирамиды, цилиндр не имеет вершин и ребер. Однако он образован двумя основаниями (два одинаковых круга, находящихся в параллельных плоскостях) и боковой цилиндрической поверхностью. Если посмотреть на развертку этой фигуры, то можно увидеть, что она состоит из двух кругов и одного прямоугольника (см. рис. ниже).

Основными характеристиками цилиндра являются следующие:

• радиус основания;
• высота — расстояние между основаниями;
• площадь оснований и боковой поверхности;
• объем фигуры.

Видео:Комбинации многогранников и круглых телСкачать

Многоугольник и окружность

Последний вопрос, который следует изучить перед тем, как рассматривать вписанный в пирамиду цилиндр и описанный около нее, связан с взаимным расположением правильного многоугольника и окружности.

Читайте также: Пыльник цилиндра сцепления размеры

Существуют всего два варианта расположения этих плоских фигур:

• описание окружностью n-угольника;
• описание n-угольником окружности.

Приведем формулы, позволяющие вычислить длину стороны многоугольника через радиус окружности. Рассмотрим для примера только два первых многоугольника, то есть равносторонний треугольник и квадрат.

Если окружность проходит через все вершины n-угольника, то говорят, что она его описывает. При известном радиусе R длина стороны вычисляется по формуле:

То есть сторона квадрата, вписанного в окружность с радиусом R, будет немного меньше таковой для равностороннего треугольника, описанного той же окружностью.

Если окружность касается каждой из сторон n-угольника, то говорят, что она вписана в него. В случае правильных многоугольников точка касания фигур находится точно посередине каждой стороны n-угольника. Если известен радиус r окружности вписанной, тогда сторона n-угольника определится по формуле:

То есть вокруг окружности фиксированного радиуса можно описать треугольник с большей длиной стороны, чем квадрат.

Видео:Треугольная призма. Ортогональные и изометрическая проекции. Урок 10.(Часть2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Треугольная пирамида, вписанная в цилиндр

Сначала рассмотрим более простой вариант, то есть когда пирамида находится внутри цилиндра. Разберем конкретный пример с правильной треугольной пирамидой. Предположим, что известен радиус R цилиндра и его высота h. Необходимо найти характеристики правильной треугольной пирамиды, вписанной в цилиндр.

Выше уже была приведена формула для стороны равностороннего треугольника, находящегося внутри окружности. Длина его стороны является длиной основания пирамиды. Она равна:

Вершина пирамиды вписанной лежит точно в центре верхнего основания цилиндра, поэтому высоты обеих фигур равны.

Зная длину стороны основания и высоту правильной пирамиды треугольной, можно рассчитать другие ее характеристики. Например, объем вычисляется по формуле:

Длину бокового ребра ab можно рассчитать так:

Видео:Пирамида, вписанная в шар, или, шар, описанный около пирамиды.Скачать

Пирамида четырехугольная, вписанная в цилиндр

Как и в предыдущем случае, пирамида находится внутри цилиндра. Только теперь ее основание представляет собой квадрат, сторона которого через радиус R цилиндра вычисляется так:

Высота пирамиды равна таковой для цилиндра, то есть h.

Объем правильной четырехугольной пирамиды (вписана в цилиндр), равен:

Длина бокового ребра ab составляет:

Заметим, что формула для длины бокового ребра получилась точно такой же, как в случае треугольной пирамиды.

Видео:Занятие 26 Тела вращенияСкачать

Цилиндр вписан в фигуру

Цилиндр, вписанный в пирамиду, представляет более сложный случай расположения этих фигур. Чтобы рассчитать размеры пирамиды по известному радиусу и высоте цилиндра, следует разобраться, как этот цилиндр будет расположен внутри нее.

Предположим, что имеется плоскость, параллельная основанию пирамиды. Пересечем этой плоскостью боковую поверхность фигуры. Образованное сечение будет представлять точно такой же многоугольник, что лежит в основании, но меньшего размера. Этот многоугольник будет описывать верхнее основание цилиндра. Нижнее основание будет лежать в основании пирамиды.

Чтобы найти длину стороны многоугольника сечения, следует воспользоваться функцией зависимости площади сечения от вертикальной координаты z. Эта функция имеет вид:

Здесь z — расстояние от основания пирамиды вдоль ее высоты, hp — высота пирамиды.

Как пользоваться этой формулой для определения параметров описанной около цилиндра пирамиды, покажем на примере решения задачи.

Видео:5.1. Многогранник, вписанный в сферу.Скачать

Задача с четырехугольной пирамидой и цилиндром

Известно, что цилиндр имеет радиус r = 5 см и высоту h = 6 см. Найти высоту и сторону правильной четырехугольной пирамиды, описывающей его.

Верхнее основание цилиндра должно вписываться в квадратный срез на высоте h = 6 см от основания пирамиды. Тогда площадь сечения равна:

Здесь a — сторона основания пирамиды. Если взять квадратный корень из S(6), то получим длину стороны квадрата сечения. Она должна быть равна 2*r, чтобы основание цилиндра могло вписаться в это сечение, тогда получаем:

Отсюда получаем выражение:

Таким образом, вписать цилиндр, заданный условием задачи, можно не в одну единственную правильную четырехугольную пирамиду, а в бесконечное их число. Однако параметры каждой из них должны удовлетворять выражению выше, которое связывает высоту фигуры с длиной стороны ее основания.

💡 Видео

(20.03.17)Занятие 20 Комбинации тел.Скачать

Профильный ЕГЭ 2024. Вся стереометрия первой части. Задача 3. МиниСИРОПСкачать

Прокачиваем задачу 14. Профильный ЕГЭСкачать