В цилиндр вписана призма основанием которой является прямоугольный треугольник (8 видео)

Содержание

В цилиндр вписана призма основанием которой является прямоугольный треугольник
Задача. Призма, вписанная в цилиндр
Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма
В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого раве…
В цилиндр вписана призма основанием которой является прямоугольный треугольник
Задача. Призма, вписанная в цилиндр
Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма
В цилиндр вписана призма основанием которой является прямоугольный треугольник
Как написать хороший ответ?
💥 Видео

Видео:№ 672 - Геометрия 10-11 класс АтанасянСкачать

В цилиндр вписана призма основанием которой является прямоугольный треугольник

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

Видео:11 класс. Контрольная №4 (из 6). Тема: Объем призмы, цилиндра и конуса. Решение с советами! :)Скачать

Задача. Призма, вписанная в цилиндр

В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60 градусам. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45 градусов. Найдите объем цилиндра.

Решение .
Объем цилиндра найдем по формуле:

где:
R — радиус основания прямого цилиндра,
h — высота.

Найдем основание цилиндра. 1-й способ .
Основание цилиндра одновременно является окружностью, описанной вокруг прямоугольного треугольника, являющегося основанием призмы. Диаметр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. То есть длина гипотенузы равна 2R.

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника найдем по формуле:

R = x / 2 sin α
где:
x — сторона треугольника
α — угол, противолежащий стороне а.

Противолежащий угол найдем следующим образом. Поскольку треугольник прямоугольный, то противолежащий катету угол будет равен 180-90-60 = 30 градусов. Таким образом, радиус описанной окружности (он же радиус цилиндра) равен:

Найдем основание цилиндра. 2-й способ
У прямоугольного треугольника гипотенуза одновременно является диаметром описанной окружности. Половина гипотенузы будет равна ее радиусу.
Таким образом найдем гипотенузу для прямоугольного треугольника, зная угол и его катет через тригонометрическую функцию:
2R = 2a / cos 60 = 2a / 0.5 = 4a
R = 2a

Найдем высоту цилиндра .
Диаметр описанной окружности образует с диагональю призмы прямоугольный треугольник, один катет которого является диаметром описанной окружности, второй — высотой цилиндра и призмы, а гипотенуза является диагональю большей стороны призмы и одновременно цилиндра.

Поскольку угол диагонали с основанием составляет 45 градусов, то второй угол равен 180 — 45 — 90 = 45 градусов.
Исходя из того, что прямоугольный треугольник равнобедренный, то высота цилиндра и призмы равна диаметру окружности. Таким образом:

V = пR 2 h
V = п*4a 2 *4a
V = п16a 3 .

Видео:Задание №672 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)Скачать

Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найти угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Если радиус основания равен высоте цилиндра, диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы представляет собой прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен высоте цилиндра (r), а второй катет равен стороне шестиугольника, вписанного в окружность.Согласно свойствам шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона равна радиусу такой окружности.

То есть, каждая боковая грань данной вписанной призмы – квадрат. Диагональ грани образует с осью цилиндра, как и с боковым ребром, одинаковый угол 45°, так как ось цилиндра и боковые ребра вписанной призмы параллельны.

Видео:ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПРИЗМЫ // СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать

В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого раве…

В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2, а прилежащий угол равен 30°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°. Найдите объем цилиндра.

Чертеж к задаче во вложении.

∆ АВС — прямоугольный, ∠С=90°, ∠А=30°. Следовательно, гипотенуза АВ является диаметром описанной окружности (основания цилиндра) и АВ=2ВС. По теореме Пифагора

Рассмотрим прямоугольный ∆ ВАА’. У него по условию ∠B=45°, следовательно ∠А’=90°-45°=45°. Поэтому ∆ ВАА’ — равнобедренный с основанием BА’. Значит,

Основанием вписанной в цилиндр призмы служит прямоугольный треугольник. Он вписан в круг — основание цилиндра.

Гипотенуза вписанного прямоугольного треугольника — диаметр окружности, в которую он вписан.
Диаметр АВ =ВС: cos( 30°)
АВ=2:(√3 : 2)=4:√3=4:√3
По условию диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°.
Большая боковая грань призмы имеет основанием большую сторону основания — гипотенузу АВ.
Отсюда высота АЕ цилиндра, как катет ЕА равнобедренного прямоугольного треугольника ЕАВ равна АВ и равна 4:√3
V=πr²H
r=0,5*4:√3 =2:√3
V=π(2:√3 )²(4:√3)=π4*4: 3√3=16π√3:3*3=16π√3):9

Видео:Призма и цилиндр. Практическая часть. 11 класс.Скачать

В цилиндр вписана призма основанием которой является прямоугольный треугольник

Видео:ЕГЭ. Математика, объёмы тел.Скачать

Задача. Призма, вписанная в цилиндр

Решение .
Объем цилиндра найдем по формуле:

где:
R — радиус основания прямого цилиндра,
h — высота.

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника найдем по формуле:

R = x / 2 sin α
где:
x — сторона треугольника
α — угол, противолежащий стороне а.

V = пR 2 h
V = п*4a 2 *4a
V = п16a 3 .

Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

В цилиндр вписана призма основанием которой является прямоугольный треугольник

Ответы и объяснения 2

Чертеж к задаче во вложении.

Гипотенуза вписанного прямоугольного треугольника — диаметр окружности, в которую он вписан.
Диаметр АВ =ВС: cos( 30°)
АВ=2:(√3 : 2)=4:√3=4:√3
По условию диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°.
Большая боковая грань призмы имеет основанием большую сторону основания — гипотенузу АВ.
Отсюда высота АЕ цилиндра, как катет ЕА равнобедренного прямоугольного треугольника ЕАВ равна АВ и равна 4:√3
V=πr²H
r=0,5*4:√3 =2:√3
V=π(2:√3 )²(4:√3)=π4*4: 3√3=16π√3:3*3=16π√3):9

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.