Презентация для учащихся 11 класса по теме «Комбинация тел» содержит краткую теорию и примеры решения задач на комбинации цилиндра и щара, цилиндра и призмы.Будет полезна при подготовке к ЕГЭ.
Просмотр содержимого документа
«Вписанные и описанные цилиндры.»
Сфера, вписанная в цилиндр
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом цилиндр называется описанным около сферы.
В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна
Ее центром будет точка O , являющаяся
серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра.
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Радиус сферы R будет равен
радиусу окружности основания цилиндра.
В цилиндр высоты 2 вписана сфера. Найдите ее радиус.
В цилиндр вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту цилиндра.
Радиус основания цилиндра равен 2. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?
Высота цилиндра равна 2. Каким должен быть радиус основания цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?
Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 1 и 2. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?
Осевым сечением цилиндра является квадрат. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?
Можно ли вписать сферу в цилиндр, осевым сечением которого является ромб?
Можно ли вписать сферу в наклонный цилиндр?
Площадь осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равна 4 см 2 . Найдите диаметр сферы.
Периметр осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равен 8 см. Найдите радиус сферы.
Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в цилиндр, радиус основания которого равен 2, и высота 1.
Можно ли сферу радиуса 1 поместить в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о .
Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о .
Сфера, описанная около цилиндра
Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около цилиндра.
Около любого цилиндра можно описать сферу. Ее центром будет точка O , являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра.
Радиус сферы R вычисляется по формуле
где h – высота цилиндра, r – радиус окружности основания.
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2. Найдите радиус сферы, описанной около этого цилиндра.
Около цилиндра высоты 2 и радиуса основания 1 описана сфера. Найдите ее радиус.
Около цилиндра, радиус основания которого равен 1, описана сфера радиуса 2. Найдите высоту цилиндра.
Около цилиндра, высота которого равна 1, описана сфера радиуса 1. Найдите радиус основания цилиндра.
Найдите наименьший радиус сферы, в которую помещается наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, образующая равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 60 о .
Цилиндр, вписанный в призму
Ц илиндр называется вписанным в призму, если е го основания в писаны в основани я цилиндра. При этом , призма называется описанной около цилиндра
В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда
в ее основание можно вписать окружность.
Радиус основания цилиндра равен
радиусу окружности, вписанной в основание призмы.
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Можно ли вписать цилиндр в наклонную призму?
Ответ: Да, наклонный цилиндр.
В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.
В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.
Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в единичный куб.
В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1, вписан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.
Цилиндр, описанный около призмы
Ц илиндр называется описанным около призмы, если е го основания о писаны около основани й цилиндра. При этом , п ризма называется вписанной в цилиндр
Около призмы можно описать цилиндр, если около ее оснований можно описать окружности.
Радиус основания цилиндра равен
радиусу окружности, описанной около основания призмы.
В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой
Можно ли описать цилиндр около наклонной призмы?
Ответ: Да, наклонный цилиндр.
В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
В основании прямой призмы квадрат со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.
Читайте также: Построить развертку цилиндра усеченного плоскостью
Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1, описан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.
Около единичного тетраэдра описан цилиндр так, что вершины тетраэдра принадлежат окружностям оснований цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
Около единичного октаэдра описан цилиндр так, что две противоположные вершины октаэдра находятся в центрах оснований цилиндра, а остальные вершины принадлежат боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.
Ответы по геометрии самостоятельные работы 60 (Часть 2)
Вариант 2
1. Высота цилиндра равна 15 см, радиус основания 10 см. Дан отрезок, концы которого принадлежат окружностям обоих оснований и длина которого равна 3см. Найдите расстояние между данным отрезком и осью цилиндра.
2. Через вершину конуса проведено сечение под углом 300 к его высоте. Найдите площадь сечения, если высота конуса равна 3 см, а радиус основания 5 см.
3. В конусе задано осевое сечение. Точки K и L принадлежат двум образующим конуса, не лежащим в данном сечении. Постройте точку пересечения прямой KL с плоскостью данного осевого сечения.
4. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1:3, образующая составляет с плоскостью основания угол 450, высота равна h. Найдите площади оснований.
35. Поворот. Фигуры вращения
Вариант 1
1. Нарисуйте фигуру, которая получается при вращении квадрата ABCD вокруг прямой a, проходящей через вершину B и перпендикулярной диагонали BD.
2. Нарисуйте фигуру, которая получается вращением круга вокруг касательной.
3. Кривая задана уравнением y = sin x, 0xp. Нарисуйте фигуру, которая получится при вращении этой кривой вокруг оси Oy.
4. Плоскость проходит через ось цилиндра, причем площадь осевого сечения цилиндра относится к площади его основания как 4: p. Найдите угол между диагоналями осевого сечения.
Вариант 2
1. Нарисуйте фигуру, которая получается при вращении ромба ABCD вокруг прямой a, проходящей через вершину C и перпендикулярной диагонали AC.
2. Нарисуйте фигуру, которая получается вращением круга вокруг хорды, не являющейся диаметром.
3. Кривая задана уравнением y = , 0x4. Нарисуйте фигуру, которая получится при вращении этой кривой вокруг оси Ox.
4. Высота конуса равна 20 см, угол между нею и образующей 600. Найдите площадь сечения, проведенного через две взаимно перпендикулярные образующие конуса.
36. Вписанные и описанные цилиндры
Вариант 1
1. В сферу радиуса 10 см вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.
2. Найдите радиус основания цилиндра, описанного около сферы радиуса R.
3. В равносторонний цилиндр (высота равна диаметру основания), радиус основания которого равен r, вписана правильная треугольная призма. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через ось цилиндра и боковое ребро призмы.
4. Около равностороннего цилиндра, радиус основания которого равен r, описана правильная четырехугольная призма. Найдите площади ее граней.
Вариант 2
1. В сферу вписан цилиндр, образующая которого равна 8 см и диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите радиусы сферы и основания цилиндра.
2. Найдите образующую цилиндра, описанного около сферы радиуса R.
3. В равносторонний цилиндр (высота равна диаметру основания), радиус основания которого равен r, вписана правильная четырехугольная призма. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через ось цилиндра и боковое ребро призмы.
4. Около равностороннего цилиндра, радиус основания которого равен r, описана правильная треугольная призма. Найдите площади ее граней.
37*. Сечения цилиндра плоскостью. Эллипс
Вариант 1
1. Изобразите цилиндр и эллипс, являющийся пересечением боковой поверхности цилиндра плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 450.
2. Боковая поверхность цилиндра пересечена плоскостью, образующей с осью цилиндра угол 300. Найдите большую ось эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен R.
3. Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра и образует с плоскостью основания угол 300. Найдите расстояние между фокусами эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен 3 см.
4. Цилиндр, радиус основания которого равен R, пересечен плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 450. Найдите сумму расстояний от точек эллипса, получившегося в сечении, до фокусов.
Вариант 2
1. Изобразите цилиндр и эллипс, являющийся пересечением боковой поверхности цилиндра плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 600.
2. Под каким углом к плоскости основания цилиндра нужно провести плоскость, чтобы в сечении боковой поверхности получить эллипс, у которого большая ось в два раза больше малой?
3. Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра и образует с плоскостью основания угол 450. Найдите расстояние между фокусами эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен 2 см.
4. Цилиндр, радиус основания которого равен R, пересечен плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 300. Найдите сумму расстояний от точек эллипса, получившего в сечении, до фокусов.
38. Вписанные и описанные конусы
Вариант 1
1. В сферу радиуса 4 см вписан конус. Найдите высоту этого конуса и радиус его основания, если угол при вершине осевого сечения равен 600.
2. Радиус основания конуса равен r, образующая наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите радиус вписанной в конус сферы.
3. Можно ли вписать в конус 4-угольную пирамиду, у которой углы основания последовательно относятся как: а) 1:5:9:7; б) 4:2:5:7?
4. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 8 см и 18 см; двугранные углы при основании пирамиды равны. В пирамиду вписан конус. Найдите радиус основания конуса и его высоту, если меньшее боковое ребро пирамиды составляет с меньшей стороной трапеции угол 600.
Читайте также: Масса поршня диаметр цилиндра
Вариант 2
1. В конусе образующая равна 15 см и составляет с основанием угол 600. Найдите радиус описанной сферы.
2. В конус вписана сфера, радиус которой равен R. Найдите радиус основания конуса, если угол при вершине осевого сечения равен 600.
3. Можно ли описать около конуса 4-угольную пирамиду, у которой стороны основания последовательно относятся как: а) 5:6:8:7; б) 3:10:15:7?
4. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник; боковые ребра равны между собой, а боковые грани, проходящие через катеты, составляют с основанием углы 300 и 600. Около пирамиды описан конус таким образом, что у них общая высота. Найдите радиус основания конуса, если высота пирамиды равна h.
39*. Конические сечения
Вариант 1
1. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 600. Радиус основания конуса равен R. Через центр основания проведена плоскость под углом 600 к плоскости основания. Найдите радиус сферы, вписанной в коническую поверхность и касающуюся этой плоскости.
2. Изобразите конус и плоскость, пересекающую коническую поверхность по эллипсу.
3. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 900. Под каким углом к плоскости основания конуса нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?
4. Угол между осью конуса и его образующей равен 450. Через точку образующей, отстоящую от вершины конуса на расстояние a, проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите расстояние между фокусом и директрисой параболы, получающейся в сечении конической поверхности этой плоскостью.
Вариант 2
1. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 900. Через точку образующей, отстоящей от вершины конуса на расстояние a, проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите радиус сферы, вписанной в коническую поверхность, касающуюся этой плоскости.
2. Изобразите конус и плоскость, пересекающую коническую поверхность по параболе.
3. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 600. Под каким углом к плоскости основания нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?
4. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 300. Через точку образующей, отстоящей от вершины на расстояние b, проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите большую ось эллипса, получившегося в сечении конической поверхности этой плоскостью.
40. Симметрия пространственных фигур
Вариант 1
1. Для двух точек пространства найдите точку, относительно которой они центрально симметричны.
2. Постройте прямую, зеркально-симметричную данной прямой относительно данной плоскости a. Рассмотрите различные случаи.
3. Докажите, что при осевой симметрии плоскость, перпендикулярная оси, переходит в себя.
4. Найдите элементы симметрии правильной треугольной призмы.
Вариант 2
1. Для двух точек пространства найдите прямую, относительно которой они симметричны.
2. Постройте плоскость, центрально-симметричную данной плоскости относительно точки O. Рассмотрите различные случаи.
3. Докажите, что при осевой симметрии прямые, перпендикулярные оси, переходят в прямые, также перпендикулярные оси.
4. Найдите элементы симметрии правильной 6-ной пирамиды.
41. Движения
Вариант 1
1. Докажите, что композиция двух движений (последовательное их выполнение) является движением.
2. Найдите движения, которые переводят вершину A куба A…D1 в вершину C1.
3. Найдите движения, которые переводят вершину A правильного тетраэдра ABCD в вершину C.
4. Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух осевых симметрий с параллельными осями?
Вариант 2
1. Докажите, что преобразование, обратное движению, тоже является движением.
2. Найдите движения, которые переводят вершину B1 куба A…D1 в вершину D.
3. Найдите движения, которые переводят вершину D правильного тетраэдра ABCD в вершину B.
4. Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух центральных симметрий?
42*. Ориентация поверхности. Лист Мебиуса
Вариант 1
1. Сколько сторон имеет поверхность: а) пирамиды; б) призмы; в) дважды перекрученной ленты Мебиуса?
2. Изобразите лист Мебиуса.
3. Лист Мебиуса получен из прямоугольника со сторонами a, b (a
4. Можно ли одностороннюю поверхность склеить из шестиугольника?
Вариант 2
1. Сколько сторон имеет поверхность: а) конуса; б) цилиндра; в) листа Мебиуса?
2. Изобразите дважды перекрученную ленту Мебиуса.
3. Лист Мебиуса получен из прямоугольника со сторонами a, b (a
4. Можно ли одностороннюю поверхность склеить из восьмиугольника?
43. Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра
Вариант 1
1. Осевое сечение прямого кругового цилиндра — квадрат со стороной 3 см. Найдите объем цилиндра.
2. От куба A…D1, ребро которого равно 1, отсечены 4 треугольные призмы плоскостями, которые проходят через середины смежных сторон грани ABCD, параллельно ребру AA1. Найдите объем оставшейся части куба.
3. Прямая треугольная призма пересечена плоскостью, которая проходит через боковое ребро и делит площадь противолежащей ему боковой грани в отношении m:n. В каком отношении делится объем призмы?
4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого относятся как 5:2. Зная, что диагонали параллелепипеда равны 17 дм и 10 дм, найдите объем параллелепипеда.
Читайте также: Диаметр цилиндра ява 350
Вариант 2
1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите объем цилиндра.
2. Объем правильной шестиугольной призмы равен V. Определите объем призмы, вершинами которой являются середины сторон оснований данной призмы.
3. В каком отношении делится объем прямой треугольной призмы плоскостью, проходящей через средние линии оснований.
4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого равны 1 дм и 7 дм. Зная, что диагонали параллелепипеда относятся как 13:17, найдите объем параллелепипеда.
44. Принцип Кавальери
Вариант 1
1. Верно ли, что два конуса, имеющие равные основания и высоты, равновелики?
1. Найдите объем наклонной призмы, площадь основания которой равна S, а боковое ребро b наклонено к плоскости основания под углом 600.
3. В наклонном параллелепипеде две боковые грани имеют площади S1 и S2, их общее ребро равно a, и они образуют между собой двугранный угол 1500. Найдите объем параллелепипеда.
4. В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна Q, а расстояние от нее до противоположного ребра равно d. Найдите объем призмы.
Вариант 2
1. Верно ли, что две пирамиды, имеющие равновеликие основания и равные высоты, равновелики?
2. Найдите объем наклонного цилиндра, радиус основания которого равен R, а боковое ребро b наклонено к плоскости основания под углом 450.
3. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань являются прямоугольниками и их площади равны соответственно 20 см2 и 24 см2. Угол между их плоскостями равен 300. Еще одна грань параллелепипеда имеет площадь 15 см2. Найдите объем параллелепипеда.
4. В наклонной треугольной призме две боковые грани перпендикулярны и имеют общее ребро, равное a. Площади этих граней равны S1 и S2. Найдите объем призмы.
45. Объем пирамиды
Вариант 1
1. Пирамида, объем которой равен V, а в основании лежит прямоугольник, пересечена четырьмя плоскостями, каждая из которых проходит через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания. Найдите объем оставшейся части пирамиды.
2. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с основанием угол 600. Найдите объем пирамиды.
3. В основании прирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3 см, а прилежащий к нему острый угол равен 300. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 600. Найдите объем пирамиды.
4. Центры граней куба, ребро которого равно 2a, служат вершинами октаэдра. Найдите его объем.
Вариант 2
1. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является правильный треугольник со стороной, равной 1.
2. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды.
3. Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом 300. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите объем пирамиды.
4. В куб с ребром, равным a, вписан правильный тетраэдр таким образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Найдите объем тетраэдра.
46. Объем конуса
Вариант 1
1. Диаметр основания конуса равен 12 см, а угол при вершине осевого сечения равен 900. Найдите объем конуса.
2. Два конуса имеют общую высоту и параллельные основания. Найдите объем их общей части, если объем каждого конуса равен V.
3. В конус, объем которого равен V, вписан цилиндр. Найдите объем цилиндра, если отношение диаметров оснований конуса и цилиндра равно 10:9.
4. Каждое ребро правильной 4-угольной пирамиды равно a. Плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды, отсекает от нее усеченную пирамиду. Найдите объем усеченной пирамиды, если сторона сечения равна b.
Вариант 2
1. Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямоугольный треугольник площади 9 см2. Найдите объем конуса.
2. В конус вписан другой конус таким образом, что центр основания вписанного конуса делит высоту данного конуса в отношении 3:2, считая от вершины конуса, а вершина вписанного конуса находится в центре основания данного конуса. Найдите отношение объемов данного и вписанного конусов.
3. Докажите, что если два равных конуса имеют общую высоту и параллельные плоскости оснований, то объем их общей части составляет объема каждого из них.
4. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 см и 5 см. Найдите отношение объемов частей усеченного конуса, на которые он делится средним сечением.