В цилиндр вписан треугольник как найти высоту цилиндра (7 видео)

Содержание

Объем цилиндра формула (через радиус основания и высоту)
S (б.п.) = hP = 2πrh
Формула вычисления объема цилиндра
Способ расчета радиуса цилиндра:
S (п.п.) = S (б.п.) + 2S (осн.) = 2πrh + πr2=πr (2h+r)
R = √V / πh
Примеры задач
Через площадь боковой поверхности
Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
Как вычислить высоту цилиндра
Тела и поверхности вращения
Задачи на тела вращения
💥 Видео

Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

Объем цилиндра формула (через радиус основания и высоту)

r — радиус основания цилиндра,

Если внимательно посмотреть на эту формулу, то можно заметить, что

— это формула площади круга, а в нашем случае — площадь основания. Поэтому формулу объема цилиндра можно записать через площадь основания и высоту:

Видео:Задача на вычисление высоты цилиндраСкачать

S (б.п.) = hP = 2πrh

— Если известна площадь бок. поверхности S (б.п.) и высота h цилиндра, радиус будет равен частному от деления S (б.п.) на произведение 2пи на высоту:

Видео:Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания... (ЕГЭ)Скачать

Формула вычисления объема цилиндра

1. Через площадь основания и высоту

Объем (V) цилиндра равняется произведению его высоты и площади основания.

2. Через радиус основания и высоту

Как мы знаем, в качестве оснований цилиндра (равны между собой) выступает круг, площадь которого вычисляется так: S = π ⋅ R 2 . Следовательно, формулу для вычисления объема цилиндра можно представить в виде:

V = π ⋅ R 2 ⋅ H

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

3. Через диаметр основания и высоту

Как нам известно, диаметр круга равняется двум его радиусам: d = 2R. А значит, вычислить объем цилиндра можно следующим образом:

V = π ⋅ (d/2) 2 ⋅ H

Нет сомнений, что все мы со школьных лет помним, как найти высоту цилиндра, формула выглядит так: H=V/πR^2 или 4V/D^2.

Расшифровать формулу просто:

V – объем цилиндра;
π – 3,14;
R – радиус цилиндра;
D – диаметр.

То есть получается, что, если разделить объем на площадь основания, получится высота цилиндра.

Можно поступить проще. Для этого нам придется вычислить площадь боковой поверхности искомого цилиндра. Это легко сделать по формуле: S=2πRH. Слегка изменив формулу, получаем: H=S/2πR.

Таким образом, есть уже два способа, которые помогли вспомнить, как найти высоту цилиндра. Это нетрудно, когда перед глазами стройные формулы.

Видео:Стереометрия. В правильную четырехугольную призму вписан круглый цилиндра. Найдите высоту цилиндраСкачать

Способ расчета радиуса цилиндра:

Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где V – объем цилиндра, h – высота

Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где Sb – площадь боковой поверхности, h – высота

Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где S – площадь полной поверхности, h – высота

S (п.п.) = S (б.п.) + 2S (осн.) = 2πrh + πr2=πr (2h+r)

Площадь боковой поверхности равняется длине окружности основания умноженной на высоту:

R = √V / πh

где V — объем цилиндра, h — высота.
Полная площадь поверхности цилиндра складывается из сумм площадей его боковой поверхности и двух оснований:

Читайте также: В каком году изобрели цилиндр

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Примеры задач

Задание 1
Высота цилиндра равняется 5 см, а объем – 141,3 см 3 . Вычислите его радиус.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные по условиям задачи значения:

Задание 2
Найдите радиус цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна 175,84 см 2 , а высота составляет 7 см.

Решение:
Применим формулу, в которой задействованы заданные величины:

Задание 3
Рассчитайте радиус цилиндра, если полная площадь его поверхности – 602,88 см 2 , а высота – 10 см.

Решение:
Используем третью формулу для нахождения неизвестной величины:

Видео:Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 78. Найдите площадь полной поверхности цилиндраСкачать

Через площадь боковой поверхности

Радиус цилиндра считается таким образом:

S_бок. – площадь боковой поверхности цилиндра; равна произведению длины окружности (2 π R), являющейся основанием фигуры, на его высоту:

Видео:Цилиндр вписан в правильную четырехугольную призмуСкачать

Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Формула для нахождения полной поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Видео:ЗАДАНИЕ 2| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилСкачать

Как вычислить высоту цилиндра

Для любых фигур существует такой термин, как высота. Высотой обычно называется измеряемая величина какой -либо фигуры в вертикальном положении. У цилиндра высота -это линия, перпендикулярная двум его параллельным основаниям. Также у него есть образующая. Образующая цилиндра -это линия, вращением которой получается цилиндр. Она, в отличие от образующей других фигур, например конуса, совпадает с высотой.

Рассмотрим формулу, с помощью которой можно найти высоту:

V=πR^2*H, где R — радиус основания цилиндра, H — искомая высота.

Если вместо радиуса дан диаметр, данная формула видоизменяется следующим образом:

Соответственно, высота цилиндра равна:

Также высоту можно определить, исходя из диаметра и площади цилиндра. Существует площадь боковой и площадь полной поверхности цилиндра. Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называют боковой поверхностью цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра включает в себя и площадь его оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по следующей формуле:

Преобразовав данное выражение, найдите высоту:

Если дана площадь полной поверхности цилиндра, вычисляйте высоту несколько иным способом. Площадь полной поверхности цилиндра равна:

Вначале преобразуйте данную формулу как показано ниже:

Через цилиндр можно провести прямоугольное сечение. Ширина этого сечения будет совпадать с диаметрами оснований, а длина — с образующими фигуры, которые равны высоте. Если провести через это сечение диагональ, то можно легко заметить, что образуется прямоугольный треугольник. В данном случае диагональ является гипотенузой треугольника, катет -диаметром, а второй катет- высотой и образующей цилиндра. Тогда высоту можно найти по теореме Пифагора:

Видео:№531. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельнойСкачать

Тела и поверхности вращения

По теме Тела и поверхности вращения школьнику необходимо знать следующее:

Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка
Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка
Шар и сфера, их сечения

Главная особенность всех упомянутых тел — наличие оси вращения, которая является осью симметрии тела. Если совместить оси вращения двух разных тел, то также получится некая осесимметричная конструкция, все сечения которой плоскостью, проходящей через эту ось, будут одинаковыми. Это позволяет быстро и легко переходить от задачи по стереометрии к рассмотрению плоского сечения.

Поэтому в школьных учебниках, а также в заданиях ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на вписанные и описанные тела вращения. Решим несколько примеров.

Могут потребоваться следующие формулы:

площадь боковой поверхности цилиндра S_б = 2πrh;
площадь полной поверхности цилиндра S_п = 2πrh + 2πr 2 ,
где r — радиус основания цилиндра, h — его высота.

площадь боковой поверхности конуса S_б = πrl;
площадь полной поверхности конуса S_п = πr(r + l),
где r — радиус основания конуса, l — длина образующей.

Объём шара V = 4 _ 3 πR 3 ;

площадь сферы (поверхности шара) S = 4πR 2 ,
где R — радиус шара (сферы).

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Задачи на тела вращения

Внимание: задачи с решениями, но они временно скрыты. Сначала сделайте попытку решить задачу самостоятельно, и только после этого нажимайте кнопки «Посмотреть ответ» и «Посмотреть решение». Ваш ответ должен совпадать с указанным, но способ решения может быть несколько иным.

Читайте также: Задир поршня в цилиндре

Цилиндр, объём которого равен 33, описан около шара. Найдите объём шара.

Как видно из рисунков выше, осевое сечение цилиндра с вписанным шаром представляет собой квадрат с вписанным кругом. Радиус основания цилиндра (r) равен радиусу вписанного шара (R), а его высота (h) равна диаметру шара (удвоенному радиусу).
Тогда объем цилиндра V_ц = πr 2 h = πR 2 ·2R = 2πR 3 .

Отсюда находим R 3 = V_ц ___ 2π и, соответственно, V_ш = 4 _ 3 πR 3 = 4π __ 3 · V_ц __ 2π

После сокращения дроби, получим V_ш = 2V_ц /3 = 2·33/3 = 22.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра находим по формуле S_ц = 2πrh + 2πr 2 .
Аналогично предыдущей задаче из рисунка для плоского сечения видно, что радиус основания цилиндра (r) равен радиусу вписанного шара (R), а его высота (h) равна диаметру шара (удвоенному радиусу).
Поэтому S_ц = 2πR·2R + 2πR 2 = 6πR 2 .
Величину πR 2 найдем из формулы поверхности шара S_ш = 4πR 2 . Следовательно, πR 2 = S_ш /4 = 111/4.
Окончательно находим S_ц = 6·111/4 = 333/2 = 166,5 .

Ответ: 166,5

Цилиндр вписан в шар, радиус которого равен √2 _ . Найти объём цилиндра, если высота цилиндра в два раза больше радиуса цилиндра. Ответ записать в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.

Объём цилиндра определяется по формуле V = πr 2 h .
По условию задачи h = 2r.
Чтобы найти радиус цилиндра, дополнили чертеж осевого сечения радиусом шара и расставили буквы для обозначения отрезков. Здесь O — центр шара, OB = R — радиус шара, AB = r — радиус цилиндра.
Точка O также является серединой высоты цилиндра, поэтому AO = h/2. В нашем случае h/2 = r, таким образом AO = AB = r, и треугольник OAB — прямоугольный, равнобедренный.

Отсюда находим радиус цилиндра r = R·sin45° = R· √2 _ /2 = √2 _ · √2 _ /2 = 1

и его объём V = πr 2 h = π·1 2 ·2 = 2π ≈ 6,28 .

В шар, площадь поверхности которого равна 100π, вписан цилиндр. Найти высоту цилиндра, если радиус его основания равен 4.

Дополним чертеж осевого сечения радиусом шара и расставим буквы для обозначения отрезков.
Площадь поверхности шара S_ш = 4πR 2 = 100π. Отсюда R 2 = 25 и R = 5.
В треугольнике OAB: OA = x — половина искомой высоты цилиндра; AB = 4 — радиус основания цилиндра; OB = 5 — радиус шара.
По теореме Пифагора:
x 2 + 4 2 = 5 2
x 2 = 25 − 16 = 9; x = 3. h = 6.

Конус вписан в цилиндр. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 5.

Как видно из рисунков вверху, в этом случае конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту.

При одинаковых r и h объём конуса V_к = 1 _ 3 πr 2 h

в три раза меньше объёма цилиндра V_ц = πr 2 h .
Таким образом, искомая величина V_ц = 3×5 = 15.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3 √2 _ . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Воспользуемся чертежом осевого сечения, расставим буквы для обозначения отрезков: AC = h — высота конуса и цилиндра, CB = r — радиус оснований конуса и цилиндра, AB = l — образующая цилиндра.
Из треугольника ABC по теореме Пифагора:

т.е. площадь боковой поверхности цилиндра в √2 _ раз больше площади боковой поверхности конуса.
Окончательно S_к = 3 √2 _ / √2 _ = 3

В конус вписан цилиндр так, что его верхнее основание пересекает высоту конуса в её середине. Найдите объём конуса, если объем цилиндра равен 60.

Воспользуемся чертежом осевого сечения, расставим буквы для обозначения отрезков:
AC = h_к — высота конуса, CB = r_к — радиус основания конуса,
DC = h_ц — высота цилиндра, DE = r_ц — радиус основания цилиндра.
Найдём отношение объёмов конуса и цилиндра:

Читайте также: Как определить вмт поршня первого цилиндра в такте сжатия

По условию задачи точка D — середина отрезка AC, т.е. AD = DC = AC / 2 , и потому h_к : h_ц = 2 : 1 .

В конус с высотой 15 и радиусом основания 3 вписан цилиндр объёма V. Найти наибольшее возможное значение объёма цилиндра.

В один и тот же конус можно вписать разные цилиндры. Обозначим символом r радиус вписанного цилиндра, h — его высоту.
Из подобия треугольников ADE и ABC (см. решение предыдущей задачи) составим пропорцию
AC : AD = CB : DE,
15 : (15 − h) = 3 : r,
преобразуя которую, найдём соотношение между высотой и радиусом цилиндра, вписанного в заданный конус:
15· r = 3·(15 − h), h = 15 − 5r .

Теперь можем выразить объём цилиндра только через один его характерный размер:
V = πr 2 h = πr 2 ·(15 − 5r) = 15πr 2 − 5r 3 .
Получили выражение для объёма цилиндра в виде функции одной переменной V = f(r) .
Чтобы найти максимальное значение этой функции, нужно найти её производную.
V’ = (15πr 2 − 5r 3 )’ = 15π·2r − 5·3r 2 = 30πr − 15r 2 .
Затем приравнять производную к нулю и решить уравнение V’ = 0 относительно переменной r.
30πr − 15πr 2 = 0, 15πr(2 − r) = 0 .
Это уравнение имеет два корня r₁ = 0 и r₂ = 2, которые являются точками экстремумов функции V(r). Необходимости проводить исследование на характер экстремумов в данном случае нет, так как очевидно, что при r = 0 объем «цилиндра» будет нулевым, т.е. минимальным. Максимального значения объём достигает при r = 2. Вычислим это значение
V = 15πr 2 − 5r 3 = 15π·2 2 − 5π·2 3 = 60π − 40π = 20π .

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 7 √2 _ . Найдите радиус сферы.

Так как по условию задачи центр сферы находится в центре основания конуса, то основание конуса, в свою очередь, является диаметральным сечением сферы. Т.о. на плоском чертеже отрезок AB является диаметром окружности, и ∠ACB = 90° как вписанный угол, опирающийся на её диаметр.
Пусть l = 7 √2 _ — образующая конуса, R — радиус сферы. Тогда в прямоугольном треугольнике ABC AC = BC = l — катеты, AB = 2R — гипотенуза. По теореме Пифагора
AB 2 = AC 2 + BC 2 ;
(2R) 2 = l 2 + l 2 ;
4R 2 = l 2 + l 2 = 2l 2 ; 4R 2 = 2(7 √2 _ ) 2 ;
4R 2 = 2·49·2 = 4·49; R 2 = 49; R = 7 .

Найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, у которого радиус основания 2 __ √π _ ,

Пусть R — радиус сферы. Поскольку СD — диаметр окружности осевого сечения, то СH + HD = 2R.
Воспользуемся свойством пересекающихся хорд окружности, чтобы найти длину отрезка HD = x.
DH·HС = AH·HC

x· 1 __ √π _ = 2 __ √π _ · 2 __ √π _

Преобразуя, получим х = 4 __ √π _ .

Тогда 2R = 1 __ √π _ + 4 __ √π _ = 5 __ √π _ ; R = 5 ___ 2 √π _ .

Площадь сферы S = 4πR 2 = 4π· 25 ___ 4π = 25 .

В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса равна 3 √9 / π 2 _____ , а угол между высотой и образующей равен 45°. Найти объём шара.

На этом рисунке углы между высотой и образующей — ∠OCA и ∠OCB. По условию задачи они равны 45°. Таким образом треугольники OCA и OCB прямоугольные, равнобедренные. Следовательно, радиус шара равен высоте конуса, и площадь осевого сечения конуса (площадь треугольника ABC) можно выразить только через радиус шара S = OC·AB/2=R·2R/2 = R 2 .
Таким образом,

В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания. Найти отношение полной поверхности этого конуса к поверхности шара.

Пусть образующая конуса (AC = BC) равна a. Тогда по условию задачи диаметр конуса (AB) тоже равен a. То есть, треугольник ABC — равносторонний.
Чтобы найти радиус шара (R), используем формулу, связывающую длину стороны равностороннего треугольника и радиус описанной около него окружности.

Радиус основания конуса r = a/2 (половина диаметра).
Площадь полной поверхности конуса
S_к = πr(r + l) = π·a/2·(a/2 + a) = 3πa 2 /4 .
Площадь поверхности шара
S_ш = 4πR 2 = 4π·a 2 ·( √3 _ /3) 2 = 4πa 2 /3 .
Их отношение