@ Тела вращения и многогранники могут быть вписаны одно в другое при некоторых ограничениях.
Призма называется вписанной в цилиндр , если ее основания – многоугольники, вписанные в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра совпадают с образующими цилиндра.
В цилиндр можно вписать только такую прямую призму, основания которой можно вписать в окружность.
Призма называется описанной около цилиндра , если ее основания – многоугольники, описанные около окружностей оснований цилиндра.
Около цилиндра можно описать только такую прямую призму, основания которой – многоугольники, которые можно описать около окружности.
Очевидно, что у таких цилиндров и призм высоты равны.
Призма называется вписанной в конус , если одно ее основание вписано в окружность сечения конуса плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию конуса.
В конус можно вписать только такую прямую призму, вокруг основания которой можно описать окружность.
Очевидно, что высота вписанной призмы меньше высоты конуса.
Конус называется вписанным в прямую призму , если его вершина принадлежит одному основанию призмы, а основание конуса вписано в другое основание призмы.
Конус можно вписать только в такую призму, в основание которой можно вписать окружность.
Очевидно, что в этом случае высота конуса и высота призмы равны.
Пирамида называется вписанной в конус , если ее ребра совпадают с образующими конуса, а основание вписано в основание конуса.
Попробуйте доказать утверждение
Для того, чтобы в конус можно было вписать пирамиду, необходимо и достаточно, чтобы у нее были равные боковые ребра.
Конус называется вписанным в пирамиду , если его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание вписано в основание пирамиды.
В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда все апофемы боковых граней пирамиды равны.
Очевидно, что у таких конусов и пирамид высоты равны.
Пирамида называется вписанной в цилиндр , если ее вершина принадлежит одному основанию цилиндра, а основание вписано в другое основание цилиндра.
В цилиндр можно вписать пирамиду, основание которой можно вписать в окружность.
Очевидно, что высота вписанной пирамиды равна высоте цилиндра.
Цилиндр называется вписанным в пирамиду , если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
В сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, получается многоугольник, подобный основанию пирамиды. Следовательно, в пирамиду можно вписать цилиндр только в том случае, если в основании пирамиды – многоугольник, в который можно вписать окружность.
Очевидно, что высота вписанного цилиндра меньше высоты пирамиды.
Многогранник называется вписанным в сферу (шар) , если все его вершины лежат на сфере. Такая сфера называется описанной около многогранника.
1. Для того, чтобы около пирамиды можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы около основания пирамиды можно было описать окружность.
2. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.
3. Для того, чтобы около призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и около ее основания можно было описать окружность.
4. Около любой правильной призмы можно описать сферу.
Сфера называется вписанной в многогранник (а многогранник – описанным около сферы), если она касается всех его граней.
Полезно уметь доказывать следующие утверждения
1. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу (шар).
2. Для того, чтобы в призму можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы в перпендикулярное сечение призмы можно было вписать окружность и чтобы высота призмы была равна диаметру этой окружности.
Читайте также: У каких субару проблема с 4 цилиндром
3. В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда ее высота равна диаметру окружности, вписанной в основание.
1. Найти площадь основания правильной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен R .
Ответ: , где n – число сторон.
Очевидно, такой же ответ будет для правильной пирамиды, вписанной в конус.
2. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида с высотой, равной Н . Как связана сторона основания пирамиды с высотой пирамиды и радиусом шара?
Пример 7.7.2. (КубГУ, матем., 1971 г.).
В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом a при вершине. Найти объем пирамиды, а также боковую поверхность конуса, описанного около указанной пирамиды. Решение
| Пусть сторона основания пирамиды равна a , радиус основания конуса, описанного около этой пирамиды равен r , тогда . Грани пирамиды – равнобедренные треугольники. Тогда DK – высота, медиана и биссектриса D ABD . Из прямоугольного треугольника ADK имеем . |
DM – диаметр шара. Тогда в сечении шара, проходящем через диаметр DM и точку А , получим прямоугольный треугольник AMD . Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике имеем .
Тогда площадь основания найдем по формуле .
И из формулы находим объем пирамиды
Ребро AD по определению описанного конуса является его образующей. Тогда найдем боковую поверхность описанного конуса по формуле S бок = p r1. S бок .
Пример 7.7.3. (КубГУ, матем., 1979 г.)
В конус, образующая которого длины наклонена к плоскости основания под углом a , вписана правильная n -угольная призма, все ребра которой имеют равные длины. Найти полную поверхность призмы. Решение
По условию все ребра n — угольной призмы равны, следовательно, ее грани – квадраты. Пусть сторона квадрата равна a , тогда S бок , .
Задача свелась к нескольким планиметрическим соотношениям. Из прямоугольного треугольника АОК находим .
Из подобных прямоугольных треугольников АОС и находим
Пример 7.7.4. (КубГУ, матем., 1991 г.)
В основании пирамиды лежит квадрат со стороной а . Высота пирамиды проходит через середину одного из ребер основания и равна . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды. Решение Типичной ошибкой при решении этой задачи является утверждение о том, что центр описанной сферы находится на грани SBC . В действительности положение точки О не связано с гранью SBC .
В силу равноудаленности точки О от вершин S, A, B, C, D следует, что OABCD – правильная четырехугольная пирамида.
Следовательно, на грань ABCD точка О проектируется в точку М – точку пересечения диагоналей. Треугольник ASD равнобедренный, тогда высота пирамиды SK является медианой треугольника ASD . .
Из прямоугольного треугольника SAK найдем SA , .
Следовательно, треугольник SAD – равносторонний и OASD – правильная треугольная пирамида. Тогда точка О проектируется на грань SAD в центр треугольника SAD . Отсюда , .
Из треугольника SON находим искомый радиус SO
В цилиндр можно вписать конус если
@ Часто встречаются и представляют интерес задачи, в которых взаимодействуют тела вращения с телами вращения и многогранниками.
Сфера называется описанной около цилиндра (конуса), если окружности его оснований (окружность его основания и вершина) принадлежат сфере.
Около любого цилиндра и любого конуса можно описать сферу.
Сфера называется вписанной в цилиндр , если она касается каждой образующей и обоих оснований цилиндра.
В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его высота равна диаметру основания.
Центр сферы является серединой отрезка, соединяющего центры оснований.
Сфера называется вписанной в конус , если она касается образующих конуса и его основания.
В любой конус можно вписать сферу.
Сфера называется вписанной в усеченный конус , если она касается всех образующих и обоих оснований конуса.
Очевидно справедливо утверждение: в усеченный конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда образующая усеченного конуса равна сумме радиусов оснований. Тогда диаметр сферы равен высоте усеченного конуса.
Понятия вписанная и описанная сферы и вписанный и описанный шары в задачах не различаются.
Цилиндр называется вписанным в конус , если одно его основание принадлежит основанию конуса, а второе совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.
Основание цилиндра и основание конуса – концентрические круги.
Во всякий конус можно вписать цилиндр. Его высота меньше высоты конуса.
Цилиндр называется вписанным в усеченный конус , если одно его основание принадлежит основанию конуса, а другое совпадает со вторым основанием конуса. Высота такого цилиндра равна высоте усеченного конуса.
Так как цилиндр и конус однозначно определяются двумя независимыми параметрами, то, задав два независимых параметра одной фигуры и один параметр другой (вписанной или описанной), можно найти остальные параметры.
1 . В конус высоты Н и радиуса R вписан цилиндр высоты h . Найти радиус основания цилиндра.
Шар задается однозначно одним параметром, поэтому, задав параметр шара и один из независимых параметров вписанного или описанного конуса или цилиндра, можно найти другой параметр.
Или же по двум независимым параметрам конуса или цилиндра можно определить параметр вписанного или описанного шара.
2. В конус высоты Н и радиуса R вписан шар. Найти радиус шара.
3. В усеченный конус, радиусы оснований которого R и r , вписан шар. Найти его радиус.
4. В шар радиуса R вписан цилиндр высоты Н . Найти радиус его основания.
Пример 7.6.2. (КубГУ, матем., 1971 г.)
В прямой конус с образующей 1 и углом 2 a при вершине осевого сечения вписан шар. Вычислить радиус окружности, по которой соприкасаются поверхности конуса и шара, а также объем и полную поверхность меньшей из частей шара, на которые он рассекается кругом упомянутого радиуса. Решение
Решение задач о вписанных телах вращения, как правило, сводится к планиметрическим. Поэтому сделаем чертеж осевого сечения конуса. Тогда сфера будет окружностью большого круга, вписанной в равнобедренный треугольник. Отрезок прямой, параллельной основанию, соединяющий точки касания окружности и треугольника, будет диаметром искомой окружности.
Из прямоугольного треугольника ACD имеем AD = 1 sin a .
АО – биссектриса угла CAD , следовательно, .
Из прямоугольного треугольника AOD находим , OD = OM как радиусы.
D MKO подобен D CMO , следовательно, KMO = a
и .
МК – искомый радиус r .
Меньшая часть шара – шаровой сегмент, высота которого РК . Его объем и площадь поверхности вычисляются по формулам
Тогда полная поверхность будет равна площади шарового сегмента и площади круга найденного радиуса
S п = S сегм + S кр , где S кр . Из треугольника МКО найдем КО .
Тогда PK = PO — OK . Подставив найденные величины и преобразовав, получим ,
Пример 7.6.3. (КубГУ, матем., 1979 г.)
Площадь поверхности шара, вписанного в конус, равна площади основания конуса. Найти величину угла между образующей конуса и плоскостью его основания. Решение Пусть r – радиус шара, R – радиус основания конуса. По условию задачи S ш = S осн . , откуда R = 2r . В осевом сечении конуса AD = R , OD = r , т.е. AD = 2 OD . Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе АО . Тогда из прямоугольного треугольника AOD имеем
, Р CAD = 2 Р OAD . Следовательно, .
Ответ: .
Пример 7.6.4. (КубГУ, матем., 1986 г.)
В усеченный конус вписан шар, касающийся обоих оснований и боковой поверхности. Найти длину образующей усеченного конуса, если даны его высота h и радиус a окружности касания. Решение
| Сделаем чертеж осевого сечения. Тогда MK = a , BP = h . Так как высота конуса равна диаметру шара, то . Р OMK = Р ABP , как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Тогда D OMK подобен D ABP и имеет место соотношение , откуда . |
Пример 7.6.5. (КубГУ, эконом., 1989 г.)
В прямой круговой конус, в котором образующая наклонена к плоскости основания под углом a , вписаны 2 шара таким образом, что один касается основания и боковой поверхности конуса, а другой – боковой поверхности конуса и первого шара. Найти отношение объемов этих шаров. Решение Отношение объемов шаров равно отношению кубов их радиусов, т.е. .
Пусть AC = a , тогда из чертежа осевого сечения находим CD = a tg a , .
подобен D CAD (прямоугольные с общим углом при вершине С ). Тогда и , , откуда .
Разделив обе части на , получим .
Из прямоугольного треугольника имеем , тогда
Пример 7.6.6. (КубГУ, матем., 1979 г.)
В усеченный конус вписан шар радиуса R . Образующая конуса наклонена к плоскости нижнего основания под углом ( a 90°) . Найти объем усеченного конуса. Решение
В осевом сечении получим равнобедренную трапецию с вписанной в нее окружностью большого круга. (см. определение), . Тогда из прямоугольного треугольника АВК находим , .
Но ВК равно диаметру вписанной окружности, следовательно, (см. упр. 3).
Из треугольника АВК имеем . Тогда . Подставив найденные соотношения в объем и выполнив преобразования, получим
В шар радиуса R вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен a . В конус вписан шар. Найти радиус вписанного шара. Решение
В осевом сечении конуса получили равнобедренный треугольник с вписанной и описанной окружностями. Отметим, что центры вписанной и описанной окружностей совпадают только у правильного треугольника. Если угол при вершине равнобедренного треугольника меньше 60° , то центр описанной окружности расположен на высоте ближе к этой вершине, чем центр вписанной окружности. Если треугольник прямоугольный, то центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, если же треугольник тупоугольный, то центр описанной окружности будет расположен вне треугольника, в то время как центр вписанной окружности для любого треугольника является внутренней точкой.
Пусть М – центр описанной окружности, тогда MC = R , Р CMK = Р CAD = a ( D CAD и D CKM подобны как прямоугольные с общим углом при вершине С ).
Из треугольника СМК имеем CK = R sin a , AC = 2 CK = 2R sin a . Тогда из треугольника ACD находим AD = AC cos a = R sin 2 a .
Если О – центр вписанной окружности, то АО биссектриса D CAD и из треугольника OAD находим .
OD – искомый радиус. Ответ: .
Пример 7.6.8. (КубГУ, физич., 1979 г.)
Шар радиуса R вписан в конус. Из центра шара образующая конуса видна под углом a . Найти объем конуса. Решение
| Пусть О – центр вписанной окружности в осевом сечении конуса. По условию Р AOC = a , тогда Р AOD = 180° — a . Очевидно, что a > 90° . Из прямоугольного треугольника AOD находим Р OAD = 180° — (90° + 180° -a) = a — 90° . АО – биссектриса Р CAD . Следовательно, Р CAD = 2 Р OAD = 2 a — 180° . OD =R . Тогда из треугольника AOD находим AD. AD = OD tg AOD = R tg( 180° -a ) = — R tg a . |
Подставив найденные величины в формулу объема, получим
Если 90° a 135° , то 180° a 270° ; тогда tg a , tg 2 a >0 и .
Если 135° a 180° , то 270° a 360° ; тогда tg 2 a , tg 2 a и .
