В цилиндре длиной 2l 2 м поршень соединен с днищами (3 видео)

Выберем в качестве начала отсчета времени момент, когда тело, смещенное от положения равновесия на расстояние x₀, отпускают без начальной скорости. Тогда его координата будет меняться со временем в соответствии с выражением

где w – круговая частота колебаний, связанная с периодом колебаний соотношением . Обозначив через t₀ время, за которое тело проходит от крайнего положения путь x₀/2, можно записать: откуда .

Средняя скорость тела за время t0 определяется выражением:

Два маленьких тела начинают одновременно соскальзывать без начальной скорости из точки А: первое – по внутренней поверхности гладкой сферы до ее нижней точки В, второе – по гладкой наклонной плоскости АВ. Пренебрегая трением, найдите, во сколько раз k отличаются времена движения этих тел от начальной до конечной точек. Расстояние АВ намного меньше радиуса сферы.

Поскольку расстояние между точками A и B намного меньше радиуса сферы, можно считать, что тело, скользящее по гладкой сферической поверхности радиусом R, движется как математический маятник длиной R, совершающий малые колебания. Поэтому время его движения из точки A в точку B равно четверти периода колебаний маятника, т.е. .

Тело на гладкой наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонталью, движется с ускорением a=2Rsin a . Длина наклонной плоскости совпадает с расстоянием между точками A и B, которое, как видно из рисунка, есть l=2Rsin a . Следовательно, время движения этого тела из точки A в точку B:

II. Молекулярная физика и термодинамика

В цилиндре под невесомым поршнем площадью S = 100 см 2 находится 1 моль идеального газа при температуре t₁ = 100 °C. К поршню через два блока на невесомой нерастяжимой нити подвешен груз массой М = 17 кг. На какую высоту D h поднимется груз, если медленно охладить газ до температуры t₂=0°C? Атмосферное давление p₀=10 –5 Па, универсальная газовая постоянная R= 8,3 Дж/(моль · К), ускорение свободного падения принять g=10 м/с 2 . Трением пренебречь.

Поршень находится под действием трех сил: силы натяжения нити T и силы давления газа в сосуде pS, направленных вверх, а также силы атмосферного давления p₀S, направленной вниз. Поскольку процесс охлаждения газа является медленным, можно считать, что ускорение системы равно нулю и сила натяжения нити в каждый момент времени равна весу неподвижного груза, т.е. T=Mg. Следовательно, поршень находится в равновесии при выполнении условия:

Как видно из этой формулы, давление газа p при изменении его объема постоянно. Записывая уравнение Клапейрона–Менделеева для начального и конечного состояний газа, получаем

где T₁=(t₁ + 273) К; T₂= (t₂ + 273) К; V₁ и V₂ – начальный и конечный объемы газа, причем V₁ – V₂ = D hS. Объединяя записанные соотношения, получаем ответ:

В вертикально расположенном цилиндре находится кислород массой m=64 г, отделенный от атмосферы поршнем, который соединен с дном цилиндра пружиной жесткостью k=8,3 · 10 2 Н/м. При температуре T₁=300 К поршень располагается на расстоянии h=1 м от дна цилиндра. До какой температуры T₂ надо нагреть кислород, чтобы поршень расположился на высоте H=1,5 м от дна цилиндра? Универсальная газовая постоянная R=8,3 Дж/(моль · К), молярная масса кислорода M=32 г/моль.

Поскольку в условии задачи не сказано, что поршень невесом, будем полагать, что он обладает некоторой неизвестной массой, которую обозначим через M₀. Ничего не говорится также про атмосферное давление, поэтому будем считать, что оно действует, и обозначим его через p₀. Таким образом, на поршень действуют в общем случае четыре силы: сила тяжести M₀g, сила упругости пружины kx (x – удлинение пружины) и сила атмосферного давления p₀S, направленные вниз, и сила давления газа в цилиндре pS, направленная вверх. Условия равновесия поршня в начальном и конечном состояниях имеют вид:

Здесь p₁ и p₂ – давления газа в начальном и конечном состояниях. Вычитая из второго уравнения первое, получаем:

С другой стороны, из уравнения Клапейрона–Менделеева, записанного для начального и конечного состояний газа, следует:

Отсюда вытекает, что

Приравнивая разности давлений газа, найденные этими двумя способами, после несложных преобразований получаем ответ:

Видно, что наличие атмосферного давления и масса поршня не влияют на ответ.

Вертикальная цилиндрическая трубка с запаянными концами разделена на две части тонким горизонтальным поршнем, способным перемещаться вдоль нее без трения. Верхняя часть трубки заполнена неоном, а нижняя – гелием, причем массы газов одинаковы. При некоторой температуре поршень находится точно посередине трубки. После того как трубку нагрели, поршень переместился вверх и стал делить объем трубки в отношении 1 : 3. Определите, во сколько раз a возросла абсолютная температура газов. Молярная масса неона M_Ne = 20 г/моль, молярная масса гелия M_He = 4 г/моль.

Читайте также: Цилиндр описанный около призмы в основании прямоугольный треугольник площадь

Обозначим через p₁ и p₂ давления газов, находящихся в верхней и нижней частях трубки соответственно. Поскольку количества газов в верхней и нижней частях трубки, по условию задачи, различны, а при одной и той же начальной температуре объемы этих частей одинаковы, равновесие поршня возможно только при условии, что он имеет некоторую конечную массу. Обозначив массу поршня через M₀, а его площадь через S, запишем условие равновесия поршня в виде:

Используя уравнение Клапейрона–Менделеева для описания состояния гелия и неона при произвольной температуре T, получаем для разности их давлений следующее выражение:

где m – масса каждого из газов, R – универсальная газовая постоянная.

Обозначим через V объем всей трубки. Тогда начальные объемы газов (при температуре T’):

а их конечные объемы (при температуре T»):

Объединяя записанные равенства, приходим к соотношению:

из которого после несложных преобразований получаем ответ:

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

В цилиндре длиной 2l 2 м поршень соединен с днищами

2016-10-20
В герметичном цилиндре длиной $l = 1 м$ и сечением $S = 10 см^ $ находится тонкий поршень массой $M = 200 г$, который может перемещаться вдоль цилиндра без трения. Первоначально ось цилиндра горизонтальна, а поршень находится посередине цилиндра. По обе стороны от поршня находятся одинаковые количества $m = 0,4 г$ воды и её паров при атмосферном давлении. Затем цилиндр переводят в вертикальное положение.
а) На сколько при этом смещается поршень, если во всём цилиндре поддерживается температура $T = 100^ C$?
б) Как изменится ответ а), если $m = 0,8 г$?

Плотность насыщенных паров воды при атмосферном давлении $p_ = 10^ Па$ и температуре $T_ = 100^ С$ равна $\rho_ = \mu p_ /(RT) \approx 580 г/м^ $. Здесь $\mu = 18 г/моль$ — молярная масса воды. Поэтому в начальном состоянии в цилиндре объёмом $V = lS = 1000 см^ $ находится 0,58 г насыщенного пара из общего количества 0,8 г воды в случае а) и из 1,6 г — в случае б).

После перевода цилиндра в вертикальное положение пар под поршнем в нижней части цилиндра будет конденсироваться, а вода в верхней части — испаряться. В случае б), очевидно, наверху останется вода и её насыщенные пары, а внизу весь пар сконденсируется. Таким образом, в случае б) поршень опустится до дна цилиндра, и его смещение составит 50 см.

В случае а) вся вода в верхней части цилиндра испарится, пар в ней станет ненасыщенным, а его давление $p$ — ниже атмосферного. В нижней части цилиндра после конденсации части пара давление останется равным $p_ $. Разность давлений в нижней и верхней частях цилиндра должна обеспечивать равновесие поршня, на который действует сила тяжести: $(p_ — p)S = Mg$. Отсюда $p = p_ — (Mg/S) \approx (10^ — 2 \cdot 10^ ) Па \approx p_ $. При этом расстояние от поршня до верхнего торца цилиндра будет равно $h \approx \frac > \approx 69 см$, то есть смещение поршня составит 19 см.

Видео:В горизонтальном цилиндрическом сосуде - Задача ЕГЭ по физике Часть 2Скачать

Скрытые «пружины»

В школьном курсе физики изучаются два вида механических колебательных систем: математический и пружинный маятники. Сравнение и анализ уравнений колебаний в этих системах позволяют сделать вывод: колебания в обоих случаях являются гармоническими, т.е. происходят по законам синуса или косинуса (впоследствии этот вывод обобщается и на электромагнитные колебания в колебательном контуре):

где m – масса колеблющегося тела, a – его ускорение, g – ускорение свободного падения, l – длина маятника, x – смещение тела от положения равновесия, k – коэффициент жесткости пружины. Оба уравнения можно записать в общем виде:

где w ₀ – собственная циклическая частота колебаний. Как видим, ускорение при гармонических колебаниях прямо пропорционально величине смещения тела от положения равновесия. Знак «–» указывает на то, что направление смещения тела от положения равновесия и направление действия возвращающей силы противоположны.

Хотя далеко не все механические колебательные системы представляют собой в явном виде пружинный или математический маятники, многие из них можно представить как их комбинацию. Другими словами, любые механические колебания, в которых возвращающая сила прямо пропорциональна величине смещения колеблющегося тела от положения равновесия, происходят по гармоническому закону. Такие возвращающие силы называют квазиупругими. В общем случае период колебаний можно рассчитывать по формуле или если определиться, что в каждом конкретном случае будет играть роль массы колеблющегося тела, что – роль жесткости пружины («гравитационной», «пневматической», «гидравлической», «фрикционной» и т.п.), что — длины маятника.

Задачи на выявление аналогий с пружинным или математическим маятником встречаются в сборниках задач, но к сожалению, только по одной-две, что не позволяет учащимся выработать системный подход к их решению. Вот и приходится учителю листать задачники, в основном старые, изданные лет 20–30 назад. Приведем несколько задач и их решения в общем виде.

Читайте также: Лучший рабочий цилиндр сцепления уаз патриот

Задача 1. По внутренней поверхности полусферической чаши радиусом кривизны R свободно скользит маленький шарик. Найдите период его малых колебаний.

Итак, выполним рисунок и покажем на нем силы, под действием которых происходит движение (рис. 1). Малость размеров шарика позволяет считать его материальной точкой. Видно, что «расстановка» сил и их действие такие же, как в случае математического маятника, с тем лишь отличием, что

вместо силы натяжения нити действует сила реакции опоры. Применяем закон колебаний математического маятника, заменяя в формуле для периода колебаний длину маятника на радиус чаши:

Задача 2. Вблизи поверхности Земли прорыт сквозной прямой туннель. В нем проложили рельсы и пустили вагонетку, которая движется без сопротивления. Каким будет период свободных колебаний вагонетки (от одного выхода туннеля до другого и обратно)? Радиус Земли равен R.

Слова «вблизи поверхности» позволяют считать, что расстояние от центра Земли до вагонетки практически постоянно и равно R и что амплитуда колебаний мала по сравнению с ним (рис. 2). Проведем координатную ось x и отметим на ней положение равновесия вагонетки – точку O (рис. 3). Покажем силы, действующие на вагонетку в какой-либо произвольной точке x.

Оказывается, и эта ситуация сводится к математическому маятнику, а сила тяготения играет роль силы натяжения нити. Но для описания характера движения не важна природа действующих сил, главное, что их равнодействующая F направлена вдоль туннеля к положению равновесия и пропорциональна смещению. Итак, мысленно перевернув систему, считаем ее подобной математическому маятнику и применяем формулу .

Проверим наш подход математически. Запишем векторное уравнение для равнодействующей силы:

Вдоль координатной оси Оx:

С другой стороны, угол a можно связать и с расстояниями. Учитывая что мы «перевернули» вагонетку, получим: Подставив это выражение в предыдущее, получим: Отметим, что ускорение прямо пропорционально смещению вагонетки от положения равновесия (координате x). Это очень важно, поскольку именно этот факт позволяет нам считать колебания вагонетки гармоническими с периодом

Задача 3. В U-образную стеклянную трубку постоянной площадью поперечного сечения S налита ртуть массой m. Плотность ртути r. Найдите период колебаний ртути после того, как трубку качнули.

Сначала, как обычно, выполним схематический рисунок, на котором покажем начальные уровни столбов ртути в обоих коленах трубки, а также (пунктиром) положения этих уровней при наклоне (рис. 4). Величину отклонения обозначим x. Как известно, при открытых обоих коленах уровни в них в равновесии равны, т.к. равны их гидростатические давления (давления pА и pВ на дно соответственно в точках А и В). Если

уровни жидкости в коленах оказались разными, то возникает разность давлений и сила, стремящаяся возвратить жидкость в равновесное состояние.

Пусть в некоторый момент в левом колене высота столба ртути уменьшилась на величину x, а в правом – на столько же возросла. Возникла разность гидростатических давлений:

Отсюда находим численное значение возвращающей силы F, учитывая, что направление смещения столбика ртути в колене противоположно направлению действия этой возвращающей силы:

С другой стороны, согласно второму закону Ньютона F = ma, где m – масса тела, на которое действует сила. Возвращающая сила благодаря силам межмолекулярного взаимодействия действует на все количество ртути, находящейся в трубке, т.е. в данном случае m – масса всей ртути. Отсюда:

Важно, что в полученном выражении возвращающая сила прямо пропорциональна смещению x, т.е. колебания будут гармоническими. Величина 2rgS играет роль коэффициента жесткости «гидравлической» пружины. Поэтому окончательное выражение для периода:

Перейдем к другому примеру «гидравлической» пружины, действие которой обусловлено не разницей гидростатических давлений, а действием выталкивающей (архимедовой) силы и силы тяжести.

Задача 4. На поверхности воды плотностью r плавает бутылка массой m и площадью поперечного сечения S. Найдите период свободных вертикальных колебаний бутылки при условии, что в воде находится только ее цилиндрическая часть (т.е. горлышко в воду не погружается).

Начинаем, разумеется, с рисунков. На левом покажем бутылку в равновесном положении, глубину ее погружения h и действующие на бутылку силы (рис. 5, a), на правом – бутылку в «притопленном» на глубину x положении (рис. 5, б).

В начальном (равновесном) положении:

В «притопленном» положении на бутылку действует такая же сила тяжести и возросшая архимедова сила F_А ‘ , т.к. увеличился объем погруженной части бутылки. Равнодействующая этих сил не равна нулю и направлена вверх. Следовательно:

Подставив в это выражение формулу (3), получаем:

Выразим величины сил F_А и F_А ‘ через объем погруженной части бутылки. Так как она имеет форму цилиндра c основанием S, то в равновесном состоянии объем погруженной части V = Sh, а в «притопленном» V ‘ = S(h + x). Соответственно силы равны:

После подстановки этих выражений в формулу (4), получим:

При расчете объема мы учитывали только модуль x. Поскольку направление дополнительного погружения бутылки противоположно направлению действия равнодействующей силы, запишем:

Снова ускорение прямо пропорционально величине смещения тела от положения равновесия, т.е. колебания гармонические. Величина r gS выполняет функцию коэффициента жесткости «гидравлической» пружины (k = r gS). Отсюда:

Задача 5. Цилиндрический сосуд длиной 2l расположен горизонтально. Посередине цилиндра находится в равновесии тонкий легкоподвижный поршень массой m и площадью S. Справа и слева от поршня давление воздуха составляет p₀. Найдите период малых колебаний поршня.

Возникает вопрос: а как этих колебаний добиться, ведь поршень находится внутри закрытого сосуда? Ответ: например, встряхнув цилиндр. Далее, обратим внимание на то, что речь идет о колебаниях малой амплитуды, что позволяет считать колебательный процесс в обоих отсеках сосуда изотермическим и применить закон Бойля–Мариотта. [При реальных значениях параметров колебания, так же как и при распространении звука в воздухе, будут адиабатическими. Изотермичность колебаний необходимо дополнительно ввести в условие задачи. – Ред.] Затем, поскольку поршень тонкий, можно считать начальную длину каждого отсека равной l – половине длины всего цилиндра. Наконец, поршень, по условию, движется легко, т.е. трения между поршнем и стенками сосуда нет.

Решение начинаем, как обычно, с рисунков. На рис. 6, а покажем цилиндр при равновесном положении поршня, обозначим длины отсеков и давление газа в них, на рис. 6, б – цилиндр со смещенным на расстояние x поршнем и давления газа в отсеках.

Применим закон Бойля–Мариотта к газу в левом отсеке:

где V₀ = lS – объем левого отсека при равновесном положении поршня, V₁ = (l – x)S – при смещенном. Выполнив те же действия для правого отсека, получаем:

Читайте также: Замена рабочего цилиндра сцепления хендай матрикс

Наличие возвращающей силы обусловлено разностью давлений газа слева и справа от поршня. Эту силу согласно второму закону Ньютона можно связать с ускорением, сообщаемым поршню:

Выражая p₁ из уравнения (2) и подставляя его в выражение (3), получаем:

Аналогично, выражая p₂ из уравнения (1) и подставляя его в (3):

Вспомним, что колебания малые: если x мало, то x 2 – малая величина, которой можно пренебречь на фоне l 2 :

Сделаем еще один шаг: поскольку направления возвращающей силы F и смещения противоположны, то в одну из частей последнего равенства добавим «–»:

т.е. и в этой колебательной системе ускорение прямо пропорционально координате. Сравнение этого уравнения с уравнением колебаний груза на пружине позволяет сделать вывод, что величинаиграет роль коэффициента жесткости «пневматической» пружины для поршня массой m. Период малых колебаний поршня равен

Наконец рассмотрим самую сложную задачу — про «фрикционную пружину».

Задача 6. Два одинаковых ролика вращаются с одинаковой угловой скоростью в противоположные стороны. Ролик слева – по часовой стрелке, ролик справа – против часовой стрелки. Оси вращения роликов лежат в горизонтальной плоскости, расстояние между ними l. На ролики положена доска, коэффициент трения которой о ролики равен m. Изначально центр доски находился на одинаковом расстоянии от осей роликов. Если ролики начнут вращаться одновременно, то доска останется в равновесии (в состоянии покоя). Но если доску чуть-чуть подтолкнуть вдоль ее длины, то она начнет совершать колебания на роликах в горизонтальной плоскости. Найдите период этих колебаний.

Итак, изобразим эту систему и обозначим силы при равновесном положении доски (рис. 7). Сила тяжести mg компенсируется силами реакции опор N₁ и N₂. Если доску сдвинуть на расстояние x, то нагрузка на ролики перераспределится. Ролик с большей нагрузкой будет действовать на доску с большей силой трения, ролик с меньшей нагрузкой – с меньшей; в результате доска начнет двигаться в направлении, обратном смещению. Она по инерции пройдет положение равновесия, нагрузка на ролики вновь перераспределится, и теперь уже другой ролик заставит доску двигаться в обратную сторону и т.д. Возникнут колебания.

Рассмотрим смещенное положение доски. Пусть x – величина смещения в какую-либо сторону (рис. 8). Для определения сил реакции опор покажем плечи этих сил и плечи силы тяжести относительно точек O₁ и O₂

(см. верхнюю часть рисунка). Как известно, если тело не вращается, то алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на него, равна нулю (отсчитывать моменты можно относительно любой точки, если векторная сумма сил, создающих эти моменты, равна нулю. Это существенно):

Найдем отсюда силы реакции опор:

Поскольку при смещении равновесие доски нарушилось, то:

Величина силы трения (скольжения) зависит от силы реакции опоры: F_тр = m N. Так как N₁ > N₂, то F_тр1 > F_тр2. Следовательно, вектор ускорения a направлен в ту же сторону, что и вектор F_тр1. Поэтому при проецировании последнего векторного равенства на ось x, получается:

Выражая силы трения через соответствующие силы реакции опор, находим:

Подставляя эти выражения в (4) для расчета ускорения и упрощая, имеем:

С учетом направления смещения x (оно противоположно направлению возвращающей силы) получаем уравнение:

которое указывает на гармонический характер колебаний доски на роликах.

Сравнивая его с уравнением колебаний груза на пружине мы видим, что играет роль откуда период колебаний

Разумеется, множество задач на «скрытые пружины» не исчерпывается приведенными выше, но наша цель состояла в выработке системного подхода к их решению. Будем надеяться, что кто-нибудь из читателей продолжит этот список.