В цилиндр вписана правильная треугольная призма найдите радиус цилиндра

Найдите объем правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен \(2\sqrt 3\) , а высота равна \(3\sqrt 3\) .

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту \(V=S_oH.\) Высота известна из условия и равна \(3\sqrt 3\) . Осталось найти площадь основания.

Так как призма правильная, то в основании лежит правильный треугольник. Площадь правильного треугольника можно найти через радиус описанной окружности \(S_o= R^2.\)

Тогда искомый объем равен \(V= (2\sqrt 3)^2*3\sqrt 3=81.\)

P.S. Можно не запоминать формулу площади правильного треугольника, так как здесь довольно просто можно вычислить длину стороны, зная радиус описанной окружности. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения медиан. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины. Из этих соображений находим длину медианы, а затем длину стороны и считаем площадь треугольника.

Пусть m — длина медианы (а в правильном треугольнике это высота и биссектрисса), тогда по определению синуса угла (а все углы в правильном треугольнике равны 60 градусам): \(sin60^o=m/a \Rightarrow a=m/sin60^o= m.\)

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то \(R= m \Rightarrow m= R.\) Тогда \(a=\sqrt3R=6.\)

Площадь треуольника в основании равна \(S= a*a*sin60^o=9\sqrt 3\) , а тогда \(V=9\sqrt3*3\sqrt3=27*3=81.\)

Видео:№ 671 - Геометрия 10-11 класс АтанасянСкачать

В цилиндр вписана правильная треугольная призма найдите радиус цилиндра

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Читайте также: Потолочные споты поворотные цилиндры

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на

Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на

Вершина A куба с ребром 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A₁. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину

Видео:ЕГЭ. Задача 8. Призма и цилиндрСкачать

В цилиндр вписана правильная треугольная призма найдите радиус цилиндра

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

Видео:Стереометрия. ЕГЭ. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндраСкачать

Задача. Призма, вписанная в цилиндр

В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60 градусам. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45 градусов. Найдите объем цилиндра.

Решение .
Объем цилиндра найдем по формуле:

где:
R — радиус основания прямого цилиндра,
h — высота.

Найдем основание цилиндра. 1-й способ .
Основание цилиндра одновременно является окружностью, описанной вокруг прямоугольного треугольника, являющегося основанием призмы. Диаметр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. То есть длина гипотенузы равна 2R.

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника найдем по формуле:

R = x / 2 sin α
где:
x — сторона треугольника
α — угол, противолежащий стороне а.

Противолежащий угол найдем следующим образом. Поскольку треугольник прямоугольный, то противолежащий катету угол будет равен 180-90-60 = 30 градусов. Таким образом, радиус описанной окружности (он же радиус цилиндра) равен:

Найдем основание цилиндра. 2-й способ
У прямоугольного треугольника гипотенуза одновременно является диаметром описанной окружности. Половина гипотенузы будет равна ее радиусу.
Таким образом найдем гипотенузу для прямоугольного треугольника, зная угол и его катет через тригонометрическую функцию:
2R = 2a / cos 60 = 2a / 0.5 = 4a
R = 2a

Найдем высоту цилиндра .
Диаметр описанной окружности образует с диагональю призмы прямоугольный треугольник, один катет которого является диаметром описанной окружности, второй — высотой цилиндра и призмы, а гипотенуза является диагональю большей стороны призмы и одновременно цилиндра.

Поскольку угол диагонали с основанием составляет 45 градусов, то второй угол равен 180 — 45 — 90 = 45 градусов.
Исходя из того, что прямоугольный треугольник равнобедренный, то высота цилиндра и призмы равна диаметру окружности. Таким образом:

V = пR 2 h
V = п*4a 2 *4a
V = п16a 3 .

Видео:11 класс. Контрольная №4 (из 6). Тема: Объем призмы, цилиндра и конуса. Решение с советами! :)Скачать

Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найти угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Если радиус основания равен высоте цилиндра, диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы представляет собой прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен высоте цилиндра (r), а второй катет равен стороне шестиугольника, вписанного в окружность.Согласно свойствам шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона равна радиусу такой окружности.

То есть, каждая боковая грань данной вписанной призмы – квадрат. Диагональ грани образует с осью цилиндра, как и с боковым ребром, одинаковый угол 45°, так как ось цилиндра и боковые ребра вписанной призмы параллельны.

Видео:07 Стереометрия на ЕГЭ по математике. Призма вписана в цилиндр.Скачать

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Взаимные комбинации тел вращения.

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Взаимные комбинации тел вращения.

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Видео:Задание № 1215 - Геометрия 9 класс (Атанасян)Скачать

Цилиндр, вписанный в призму

Го­во­рят, что ци­линдр впи­сан в приз­му (или приз­ма опи­са­на около ци­лин­дра), если ос­но­ва­ния ци­лин­дра впи­са­ны в со­от­вет­ству­ю­щие ос­но­ва­ния приз­мы (рис. 1). Оче­вид­но, что их вы­со­ты сов­па­дут (рис. 2).

Рис. 1. Ци­линдр, впи­сан­ный в приз­му

Рис. 2. Ци­линдр, впи­сан­ный в приз­му

Видео:ЕГЭ математика СТЕРЕОМЕТРИЯ 8#5.18🔴Скачать

Условия, при которых цилиндр можно вписать в призму

Нужно, чтобы в ос­но­ва­ние приз­мы можно было впи­сать окруж­ность. Что для тре­уголь­ной и пра­виль­ной приз­мы верно все­гда (рис. 3, 4).

Рис. 3. Ци­линдр, впи­сан­ный в тре­уголь­ную приз­му

Рис. 4. Ци­линдр, впи­сан­ный в пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную приз­му

Вывод: ци­линдр можно впи­сать в приз­му, если приз­ма пря­мая, а в ее ос­но­ва­ние можно впи­сать окруж­ность.

Для че­ты­рех­уголь­ный приз­мы необ­хо­ди­мо чтобы приз­ма была также пря­мой, а че­ты­рех­уголь­ник в ос­но­ва­нии был опи­сан­ным. Т. е. суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон были равны (рис. 5).

Рис. 5. Ци­линдр, впи­сан­ный в че­ты­рех­уголь­ную приз­му

Видео:Стереометрия, номер 9.1Скачать

Задача №1

Усло­вие: в пра­виль­ную тре­уголь­ную приз­му, все ребра ко­то­рой равны 6, впи­сан ци­линдр. Найти его ра­ди­ус и вы­со­ту (рис. 6).

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1

За­ме­тим, что вы­со­та ци­лин­дра равна вы­со­те приз­мы, а зна­чит, равна 6.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник со сто­ро­ной 6. Ра­ди­ус этой окруж­но­сти на­хо­дим по фор­му­ле , то есть он равен .

Ответ: .

Видео:Задачи на нахождения объема призмы и цилиндраСкачать

Цилиндр, описанный около призмы

Го­во­рят, что ци­линдр можно опи­сать около приз­мы (или приз­му впи­сать в ци­линдр), если ос­но­ва­ния приз­мы впи­са­ны в ос­но­ва­ния ци­лин­дра. В дан­ном слу­чае, оче­вид­но, снова будут равны вы­со­ты (бо­ко­вые сто­ро­ны приз­мы и об­ра­зу­ю­щие ци­лин­дра) (рис. 7).

Рис. 7. Ци­линдр, опи­сан­ный около приз­мы

Видео:Стереометрия. ЕГЭ. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра. Найдите высоту цилиндраСкачать

Условия, при которых цилиндр можно описать около призмы

Ци­линдр можно опи­сать около приз­мы, когда ос­но­ва­ние приз­мы можно впи­сать в окруж­ность. Для тре­уголь­ной -уголь­ной пра­виль­ной приз­мы – все­гда, для че­ты­рех­уголь­ной – когда сумма про­ти­во­по­лож­ных углов в ос­но­ва­нии дает 180 гра­ду­сов (рис. 8).

Рис. 8. Ци­линдр, опи­сан­ный около че­ты­рех­уголь­ной приз­мы

Видео:Стереометрия, номер 38.1Скачать

Задача №2

Усло­вие: дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма, впи­сан­ная в ци­линдр. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 7, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 28. Найти пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы (рис. 9).

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 2

Спер­ва най­дем вы­со­ту ци­лин­дра. Так как , то .

Зна­чит, и бо­ко­вое ребро приз­мы также равно 2.

Далее, в ос­но­ва­нии приз­мы лежит пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник, впи­сан­ный в окруж­ность. Как из­вест­но, сто­ро­на пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, то есть 7.

Тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна .

Видео:ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПРИЗМЫ // СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать

Разветвление: задача №3

Усло­вие. Дана че­ты­рех­уголь­ная пря­мая приз­ма, все ребра ко­то­рой равны 1. Из­вест­но, что около этой приз­мы можно опи­сать ци­линдр. Най­ди­те объем приз­мы и пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти дан­но­го ци­лин­дра (рис. 10).

Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 3

Так как все ребра равны, то в ос­но­ва­нии приз­мы лежит ромб. Раз можно опи­сать ци­линдр около приз­мы, то ромб можно впи­сать в окруж­ность, а зна­чит, этот ромб – квад­рат. Сле­до­ва­тель­но, приз­ма – это куб со сто­ро­ной 1, его объем также равен 1.

Вы­со­та ци­лин­дра – 1, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен по­ло­вине диа­го­на­ли квад­ра­та, то есть . Тогда .

Ответ: .

Видео:Цилиндр вписан в четырехугольную призму. Найдите площадь боковой поверхности призмы.Скачать

Заключение

На уроке мы разо­бра­ли ком­би­на­ции приз­мы и ци­лин­дра, а также ре­ши­ли за­да­чи по темам: ци­линдр, опи­сан­ный во­круг приз­мы и ци­линдр, впи­сан­ный в приз­му.

💥 Видео

Призма и цилиндр. Практическая часть. 11 класс.Скачать

ЕГЭ 2017 по Математике. Призма вписана в цилиндр Задание 8 #4Скачать

ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

Цилиндр вписан в правильную четырехугольную призмуСкачать

#130. Задание 8: комбинация телСкачать

Комбинация призм и цилиндровСкачать

Геометрия Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной околоСкачать