В прямом круговом цилиндре проведена образующая nn1 точка n лежит (5 видео)

Видео:✓ Задача про цилиндр | ЕГЭ-2018. Задание 14. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

В прямом круговом цилиндре проведена образующая nn1 точка n лежит

В прямом круговом цилиндре проведена образующая NN₁, точка N лежит в нижнем основании. Отрезок KM₁ пересекает ось цилиндра, а точки K и M₁ лежат на окружностях нижнего и верхнего основания соответственно.

а) Докажите, что треугольник KNM₁ прямоугольный.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой KM₁, если KN = 9, N₁M₁ = 20.

а) Назовём ось цилиндра OO₁, проведём образующие MM₁ и KK₁. Тогда, так как KM₁ пересекает ось цилиндра, ось цилиндра лежит в плоскости KMM₁K₁. Таким образом, KM — диаметр и, значит, угол KNM — прямой. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямая NM₁ также перпендикулярна прямой KN, а треугольник KNM₁ — прямоугольный.

б) Из точки N опустим перпендикуляр NH на прямую KM₁, искомое расстояние — длина этого перпендикуляра. Найдём её, как высоту прямоугольного треугольника KNM₁:

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:✓ Как решать стереометрию | ЕГЭ-2024. Математика. Профильный уровень. Задание 14 | Борис ТрушинСкачать

В прямом круговом цилиндре проведена образующая nn1 точка n лежит

а) Докажите, что треугольник KNM₁ прямоугольный.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой KM₁, если KN = 9, N₁M₁ = 20.

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

При неравенство не определено. Рассмотрим оставшиеся значения переменной.

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую BC в точке P. В каком отношении делит сторону AB (считая от точки B) прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AN : ND = 1 : 2.

а) Пусть K — точка касания окружности с прямой MN, F — точка касания окружности и прямой AB, E — точка касания окружности и прямой AD. По свойству касательных, проведенных из одной точки, MK = MF, KN = NE. Отсюда следует, что периметр треугольника AMN равен

Что и требовалось доказать.

б) Пусть О — центр окружности, а H — точка пересечения прямых AB и PO. Заметим, что центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому

Тогда треугольники FOH и NOE равны по катету и острому углу. Значит, FH = EN, и AH : HB = DN : NA = 2 : 1, тогда BH : HA = 1 : 2.

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Андрей как начинающий предприниматель 31 декабря взял в кредит некоторую сумму в беспроцентном банке «Aliquot Bank». Он планирует погасить кредит в течение года, ежемесячно возвращая долг по следующей схеме: в январе Андрей возвращает банку половину взятой суммы, в феврале он возвращает треть остатка, в марте он возвращает четверть остатка и так далее в течение года, в том числе и в ноябре. В декабре Андрей возвращает банку 100 тыс. руб. и полностью погашает долг. Какую сумму денег (в тыс. руб.) Андрей взял в этом банке?

Пусть сумма, взятая в кредит, равна S.

В первый месяц (январь) Андрей возвращает сумму, равную и остаётся должен

Во второй месяц (февраль) Андрей возвращает сумму, равную и остаётся должен

В n-й месяц Андрей возвращает сумму, равную и остаётся должен

Значит, в одиннадцатом месяце (ноябре) после выплаты Андрей остаётся должен Таким образом, в последний месяц (декабрь) Андрей выплачивает или 100 тыс. руб. Откуда тыс. руб.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

Исходное неравенство равносильно совокупности

При любом значении параметра на своей области определения левая часть неравенства (⁎) непрерывна, а потому неравенство строгого знака либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений. Таким образом, исходное неравенство будет иметь единственное решение, если уравнение (⁎⁎) имеет единственный корень и при этом неравенство (⁎) не имеет решений. Рассмотрим уравнение (⁎⁎):

Заметим, что при каждый из множителей правой части больше 1, значит, уравнение не имеет корней. При каждый из множителей правой части меньше 1, поэтому уравнение также не имеет корней. Значит, является единственным корнем этого уравнения.

Вернёмся к исходной переменной:

Полученное квадратное уравнение имеет единственный корень если его дискриминант равен нулю:

Учитывая ограничения получаем, что уравнение (⁎⁎) имеет единственный корень при Решим неравенство (⁎) при

При любых значениях x каждый из множителей правой части не меньше 1, значит, неравенство не имеет решений.

Таким образом, исходное неравенство имеет ровно одно решение только при

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

На длинной лавочке сидят в ряд 50 человек, из них ровно 44 Владимира. Каждый загадывает желание, но сбывается оно только у тех, кто сидит между двумя Владимирами.

а) Какое наименьшее количество желаний может исполниться?

б) Может ли исполниться ровно 38 желаний?

в) Какое наибольшее количество желаний может исполниться?

Будем называть Николаями всех, кто не Владимир. Рассмотрим отдельно тех, кто сидит на четных местах, и тех, кто сидит на нечетных местах. Высадим их в том же порядке на две отдельных лавочки, а затем снова пересадим на одну — сначала людей с первой лавочки, потом нового Николая, а потом людей со второй лавочки. Теперь каждые два Владимира, сидящих рядом, позволяют исполнить одно желание. Группа из x Владимиров подряд позволяет исполнить ровно x − 1 желание (даже при x = 1). Значит, все группы Владимиров вместе позволяют исполнить 44 − n желаний, где n — число групп.

а) Поскольку Николаев 50 − 44 + 1 = 7, Владимиры разбиваются на не более чем 8 групп, поэтому исполнят не менее 44 − 8 = 36 желаний. Это возможно, например, так: посадим на изначальной скамейке 3 группы «Владимир-Владимир-Николай-Николай», а потом остальных 38 Владимиров. Тогда желания исполнятся у всех Владимиров в большой группе (кроме двух крайних) и больше ни у кого.

б) Да. Если в предыдущем примере пересадить двух Владимиров с начала скамьи в ее конец, число исполненных желаний вырастет на 2.

в) Ясно, что на новой скамье Владимиры не могут образовывать одну группу (поскольку на 26-м месте сидит Николай), поэтому групп минимум две, а исполняющихся желаний не более 42. Это возможно, если на изначальной скамейке посадить сначала всех Николаев, а потом всех Владимиров.