В цилиндр вписана правильная треугольная призма основание прямоугольный треугольник (6 видео)

Содержание

В цилиндр вписана правильная треугольная призма основание прямоугольный треугольник
Задача. Призма, вписанная в цилиндр
Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма
В цилиндр вписана правильная треугольная призма основание прямоугольный треугольник
Задача. Призма, вписанная в цилиндр
Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма
В цилиндр вписана правильная треугольная призма основание прямоугольный треугольник
Тема урока «Призма, вписанная в цилиндр. Цилиндр, вписанный в призму»
📸 Видео

Видео:11 класс. Контрольная №4 (из 6). Тема: Объем призмы, цилиндра и конуса. Решение с советами! :)Скачать

В цилиндр вписана правильная треугольная призма основание прямоугольный треугольник

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

Видео:Треугольная призма. Ортогональные и изометрическая проекции. Урок 10.(Часть2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Задача. Призма, вписанная в цилиндр

В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60 градусам. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45 градусов. Найдите объем цилиндра.

Решение .
Объем цилиндра найдем по формуле:

где:
R — радиус основания прямого цилиндра,
h — высота.

Найдем основание цилиндра. 1-й способ .
Основание цилиндра одновременно является окружностью, описанной вокруг прямоугольного треугольника, являющегося основанием призмы. Диаметр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. То есть длина гипотенузы равна 2R.

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника найдем по формуле:

R = x / 2 sin α
где:
x — сторона треугольника
α — угол, противолежащий стороне а.

Противолежащий угол найдем следующим образом. Поскольку треугольник прямоугольный, то противолежащий катету угол будет равен 180-90-60 = 30 градусов. Таким образом, радиус описанной окружности (он же радиус цилиндра) равен:

Найдем основание цилиндра. 2-й способ
У прямоугольного треугольника гипотенуза одновременно является диаметром описанной окружности. Половина гипотенузы будет равна ее радиусу.
Таким образом найдем гипотенузу для прямоугольного треугольника, зная угол и его катет через тригонометрическую функцию:
2R = 2a / cos 60 = 2a / 0.5 = 4a
R = 2a

Найдем высоту цилиндра .
Диаметр описанной окружности образует с диагональю призмы прямоугольный треугольник, один катет которого является диаметром описанной окружности, второй — высотой цилиндра и призмы, а гипотенуза является диагональю большей стороны призмы и одновременно цилиндра.

Поскольку угол диагонали с основанием составляет 45 градусов, то второй угол равен 180 — 45 — 90 = 45 градусов.
Исходя из того, что прямоугольный треугольник равнобедренный, то высота цилиндра и призмы равна диаметру окружности. Таким образом:

V = пR 2 h
V = п*4a 2 *4a
V = п16a 3 .

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найти угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Если радиус основания равен высоте цилиндра, диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы представляет собой прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен высоте цилиндра (r), а второй катет равен стороне шестиугольника, вписанного в окружность.Согласно свойствам шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона равна радиусу такой окружности.

То есть, каждая боковая грань данной вписанной призмы – квадрат. Диагональ грани образует с осью цилиндра, как и с боковым ребром, одинаковый угол 45°, так как ось цилиндра и боковые ребра вписанной призмы параллельны.

Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

В цилиндр вписана правильная треугольная призма основание прямоугольный треугольник

Видео:ЕГЭ математика СТЕРЕОМЕТРИЯ 8#5.18🔴Скачать

Задача. Призма, вписанная в цилиндр

Решение .
Объем цилиндра найдем по формуле:

где:
R — радиус основания прямого цилиндра,
h — высота.

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника найдем по формуле:

R = x / 2 sin α
где:
x — сторона треугольника
α — угол, противолежащий стороне а.

V = пR 2 h
V = п*4a 2 *4a
V = п16a 3 .

Видео:10 класс, 30 урок, ПризмаСкачать

Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма

Видео:Задачи на нахождения объема призмы и цилиндраСкачать

В цилиндр вписана правильная треугольная призма основание прямоугольный треугольник

Правильная треугольная призма ABCA‍₁B‍₁C‍_1‍ описана около шара радиуса R.‍ Точки M‍ и N —‍ середины рёбер BB‍_1‍ и CC‍₁.‍ В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN.‍ Найдите объём цилиндра

Заметим, что высота призмы равна диаметру шара, т. е. 2R,‍ шар касается плоскостей оснований призмы в центрах P‍ и P‍_1‍ равносторонних треугольников ABC‍ и A‍₁B‍₁C‍₁,‍ а плоскостей боковых граней — в точках пересечения их диагоналей (рис. 1).

Рассмотрим сечение призмы плоскостью AKK‍₁A‍_1‍ (рис. 2). Получим прямоугольник AKK‍₁A‍_1‍ со сторонами 2R,‍ 3R,‍ круг радиуса R,‍ касающийся сторон AK‍ и A‍₁K‍_1‍ в точках P‍ и P‍₁,‍ а стороны KK‍₁ —‍ в её середине L,‍ причём центр круга совпадает с центром O‍ шара. Пусть ∠LAK = α.‍ Тогда

Опустим перпендикуляр OQ‍ из центра круга на прямую AL.‍ Из прямоугольного треугольника OQL‍ находим, что

Пусть AQ‍ пересекает окружность, ограничивающую круг, в точке E.‍ Продолжим EO‍ до пересечения с этой окружностью в точке F.‍ Тогда EL —‍ диаметр основания цилиндра, вписанного в данный шар, а LF —‍ высота цилиндра. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника EFL‍ находим, что

Следовательно, объём цилиндра равен

Видео:ЕГЭ. Задача 8. Призма и цилиндрСкачать

Тема урока «Призма, вписанная в цилиндр. Цилиндр, вписанный в призму»

Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Технология урока: проблемно-исследовательская технология.

Рассмотреть понятия: вписанного цилиндра в призму и вписанной призмы в цилиндр;
Использовать эти понятия при решении задач;
Формировать представления об использовании этих понятий в практической жизни человека.

Метапредметные связи: геометрия, черчение, рабочие профессии.

Учащиеся должны знать:

Понятия: вписанного цилиндра в призму и вписанной призмы в цилиндр;
Применение данных понятий при решении задач;
Применение данных понятий в практической жизни.

Учащиеся должны уметь:

Решать задачи на взаимное расположение цилиндра и призмы;
Объяснять применение данных понятий в практической жизни человека.

Организационный момент (1 минута);
Постановка проблемы на определение темы урока и его целей. (3 минуты);
Актуализация знаний учащихся. Повторение ранее изученного материала (5 минут);
Объяснение новой темы. Проблемно-поисковая работа.(7 минут);
Закрепление изученных понятий в ходе фронтального опроса.(7 минут);
Решение задач различного уровня сложности. (15 минут);
Рефлексия. Итоговый тест по усвоению новых понятий с самопроверкой. (5 минут);
Подведение итогов урока. Домашнее задание.(1 минута).

1. Постановка проблемы: токарь из шестигранника вытачивает цилиндр.

Вопрос: о каком взаимном расположении геометрических тел идет речь? (слайд 1 из презентации к уроку)

Используя определенные инструменты, фрезеровщик из цилиндрической заготовки получает шестигранник.

Вопрос:о каком взаимном расположении геометрических тел идет речь? (слайд 2)

Тема урока “Цилиндр, вписанный в призму. Призма, вписанная в цилиндр”. (слайд 3)

Цели урока:

Рассмотреть понятия: вписанного цилиндра в призму и вписанной призмы в цилиндр;
Использовать эти понятия при решении задач;
Формировать представления об использовании этих понятий в практической жизни человека.(слайд 4)

2. Актуализация знаний учащихся. Повторение ранее изученного.

Повторение определений, связанных с понятиями “призма” и “цилиндр”:

В какой треугольник можно вписать окружность? Около какого треугольника можно описать окружность?
В какой четырехугольник можно вписать окружность? Около какого четырехугольника можно описать окружность?
Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности. Памятка на столе (Приложение 1).
Решить задачу: Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 9 см, а площадь поверхности равна 306 см 2 . У слабых учащихся лежит на столе решение этой задачи с пропусками, которые они должны заполнить во время работы (Приложение 2).
Жестянщик изготавливает 10 баков цилиндрической формы размерами 50 см в высоту и 40 см в диаметре. Сколько листов железа размерами 0,81,6 м потребуется для этого (5% листового железа идет на скрепление деталей)? Ответ округлите до целых. У слабых учащихся лежит на столе решение этой задачи с пропусками, которые они должны заполнить во время работы (Приложение 3).

3. Объяснение новой темы. Проблемно – поисковая работа.

Как вы думаете можно ли вписать в цилиндр призму?

При каких условиях призма вписана в цилиндр?

Призма прямая.
Основания призмы вписаны в основания цилиндра.
Боковые ребра призмы совпадают с образующими (слайд 6).

Как вы думаете можно ли описать около цилиндра призму?

При каких условиях около цилиндра можно описать призму?

Призма прямая.
Основания цилиндра вписаны в основания призмы.
Образующие цилиндра совпадают с боковыми ребрами призмы (слайд 7).

4. Закрепление изученных понятий в ходе фронтального опроса.

Можно ли описать цилиндр вокруг прямой призмы, в основании которой лежит ромб?
Можно ли вписать цилиндр в призму, в основании которой лежит прямоугольник?
Определите вид треугольника, лежащего в основании призмы, вписанной в цилиндр, если ось цилиндра проходит внутри призмы (слайд 8)?
В прямой четырехугольной призме углы основания в порядке следования относятся как 3:5:8:6. Можно ли описать цилиндр вокруг этой призмы?

5. Решение задач различного уровня сложности по готовым чертежам.

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, а вокруг него описана правильная четырехугольная призма.Найти отношение площадей боковых поверхностей этих призм (слайд 9).

Решение: = = = 3/4. Ответ: 3/4.

В основании прямой призмы лежит ромб. Площадь боковой поверхности призмы равна 120 см 2 . Найти радиус основания цилиндра, вписанного в эту призму, если высота призмы равна 6 см, а острый угол основания — 60°(слайд 10).

Решение S = Ph = , 120 = 4 * а * 6, а = 5см._осн = а 2 * , _осн = 25, _осн = (25):5 = , r = :2 = .

Прямоугольный параллелепипед со сторонами 6дм и 8дм и высотой, равной 14дм, вписан в цилиндр. Найдите радиус основания цилиндра, площадь полной поверхности цилиндра(слайд 11).

Ответ: r=5 дм, S=190 дм 2 .

Площадь осевого сечения цилиндра равна Q. Найти площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной вокруг этого цилиндра (слайд 12).

6. Рефлексия. Итоговый тест по усвоению новых понятий с самопроверкой.

Верно ли утверждение: в наклонную призму можно вписать цилиндр?
Верно ли утверждение: высота цилиндра равна высоте, вписанной в него треугольной призме?
Верно ли утверждение: около любой треугольной призмы можно описать цилиндр?
Верно ли утверждение: в любую четырехугольную призму можно вписать цилиндр?
Верно ли утверждение: около правильной шестиугольной призмы можно описать цилиндр?
Верно ли утверждение: призму высотой 40 см можно вписать в цилиндр высотой 24 см?
Из тонкостенной цилиндрической трубы жестянщик делает четырехгранную водосточную трубу. Будут ли равны площади поверхностей этих труб?
Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 2, а площадь поверхности равна 104.
Люди, каких профессий сталкиваются с понятиями: “вписанный цилиндр в призму” и “ вписанная призма в цилиндр”?

Выполнить самопроверку и проанализировать знания и умения, полученные на уроке (слайд13).

7. Итог урока. Домашнее задание.

1. Атанасян Л.Г., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10 – 11. Учебник для общеобразовательных учреждений. – 15-е изд.,доп. – М.: Просвещение, 2006.

2. Саакян С.М., Бутузов В.Ф. Изучение геометрии в 10 – 11 классах. Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя. – 2-изд. – М. Просвещение, 2003.