В сферу радиуса r вписан цилиндр радиус основания (6 видео)

Найдите высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в сферу радиуса R .

Содержание

Решение
Ответ
Источники и прецеденты использования
Математика
Ещё по теме
Вписанные и описанные цилиндры.
Просмотр содержимого документа «Вписанные и описанные цилиндры.»
🎥 Видео

Решение

Пусть h – высота цилиндра, r – радиус его основания (рис.1). Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O (рис.2). В сечении получится окружность радиуса R , в которую вписан прямоугольник ABCD со сторонами AD = BC = 2r , AB = CD = h и диагональю AC=2R , причём центр O окружности совпадает с центром прямоугольника ABCD . Из прямоугольного треугольника ACD находим, что
4r 2 = AD 2 = AC 2 — CD 2 = 4R 2 — h 2 .
Пусть V(h) – объём цилиндра. Тогда
V(h) = π r 2 h = π h(4R 2 — h 2 ).
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(h) = π h(4R 2 — h 2 ) на интервале (0;2R) . Решив уравнение V’(h) = 0 , найдём критические точки функции V(h) . Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (0;2R) .
V’(h) = ( π h(4R 2 — h 2 ))‘ = π(4R 2 h — h 3 )‘ = π (R 2 — h 2 ).
Промежутку (0;2R) принадлежит единственный корень этого уравнения h = . При переходе через точку h = производная меняет знак с плюса на минус. Значит, на промежутке (0; ) функция V(h) возрастает, а на промежутке ( ; 2R) – убывает. Следовательно, при h = объём цилиндра –наибольший. При этом
r = = = R .

Ответ

Источники и прецеденты использования

Проект осуществляется при поддержке и .

Видео:Задание №756 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)Скачать

Математика

Рис.13 Объем цилиндра равен \[V = \pi H.\] Радиус основания цилиндра \(R\) связан с радиусом шара \(a\) следующим соотношением (рисунок \(13\)): \[ = + > \right)^2> > = + \frac >> .> \] Следовательно, \[ = — \frac >> .\] Подставляя это в формулу для объема цилиндра, получаем: \[ H = \pi \left( — \frac >> > \right)H > = H — \frac >> .> \] Данное выражение представляет собой функцию \(V\left( H \right),\) которое мы будем исследовать далее на экстремум. Производная \(V’\left( H \right)\) имеет вид: \[ H — \frac >> > \right)^\prime > > = — \frac >> > = \left( — 3 > \right).> \] Корни производной равны: \[ \;\; — 3 = 0,>\;\; = \frac >> ,>\;\; > >.> \] Разумеется, нас устраивает лишь положительное значение \(H = \large\frac > >\normalsize.\) При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, т.е. здесь существует максимум функции \(V\left( H \right).\) При такой высоте \(H\) радиус основания цилиндра равен \[ = — \frac >> > = — \frac > >> \right)^2> > = — \frac >> > > = — \frac >> > = >> ,>\;\; > .> \] Итак, вписанный в шар цилиндр имеет наибольший объем при условии \[H = \frac > >,\;\;\;R = a\sqrt > ,\] где \(a\) − радиус шара. Максимальное значение объема составляет \[ H > = > > \right)^2> \cdot \frac > > > = >> \cdot \frac > > > = >> >,> \] т.е. меньше объема шара в \(\sqrt 3\) раз.

Читайте также: Цилиндр для замка касторама

Ещё по теме

Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right) \) на \( 750<>^\circ \) .

Дан ромб, диагонали которого равны \(d1=4\) см, \(d2=6\) см. Острый угол равен \(α = 30°\) . Найдите площадь фигуры через сторону и угол.

Дан ромб с диагоналями \(d1=5\) см и \(d2=4\). Найти площадь ромба.

Выразить километры в метрах:

Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны 8 и 20 сантиметров. Боковая сторона равна 10 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту 12 см.

Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом (рисунок \(3\)). Периметр окна равен \(P.\) Определить радиус полукруга \(R,\) при котором площадь окна является наибольшей.

Найти периметр окружности радиуса \( r = 10 \) см.

Видео:Реальный ЕГЭ-2023, задача 2. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара...Скачать

Вписанные и описанные цилиндры.

Презентация для учащихся 11 класса по теме «Комбинация тел» содержит краткую теорию и примеры решения задач на комбинации цилиндра и щара, цилиндра и призмы.Будет полезна при подготовке к ЕГЭ.

Просмотр содержимого документа
«Вписанные и описанные цилиндры.»

Сфера, вписанная в цилиндр

Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом цилиндр называется описанным около сферы.

В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна

Ее центром будет точка O , являющаяся

серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Радиус сферы R будет равен

радиусу окружности основания цилиндра.

В цилиндр высоты 2 вписана сфера. Найдите ее радиус.

В цилиндр вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту цилиндра.

Радиус основания цилиндра равен 2. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?

Читайте также: Лада гранта вакуумный цилиндр

Высота цилиндра равна 2. Каким должен быть радиус основания цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 1 и 2. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?

Осевым сечением цилиндра является квадрат. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?

Можно ли вписать сферу в цилиндр, осевым сечением которого является ромб?

Можно ли вписать сферу в наклонный цилиндр?

Площадь осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равна 4 см 2 . Найдите диаметр сферы.

Периметр осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равен 8 см. Найдите радиус сферы.

Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в цилиндр, радиус основания которого равен 2, и высота 1.

Можно ли сферу радиуса 1 поместить в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о .

Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о .

Сфера, описанная около цилиндра

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около цилиндра.

Около любого цилиндра можно описать сферу. Ее центром будет точка O , являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра.

Радиус сферы R вычисляется по формуле

где h – высота цилиндра, r – радиус окружности основания.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2. Найдите радиус сферы, описанной около этого цилиндра.

Около цилиндра высоты 2 и радиуса основания 1 описана сфера. Найдите ее радиус.

Около цилиндра, радиус основания которого равен 1, описана сфера радиуса 2. Найдите высоту цилиндра.

Около цилиндра, высота которого равна 1, описана сфера радиуса 1. Найдите радиус основания цилиндра.

Найдите наименьший радиус сферы, в которую помещается наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, образующая равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 60 о .

Читайте также: Опель с трех цилиндрах

Цилиндр, вписанный в призму

Ц илиндр называется вписанным в призму, если е го основания в писаны в основани я цилиндра. При этом , призма называется описанной около цилиндра

В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда

в ее основание можно вписать окружность.

Радиус основания цилиндра равен

радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Можно ли вписать цилиндр в наклонную призму?

Ответ: Да, наклонный цилиндр.

В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.

В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.

Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в единичный куб.

В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1, вписан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.

Цилиндр, описанный около призмы

Ц илиндр называется описанным около призмы, если е го основания о писаны около основани й цилиндра. При этом , п ризма называется вписанной в цилиндр

Около призмы можно описать цилиндр, если около ее оснований можно описать окружности.

Радиус основания цилиндра равен

радиусу окружности, описанной около основания призмы.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Можно ли описать цилиндр около наклонной призмы?

Ответ: Да, наклонный цилиндр.

В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

В основании прямой призмы квадрат со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1, описан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.

Около единичного тетраэдра описан цилиндр так, что вершины тетраэдра принадлежат окружностям оснований цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Около единичного октаэдра описан цилиндр так, что две противоположные вершины октаэдра находятся в центрах оснований цилиндра, а остальные вершины принадлежат боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.