В верхнем основании прямого кругового цилиндра проведен диаметр ав (2 видео)

Содержание

В верхнем основании прямого кругового цилиндра проведен диаметр ав
В верхнем основании прямого кругового цилиндра проведен диаметр ав
В верхнем основании прямого кругового цилиндра проведен диаметр ав
Решение задачи 14. Вариант 219
В верхнем основании прямого кругового цилиндра проведен диаметр ав
🌟 Видео

Видео:✓ Задача про цилиндр | ЕГЭ-2018. Задание 14. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

В верхнем основании прямого кругового цилиндра проведен диаметр ав

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

а) Так сечение перпендикулярно прямой CD, то оно перпендикулярно основанию цилиндра содержащему эту прямую. Для построения сечения опустим перпендикуляры AM и BN на второе основание цилиндра. Отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Диагонали прямоугольника равны, что и требовалось доказать.

б) Площадь прямоугольника ABNM равна Отрезок OH равен Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

В верхнем основании прямого кругового цилиндра проведен диаметр ав

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 9 и радиусом основания 2 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

а) Для построения сечения опустим перпендикуляры AM и BN на второе основание цилиндра. Отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Отрезки AN и BM равны как диагонали прямоугольника, что и требовалось доказать.

б) Площадь прямоугольника ABNM равна 9 · 2 = 18. Пусть H — точка пересечения отрезков NM и CD. Отрезок OH равен Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен:

Читайте также: Нет компрессии в первом цилиндре шевроле лачетти

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:№13 ЕГЭ математика профиль (векторный метод)Скачать

В верхнем основании прямого кругового цилиндра проведен диаметр ав

Дан прямой круговой конус с вершиной M. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине M. Образующая конуса равна Через точку M проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.

а) Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.

б) Найдите площадь сечения.

а) Пусть треугольник МАВ — искомое сечение, перпендикулярное образующей МК, и пусть Т — точка его пересечения с диаметром, проходящим через точку К. В треугольнике МТК угол К равен 30°. Следовательно,

В треугольнике МТВ образующая конуса Следовательно,

б) Площадь треугольника MBA равна

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

б) Площадь прямоугольника ABNM равна 3 · 8 = 24. Пусть H — точка пересечения отрезков NM и CD. Отрезок OH равен Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен:

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

Дан прямой круговой цилиндр высотой 9 и радиусом 2. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNM, перпендикулярной прямой CD, причём точка C и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.

а) Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNM равны.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

а) Плоскость сечения ABNM перпендикулярна прямой CD, поэтому отрезки AM и BN являются образующими цилиндра. Следовательно, отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Отрезки AN и BM равны как диагонали прямоугольника, что и требовалось доказать.

б) Площадь прямоугольника ABNM равна Пусть H — точка пересечения отрезков NM и CD, O — центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD. Отрезок OH равен Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен:

Видео:Все № 3 из Ященко 2024 (36 задач, стереометрия)Скачать

Решение задачи 14. Вариант 219

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом
основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании
проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее
через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания
цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объём пирамиды CABNM.

Так как плоскость сечения пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения плоскостей будут параллельными, т.е AB параллельна MN.

Пункт А, на самом деле очень простой. Прямая CD перпендикулярна плоскости ABNM

\( (DMC)⊥(MNAB) \) — т.к Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости взаимно перпендикулярны.

\( AB=MN \) — это в принципе и так очевидно, т.к MN — проекция AB на плоскость основания, но можно доказать строго с помощью равенства соответствующих треугольников.

\( AN \) и \( BN \) — образующие цилиндра, значит они перпендикулярны плоскостям основания, в том числе прямой AB

\( ABNM \) — прямоугольник. А по свойству прямоугольника : его диагонали равны.

По условию \( DC⊥AB \) и еще \( DC⊥AN \) значит \( DC⊥(ABNM) \)

Вывод: \( CH \) — высота пирамиды

треугольник \( MON \) — равносторонний, так как по условию сторона равна радиусу.

\( OH=\frac > =3\sqrt \) — как высота правильного треугольника.

Видео:✓ Как решать стереометрию | ЕГЭ-2024. Математика. Профильный уровень. Задание 14 | Борис ТрушинСкачать

В верхнем основании прямого кругового цилиндра проведен диаметр ав

В прямом круговом цилиндре проведена образующая NN₁, точка N лежит в нижнем основании. Отрезок KM₁ пересекает ось цилиндра, а точки K и M₁ лежат на окружностях нижнего и верхнего основания соответственно.

а) Докажите, что треугольник KNM₁ прямоугольный.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой KM₁, если KN = 9, N₁M₁ = 20.

а) Назовём ось цилиндра OO₁, проведём образующие MM₁ и KK₁. Тогда, так как KM₁ пересекает ось цилиндра, ось цилиндра лежит в плоскости KMM₁K₁. Таким образом, KM — диаметр и, значит, угол KNM — прямой. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямая NM₁ также перпендикулярна прямой KN, а треугольник KNM₁ — прямоугольный.

б) Из точки N опустим перпендикуляр NH на прямую KM₁, искомое расстояние — длина этого перпендикуляра. Найдём её, как высоту прямоугольного треугольника KNM₁:

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,