В цилиндр вписан конус найдите площадь боковой поверхности цилиндра (3 видео)

Видео:Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шараСкачать

В цилиндр вписан конус найдите площадь боковой поверхности цилиндра

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара (см. рис.).

Площадь основания цилиндра:

Площадь боковой поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности цилиндра:

Поскольку площадь поверхности шара дается формулой имеем:

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Заметим, что конус и цилиндр имеют общую высоту и равные радиусы основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна откуда, учитывая, что получаем: или

Образующая конуса его высота и радиус основания связаны соотношением откуда, учитывая, что получаем: или

Площадь боковой поверхности конуса равна следовательно:

Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса является центром другого основания цилиндра. Каждая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°.

а) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны

б) Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а так

же одного из оснований цилиндра, если известно, что объем конуса равен

а) Пусть радиус основания цилиндра равен а высота Тогда тангенс угла наклона образующей есть откуда и образующая конуса равна Вычислим теперь площади боковой поверхности цилиндра и конуса. Это и что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим сечение цилиндра и конуса осевой плоскость, проходящей через центр сферы. Все точки касания будут лежать в этой плоскости. В сечении получим окружность, вписанную в прямоугольный треугольник со сторонами поэтому ее радиус равен

C другой стороны, как мы знаем,

откуда поэтому искомый радиус равен 1.

Видео:Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндраСкачать

В цилиндр вписан конус найдите площадь боковой поверхности цилиндра

В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти отношение удвоенного объем шара к объему конуса.

Пусть — осевое сечение конуса, О — центр шара, вписанного в этот конус, E — точка касания шара и конуса.

Из условия задачи следует, что — равнобедренный (AB = BC). Очевидно, что точка О лежит на биссектрисе которая также служит медианой и высотой

l — образующая конуса (отрезки AB и BC); R — радиус основания конуса (отрезок AD); H — высота конуса (отрезок BD); r — радиус шара (отрезок OE); — площадь сферы (площадь поверхности шара); — полная поверхность конуса; — объем шара; — объем конуса.

Очевидно, что Рассмотрим прямоугольные треугольники BEO и BDA с общим острым углом OBE. Отсюда: т. е.

Найдем отношение объема шара к объему конуса:

Читайте также: Ось цилиндра это рисунок

Теперь найдем отношение площади поверхности шара к площади полной поверхности конуса:

Однако, оказалось, что Значит,

Поскольку нам требуется найти отношение удвоенного объема шара к объему заданного конуса, то таким отношением будет 24 : 49.

Объём конуса, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, равен 3. Найдите объём конуса, описанного около этой пирамиды.

Объемы данных конусов соотносятся как площади их оснований, и, следовательно, как квадраты их диаметров. Диаметр вписанного конуса равен стороне квадрата, диаметр описанного — диагонали квадрата, длина которой равна длины стороны. Поэтому объем описанного конуса в 2 раза больше объема вписанного. Значит, объем конуса, описанного около этой пирамиды, равен 6.

В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72.

а) Найти объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам.

б) Найти наибольший объем вписанного цилиндра.

а) Обозначим радиус основания конуса за высоту за за и — радиус и высоту цилиндра. Проведем осевое сечение конуса. В нем верхнее основание цилиндра будет средней линией треугольника, поэтому радиус цилиндра вдвое меньше радиуса конуса. Высота цилиндра — тоже половина высоты конуса. Объем конуса равен:

б) В осевом сечении образуются два подобных треугольник (см. рисунок). Значит,

Значит, Объем цилиндра равен:

Нужно максимизировать Возьмем производную по

Крайние значения можно не проверять ( или там объем равен нулю). Имеем:

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Не понял про корень из двух. Откуда он взялся?

У квадрата со стороной диагональ равна , в этом можно убедиться с помощью теоремы Пифагора

Объём конуса, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, равен 76. Найдите объём конуса, вписанного в эту пирамиду.

Объемы данных конусов соотносятся как площади их оснований, и, следовательно, как квадраты их диаметров. Диаметр вписанного конуса равен стороне квадрата, диаметр описанного – диагонали квадрата, длина которой равна длины стороны. Поэтому объем вписанного конуса в 2 раза меньше объема описанного, то есть равен 38.

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 5.

а конус и цилиндр имеют общую высоту и основание, имеем:

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Читайте также: Что такое дефектовка блока цилиндров

Запишем формулу для объёма шара:

Объём конуса в 4 раза меньше:

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

Из формул для объема конуса и шара получаем:

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 27.

а конус и цилиндр имеют общую высоту и основание, имеем:

Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 21.

а конус и цилиндр имеют общую высоту и основание, имеем:

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем конуса.

Запишем формулу для объёма шара:

Объём конуса в 4 раза меньше:

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 2. Найдите объем шара.

Из формул для объема конуса и шара получаем:

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 156. Найдите объём конуса.

Запишем формулу для объёма шара:

Объём конуса в 4 раза меньше:

Здравствуйте, почему в формуле объёма конуса вместо высоты написали радиус ведь кончик конуса не достаёт внутреннюю поверхность шара?

Конус вписан в шар, поэтому его вершина принадлежит поверхности этого шара.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 112. Найдите объём конуса.

Запишем формулу для объёма шара:

Объём конуса в 4 раза меньше:

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 47. Найдите объём шара.

Из формул для объема конуса и шара получаем:

Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного в конус, параллельна плоскости основания конуса, делит объем конуса пополам. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

Сделаем выносной чертеж осевого сечения конуса.

Выпишем объемы исходного конуса и отсеченного конуса (соответствует буквам MBN):

Введем обозначение ∠OBN = α. Из прямоугольного треугольника BHC имеем откуда ; из треугольника BON имеем откуда

Так как то получим:

Теперь: OH = OK = r — радиус вписанной сферы.

Из прямоугольного треугольника BKO получим:

В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

а) Осевым сечением является равнобедренный треугольник боковые стороны которого являются образующими конуса, а основанием — его диаметр, и вписанная в треугольник окружность, радиус которой равен радиусу шара (см. рис.).

Читайте также: Бедная смесь в первом цилиндре причина

б) Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть — центр вписанной окружности, отрезок — биссектриса угла и пусть имеем:

Тогда Для площадей поверхностей конуса и шара имеем: Тем самым, искомое отношение равно или 8:3.

Если записать 2.67, то это будет ошибкой?

Естественно. Это ж другое число.

В конус, радиус основания которого равен 6, вписан шар радиуса 3.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Тогда Для площадей поверхностей конуса и шара имеем: Тем самым, искомое отношение равно или 8:3.

Аналоги к заданию № 505566: 511411 Все

В усеченный конус, образующая которого наклонена под углом 45 градусов к нижнему основанию, вписан шар. Найти отношение величины боковой поверхности усеченного конуса к величине поверхности шара.

Рассмотрим осевое сечение конуса. В нем получится трапеция ABCD, в которую вписана окружность. Проведем высоты BG и CH из точек B и C. Тогда

кроме того из описанности

Радиус окружности (он же радиус вписанной в конус сферы) равен Тогда площадь сферы составляет

Достроим теперь усеченный конус до конуса. Трапеция при этом достроится до треугольника, он будет прямоугольный и равнобедренный, поэтому его катеты составят Это образующая конуса. Из нее

Поэтому площадь боковой поверхности усеченного конуса будет

Поэтому искомое отношение равно 2.

а) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны

б) Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а так

же одного из оснований цилиндра, если известно, что объем конуса равен

C другой стороны, как мы знаем,

откуда поэтому искомый радиус равен 1.