Виды фигур цилиндр конус (7 видео)

Содержание

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ (объемные геометрические фигуры): определения, формулы
Цилиндр
Конус
Шар
Цилиндр, конус
Определение
Определение
Цилиндр, конус, шар
Цилиндр, конус, шар
Теорема Пифагора
🔍 Видео

Видео:Миникурс по геометрии. Куб, призма, цилиндр и конусСкачать

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ (объемные геометрические фигуры): определения, формулы

Тела вращения (объемные геометрические фигуры) : определения, формулы периметра поверхности и площади. Виды: цилиндр, конус, шар, шаровой сектор, шаровой сегмент.

Цилиндр

Цилиндр— тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями.
Цилиндрическая поверхность — поверхность, образуемая однопараметрическим семейством параллельных прямых (образующих) и проходящими через точки некоторой кривой (направляющей).
Основания цилиндра — плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя параллельными плоскостями, ограничивающими цилиндр.
Высота цилиндра — расстояние между основаниями цилиндра.

Прямой — цилиндр, основания которого имеют центры симметрии (например, являются кругами или эллипсами), прямая между которыми перпендикулярна плоскостям этих оснований. Данная прямая называется осью цилиндра.
Косой— цилиндр, основания которого имеют центры симметрии (например, являются кругами или эллипсами), отрезок между которыми не перпендикулярен плоскостям этих оснований.
Круговой— цилиндр с окружностью в роли направляющей.
Цилиндр вращения (или прямой круговой) — цилиндр, который можно получить вращением (то есть тело вращения) прямоугольника вокруг одной из его сторон, содержащая которую прямая в таком случае будет осью этого цилиндра и его осью симметрии.
Эллиптический,параболическийигиперболический– цилиндр, основания которого являются эллипсами, параболами или гиперболами. Последние два имеют бесконечный объём.
Равносторонний— цилиндр вращения, диаметр основания которого равен его высоте.

Формулы для цилиндра :

Объем цилиндра: V=π∙R 2 ∙h или V=S_o∙h
Поверхность цилиндра: S= 2∙S_o + S_бок или S= 2∙π∙R 2 + 2∙π∙R∙h
Площадь основания: S_o= 2∙π∙R 2
Площадь боковой поверхности: S_бок=2∙π∙R∙h
Где: V — объем цилиндра, R — радиус цилиндра, h — высота цилиндра, S_o — площадь основания цилиндра, π = 3.141592.

Формулы для полого цилиндра :

Объем цилиндра: V = π ∙ h ∙ (r₂ 2 — r₁ 2 ) где r₂ > r₁Площадь боковой поверхности: S_бок = 2 ∙ π ∙ h ∙ (r₁ + r₂)
Где: V — объем цилиндра, R — радиус цилиндра, h — высота цилиндра, S_o — площадь основания цилиндра, π = 3.141592.

Конус

Конус – поверхность, образованная в пространстве множеством лучей (образующих конуса), соединяющих все точки некоторой плоской кривой (направляющей конуса) с данной точкой пространства (вершиной конуса).
Боковая поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).
Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
Конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.

Прямой— конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром. Прямая, соединяющая вершину и центр основания, называетсяосью конуса.
Косой(или наклонный) — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой — конус, основание которого является кругом.
Конус вращения или прямой круговой конус (часто под конусом подразумевают именно его) — конус, который можно получить вращением (то есть тело вращения) прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет треугольника (эта прямая является осью конуса).
Эллиптический, параболический и гиперболический — конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу. Последние два имеют бесконечный объем.
Усечённый или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.
Равносторонний — конус вращения, образующая которого равна диаметру основания.

Читайте также: Профиль алюминиевый для цилиндра

Формулы для конуса :

Объем конуса: V = 1/3·π·R 2 ·h или V=1/3·S_o·h
Поверхность конуса: S=S_o+S_бок или S=π∙R 2 +π∙R∙h
Площадь основания: S_o=π∙R 2
Площадь боковой поверхности: S_бок=π∙R∙l
Образующая: l=√(R 2 +h 2 )
Где: V — объем конуса, S _o — площадь основания, R — радиус основания, h — высота конуса, l — образующая, π=3.141592.

Формулы для усеченного конуса :

Объем конуса: V=1/3·π·(r₁ 2 +r₂ 2 +r₁·r₂)·h
Площадь боковой поверхности: S_бок=π∙(r₁+r₂)∙l
Где: r1 — радиус нижнего основания усеченного конуса; r2 — радиус верхнего основания усеченного конуса; l — образующая усеченного конуса , π=3.141592 .

Шар

Шар — это тело ограниченное шаровой поверхностью.
Шаровая (сферическая) поверхность – это геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки — центра шара. Радиус и диаметр определяют также, как и для окружности.
Все плоские сечения шара — круги. Наибольший круг получается в сечении шара плоскостью, проходящей через центр. Такой круг делит шар пополам. Радиус большого круга равен радиусу шара. Через две точки шара, лежащие на концах одного диаметра, можно провести бесчисленное множество больших кругов — меридианы. Через две точки, не лежащие на концах диаметра шара можно провести только один большой круг.
Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара.
Шаровой (сферический) сегмент — часть шара, осекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Основание шарового сегмента – круг. Высота шарового сегмента — длина перпендикуляра от поверхности шара до основания. Вершина шарового сегмента — точка пересечения высоты шарового сегмента с поверхностью шара.

Шаровой слой — это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. Шаровой пояс или Шаровая зона — кривая поверхность шарового слоя. Круги — основания шарового пояса. Расстояние между основаниями — высота шарового слоя. Формулы для шара :Объем шара: V = 4/3 ·π· R 3 или V=1/6 ·π · D 3
Площадь поверхности сферы: S= 4 ·π· R 2 или S=π · D 2
Площадь основания: S_o=π∙R 2
Где: R — радиус шара, π = 3.141592. Формулы для шарового сектора :Высота конуса: h_конуса=R 2 −r 2
Высота сегмента: h_{сегмента}= R−R 2 −r 2
Площадь поверхности шарового сектора: S_{сектора}= S_{сегмента}+ S_конуса
или S_{сектора}= 2∙π∙R∙h_{сегмента} + π∙R∙rили S_{сектора}=2∙π∙ R ∙(R−R 2 −r 2 ) + π∙R∙r
Объем шарового сектора: V = 2/3∙(π∙R 2 ∙h) или V = 1/3∙( R∙S)
Где: R — радиус шара, r — радиус сегмента, π = 3.141592. Формулы для шарового сегмента :Площадь поверхности шарового сегмента : S = 2∙π∙R∙h
Объем шарового сегмента : V = (π ·H 2 (R -1/3 ·h)
Где: R — радиус шара, r — радиус сегмента, h= высота шарового сегмента, π = 3.141592. Источник

Видео:Объемные Геометрические ФИГУРЫ Загадки для ДЕТЕЙСкачать

Цилиндр, конус

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости. К телам вращения относятся цилиндр, конус и шар. Цилиндр — это объемное тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Возьмем прямоугольник АВСD. Будем вращать этот прямоугольник против часовой стрелки вокруг стороны АD. Прямая АD — ось цилиндра. Отрезок АD — высота цилиндра. Основания цилиндра — два равных круга образованных при вращении сторон АВ и DC (круги равные, т.к. стороны АВ и DC равны как противоположные стороны прямоугольника). Радиус цилиндра — радиус оснований цилиндра. Цилиндрическая поверхность (или боковая поверхность цилиндра) — поверхность, образованная при вращении стороны ВС. Образующие цилиндра — отрезки, из которых составлена боковая поверхность цилиндра (на рисунке выше указаны образующие ВС и ЕК).

Определение

Конус — это объемное тело, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одной из сторон, образующих прямой угол. Возьмем прямоугольный треугольник АВС. Будем вращать этот треугольник вокруг стороны АС. Прямая АС — ось косинуса. Отрезок АС — высота конуса. Основание конуса — круг, образованный при вращении стороны ВС. Коническая поверхность (или боковая поверхность конуса) — поверхность, образованная при вращении стороны АВ. Образующие конуса — отрезки, из которых составлена боковая поверхность конуса (на рисунке выше указаны образующие АВ, АВ₁ и АВ₂).

Определение

Поделись с друзьями в социальных сетях: Источник

Видео:Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Цилиндр, конус, шар

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
Все образующие цилиндра параллельны и равны.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($R$).
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующей).
Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
Если высоту цилиндра увеличить в m раз, то объем цилиндра увеличится в то же количество раз.
Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра — образующими цилиндра.
Если цилиндр вписан в призму, то ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
Если в цилиндр вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоты цилиндра.

Площадь поверхности и объем цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем части цилиндра, в основании которого лежит сектор: $V= / $, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен $30$. Найдите объём шара.

Если в цилиндр вписан шар, то радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра в два раза больше радиуса шара.

Распишем формулы объема цилиндра и шара.

Далее надо сравнить во сколько раз объем цилиндра больше объема шара, для этого разделим объемы друг на друга.

Объем цилиндра больше объема шара в $1.5$ раза, следовательно, чтобы найти объем шара, надо объем цилиндра разделить на $1.5$.

Конусом (круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих заданную точку с точками круга.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими и обозначаются (l).

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Ось прямого конуса и его высота равны.

Все образующие конуса равны.
Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса.
Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник, угол при вершине равен $60°$.
Если радиус или диаметр конуса увеличить в n раз, то его объем увеличится в $n^2$ раз.
Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз.

Площадь поверхности и объем конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.

Объем части конуса, в основании которого лежит сектор: $V= / $, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ($R$) от данной точки (центра сферы $О$).

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.

Площадь поверхности сферы: $S_ =4π·R^2=π·d^2$, где $R$ — радиус сферы, $d$ — диаметр сферы

Объем шара: $V= / = / $, где $R$ — радиус шара, $d$ — диаметр шара.

Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в $n^2$ раз, а объем в $n^3$ раз.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$ / $	$ / $	$ / $
$cosα$	$ / $	$ / $	$ / $
$tgα$	$ / $	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$ / $

Признаки подобия треугольников:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.