2019-10-28
Имеется цилиндр радиусом $a$ и длиной $L$, однородно заполненный полностью ионизованным газом, текущим со скоростью $v$ вдоль оси цилиндра, с плотностью электрического заряда $\rho$.
а) Определите магнитное поле на расстоянии $r$ от оси цилиндра. (Краевыми эффектами пренебречь.)
б) Предположим, что в цилиндр инжектируется параллельный пучок быстрых протонов массой $m$ и начальной скоростью $V^ $, направленной параллельно оси цилиндра. Такую систему можно использовать для фокусировки протонов в некоторую точку, расположенную на оси цилиндра. Определите фокусное расстояние $f$, предполагая $L \ll f$ и пренебрегая электростатическими и релятивистскими эффектами. (Фокусное расстояние $f$ — это расстояние от конца цилиндра до фокуса.)
а) Согласно закону Ампера, мы имеем
$\oint \vec \cdot d \vec = \frac I$;
здесь $I$ — полный ток, проходящий через ограниченную замкнутым контуром поверхность. Подставляя $I = \rho v \pi r^ $ и учитывая независимость магнитного поля $B$ от углов, получаем
б) Пусть $\delta = 2 \pi \rho v/c$. Сила, действующая на протон, движущийся со скоростью $V^ $ на расстоянии $r = y_ $ от оси цилиндра, равна
После интегрирования получаем
Видео:Магнитное поле на оси цилиндрического магнитаСкачать
В случае $L \ll f$ величина $\Delta y$ очень мала по сравнению с $y_ $, и направление движения протона при выходе его из цилиндра определяется соотношением
Подставляя сюда выражение (1) для $v_ $, находим
здесь для получения окончательного результата мы использовали следующие подстановки: $t = L/V^ $ и $\delta = 2 \pi \rho v/c$.
Вдоль оси длинного цилиндра
Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.
Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:
где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.
Читайте также: Защита от перелома цилиндра
Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).
Видео:Электромагнетизм Пр3.4. Теорема Гаусса. Поле бесконечного цилиндра.Скачать
Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.
Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).
 | |
| Рис. 2.11 | Рис. 2.12 |
Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток ФЕ через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к . Дляоснования цилиндра
Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:
Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:
откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:
Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости
Поле двух равномерно заряженных плоскостей
Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).
Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей .
Вне плоскостей напряженность поля
Видео:Магнитное поле соленоидаСкачать
Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).
Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):
Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.
Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:
где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то
Это формула для расчета пондермоторной силы.
Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)
Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).
Видео:Krylov_2012_ElMag-17_1080pСкачать
Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.
Читайте также: Регулировка клапанов т 150 6 цилиндров
Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.
Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен
При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда
Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).
Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.
Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком
Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать (рис. 2.16) .
Видео:Сверлим вдоль , 150 ммСкачать
В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:
Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).
Поле заряженного пустотелого шара
Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).
Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда
Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:
Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.
Поле объемного заряженного шара
Видео:Усеченный цилиндр: проекции сечения, изометрия, развертка поверхностиСкачать
Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:
Но внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный
Читайте также: Задний тормозной цилиндр митсубиси каризма
где ρ – объемная плотность заряда, равная: ; – объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:
Таким образом, внутри шара
💡 Видео
Вращающиеся цилиндрыСкачать
закон Био-Савара-ЛапласаСкачать
Поле равномерно заряженного цилиндраСкачать
магн поле внутри соленоидаСкачать
ЧК_МИФ_ФМЛ_30 _ 3_1_4_7 (L2) ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОГО ЦИЛИНДРАСкачать
Урок 224. Напряженность поля неточечных зарядовСкачать
Krylov 2016 ElMag 20 1080pСкачать
Задание 38. Как построить УСЕЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР. Построение НВ фигуры сечения. Часть 1Скачать
Krylov 2017 ElMag 19 1080pСкачать
Лекция 2-2 Потенциал - примерыСкачать
16.05.2023 физика практикаСкачать
Krylov 2023 ElMag 19Скачать
21. Структура магнитного поля катушек с током в различных плоскостях. Заметки о магнитостатике.Скачать
