Вписать в цилиндр рисунки (5 видео)

По теме Тела и поверхности вращения школьнику необходимо знать следующее:

Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка
Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка
Шар и сфера, их сечения

Главная особенность всех упомянутых тел — наличие оси вращения, которая является осью симметрии тела. Если совместить оси вращения двух разных тел, то также получится некая осесимметричная конструкция, все сечения которой плоскостью, проходящей через эту ось, будут одинаковыми. Это позволяет быстро и легко переходить от задачи по стереометрии к рассмотрению плоского сечения.

Поэтому в школьных учебниках, а также в заданиях ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на вписанные и описанные тела вращения. Решим несколько примеров.

Могут потребоваться следующие формулы:

площадь боковой поверхности цилиндра S_б = 2πrh;
площадь полной поверхности цилиндра S_п = 2πrh + 2πr 2 ,
где r — радиус основания цилиндра, h — его высота.

площадь боковой поверхности конуса S_б = πrl;
площадь полной поверхности конуса S_п = πr(r + l),
где r — радиус основания конуса, l — длина образующей.

Объём шара V = 4 _ 3 πR 3 ;

площадь сферы (поверхности шара) S = 4πR 2 ,
где R — радиус шара (сферы).

Содержание

Задачи на тела вращения
Как правильно нарисовать цилиндр карандашом
Зачем учиться рисовать цилиндр
Инвентарь для мастер-класса
Как нарисовать цилиндр карандашом ровно
Как правильно штриховать цилиндр
Как нарисовать лежачий цилиндр
🎥 Видео

Видео:ТЕМА 2. ПОСТРОЕНИЕ КУБА, ЦИЛИНДРА, ШАРАСкачать

Задачи на тела вращения

Внимание: задачи с решениями, но они временно скрыты. Сначала сделайте попытку решить задачу самостоятельно, и только после этого нажимайте кнопки «Посмотреть ответ» и «Посмотреть решение». Ваш ответ должен совпадать с указанным, но способ решения может быть несколько иным.

Цилиндр, объём которого равен 33, описан около шара. Найдите объём шара.

Как видно из рисунков выше, осевое сечение цилиндра с вписанным шаром представляет собой квадрат с вписанным кругом. Радиус основания цилиндра (r) равен радиусу вписанного шара (R), а его высота (h) равна диаметру шара (удвоенному радиусу).
Тогда объем цилиндра V_ц = πr 2 h = πR 2 ·2R = 2πR 3 .

Отсюда находим R 3 = V_ц ___ 2π и, соответственно, V_ш = 4 _ 3 πR 3 = 4π __ 3 · V_ц __ 2π

После сокращения дроби, получим V_ш = 2V_ц /3 = 2·33/3 = 22.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра находим по формуле S_ц = 2πrh + 2πr 2 .
Аналогично предыдущей задаче из рисунка для плоского сечения видно, что радиус основания цилиндра (r) равен радиусу вписанного шара (R), а его высота (h) равна диаметру шара (удвоенному радиусу).
Поэтому S_ц = 2πR·2R + 2πR 2 = 6πR 2 .
Величину πR 2 найдем из формулы поверхности шара S_ш = 4πR 2 . Следовательно, πR 2 = S_ш /4 = 111/4.
Окончательно находим S_ц = 6·111/4 = 333/2 = 166,5 .

Ответ: 166,5

Цилиндр вписан в шар, радиус которого равен √2 _ . Найти объём цилиндра, если высота цилиндра в два раза больше радиуса цилиндра. Ответ записать в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.

Объём цилиндра определяется по формуле V = πr 2 h .
По условию задачи h = 2r.
Чтобы найти радиус цилиндра, дополнили чертеж осевого сечения радиусом шара и расставили буквы для обозначения отрезков. Здесь O — центр шара, OB = R — радиус шара, AB = r — радиус цилиндра.
Точка O также является серединой высоты цилиндра, поэтому AO = h/2. В нашем случае h/2 = r, таким образом AO = AB = r, и треугольник OAB — прямоугольный, равнобедренный.

Отсюда находим радиус цилиндра r = R·sin45° = R· √2 _ /2 = √2 _ · √2 _ /2 = 1

и его объём V = πr 2 h = π·1 2 ·2 = 2π ≈ 6,28 .

В шар, площадь поверхности которого равна 100π, вписан цилиндр. Найти высоту цилиндра, если радиус его основания равен 4.

Дополним чертеж осевого сечения радиусом шара и расставим буквы для обозначения отрезков.
Площадь поверхности шара S_ш = 4πR 2 = 100π. Отсюда R 2 = 25 и R = 5.
В треугольнике OAB: OA = x — половина искомой высоты цилиндра; AB = 4 — радиус основания цилиндра; OB = 5 — радиус шара.
По теореме Пифагора:
x 2 + 4 2 = 5 2
x 2 = 25 − 16 = 9; x = 3. h = 6.

Конус вписан в цилиндр. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 5.

Как видно из рисунков вверху, в этом случае конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту.

При одинаковых r и h объём конуса V_к = 1 _ 3 πr 2 h

в три раза меньше объёма цилиндра V_ц = πr 2 h .
Таким образом, искомая величина V_ц = 3×5 = 15.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3 √2 _ . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Воспользуемся чертежом осевого сечения, расставим буквы для обозначения отрезков: AC = h — высота конуса и цилиндра, CB = r — радиус оснований конуса и цилиндра, AB = l — образующая цилиндра.
Из треугольника ABC по теореме Пифагора:

т.е. площадь боковой поверхности цилиндра в √2 _ раз больше площади боковой поверхности конуса.
Окончательно S_к = 3 √2 _ / √2 _ = 3

Читайте также: Ночник настольный в спальню цилиндр

В конус вписан цилиндр так, что его верхнее основание пересекает высоту конуса в её середине. Найдите объём конуса, если объем цилиндра равен 60.

Воспользуемся чертежом осевого сечения, расставим буквы для обозначения отрезков:
AC = h_к — высота конуса, CB = r_к — радиус основания конуса,
DC = h_ц — высота цилиндра, DE = r_ц — радиус основания цилиндра.
Найдём отношение объёмов конуса и цилиндра:

По условию задачи точка D — середина отрезка AC, т.е. AD = DC = AC / 2 , и потому h_к : h_ц = 2 : 1 .

В конус с высотой 15 и радиусом основания 3 вписан цилиндр объёма V. Найти наибольшее возможное значение объёма цилиндра.

В один и тот же конус можно вписать разные цилиндры. Обозначим символом r радиус вписанного цилиндра, h — его высоту.
Из подобия треугольников ADE и ABC (см. решение предыдущей задачи) составим пропорцию
AC : AD = CB : DE,
15 : (15 − h) = 3 : r,
преобразуя которую, найдём соотношение между высотой и радиусом цилиндра, вписанного в заданный конус:
15· r = 3·(15 − h), h = 15 − 5r .

Теперь можем выразить объём цилиндра только через один его характерный размер:
V = πr 2 h = πr 2 ·(15 − 5r) = 15πr 2 − 5r 3 .
Получили выражение для объёма цилиндра в виде функции одной переменной V = f(r) .
Чтобы найти максимальное значение этой функции, нужно найти её производную.
V’ = (15πr 2 − 5r 3 )’ = 15π·2r − 5·3r 2 = 30πr − 15r 2 .
Затем приравнять производную к нулю и решить уравнение V’ = 0 относительно переменной r.
30πr − 15πr 2 = 0, 15πr(2 − r) = 0 .
Это уравнение имеет два корня r₁ = 0 и r₂ = 2, которые являются точками экстремумов функции V(r). Необходимости проводить исследование на характер экстремумов в данном случае нет, так как очевидно, что при r = 0 объем «цилиндра» будет нулевым, т.е. минимальным. Максимального значения объём достигает при r = 2. Вычислим это значение
V = 15πr 2 − 5r 3 = 15π·2 2 − 5π·2 3 = 60π − 40π = 20π .

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 7 √2 _ . Найдите радиус сферы.

Так как по условию задачи центр сферы находится в центре основания конуса, то основание конуса, в свою очередь, является диаметральным сечением сферы. Т.о. на плоском чертеже отрезок AB является диаметром окружности, и ∠ACB = 90° как вписанный угол, опирающийся на её диаметр.
Пусть l = 7 √2 _ — образующая конуса, R — радиус сферы. Тогда в прямоугольном треугольнике ABC AC = BC = l — катеты, AB = 2R — гипотенуза. По теореме Пифагора
AB 2 = AC 2 + BC 2 ;
(2R) 2 = l 2 + l 2 ;
4R 2 = l 2 + l 2 = 2l 2 ; 4R 2 = 2(7 √2 _ ) 2 ;
4R 2 = 2·49·2 = 4·49; R 2 = 49; R = 7 .

Найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, у которого радиус основания 2 __ √π _ ,

Пусть R — радиус сферы. Поскольку СD — диаметр окружности осевого сечения, то СH + HD = 2R.
Воспользуемся свойством пересекающихся хорд окружности, чтобы найти длину отрезка HD = x.
DH·HС = AH·HC

x· 1 __ √π _ = 2 __ √π _ · 2 __ √π _

Преобразуя, получим х = 4 __ √π _ .

Тогда 2R = 1 __ √π _ + 4 __ √π _ = 5 __ √π _ ; R = 5 ___ 2 √π _ .

Площадь сферы S = 4πR 2 = 4π· 25 ___ 4π = 25 .

В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса равна 3 √9 / π 2 _____ , а угол между высотой и образующей равен 45°. Найти объём шара.

На этом рисунке углы между высотой и образующей — ∠OCA и ∠OCB. По условию задачи они равны 45°. Таким образом треугольники OCA и OCB прямоугольные, равнобедренные. Следовательно, радиус шара равен высоте конуса, и площадь осевого сечения конуса (площадь треугольника ABC) можно выразить только через радиус шара S = OC·AB/2=R·2R/2 = R 2 .
Таким образом,

В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания. Найти отношение полной поверхности этого конуса к поверхности шара.

Пусть образующая конуса (AC = BC) равна a. Тогда по условию задачи диаметр конуса (AB) тоже равен a. То есть, треугольник ABC — равносторонний.
Чтобы найти радиус шара (R), используем формулу, связывающую длину стороны равностороннего треугольника и радиус описанной около него окружности.

Радиус основания конуса r = a/2 (половина диаметра).
Площадь полной поверхности конуса
S_к = πr(r + l) = π·a/2·(a/2 + a) = 3πa 2 /4 .
Площадь поверхности шара
S_ш = 4πR 2 = 4π·a 2 ·( √3 _ /3) 2 = 4πa 2 /3 .
Их отношение

Видео:подготовка к поступлению на архитектурное. рисуем базу. цилиндрСкачать

Как правильно нарисовать цилиндр карандашом

Правильно и красиво рисуем цилиндр простым карандашом. Показываем, как рисовать и штриховать цилиндр с тенью — поэтапный урок + 10 фото и видео.

Видео:Как нарисовать цилиндр, лежащий на горизонтальной плоскости. УрокСкачать

Зачем учиться рисовать цилиндр

Академический рисунок, которому учат во многих художественных школах, не просто так стоит в самом начале изучения живописи. Ведь это – та самая основа основ, на которой все держится. Все предметы, которые вы знаете, видите и хотите изобразить в своих картинах, в том числе и лицо человека, состоят из простых геометрических фигур.

И если вы научитесь правильно рисовать их в разных положениях, то в дальнейшем, при построении рисунка, у вас будет меньше проблем с формой, композицией и перспективой. Ваши объемные предметы будут выглядеть правильно и четко, так, как и должны выглядеть на хорошем рисунке, а все за счет простых форм, которые вы научитесь рисовать благодаря нашим простым поэтапным мастер-классам для начинающих.

В этой статье мы с вами рисуем объемный цилиндр в двух положениях – вертикальный и в лежачем состоянии. Также, мы покажем, как правильно штриховать цилиндр, создавать собственную и падающую тень.

Видео:ТЕМА 3. ПРИНЦИПЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА С ПРЯМЫМИ ПЛОСКОСТЯМИСкачать

Инвентарь для мастер-класса

Чтобы красиво нарисовать цилиндр, вам понадобится несколько основных материалов. Если вы уже давно следите за нашими пошаговыми мастер-классами, то скорее всего весь нужный инвентарь у вас уже есть.

Читайте также: Из чего делают цилиндры по физике

Если же вы будете рисовать с нами в первый раз, приготовьте вот эти материалы заранее:

Бумага для рисования. Подойдет и акварельная, но лучше взять для черчения с надписью ГОСЗНАК.

Простые карандаши. На этих мастер-классах, мы рисуем простыми карандашами, средней твердости и мягкими. Вам точно понадобятся карандаши с маркировкой НВ, 2В, 4В.

Подробнее о твердости и мягкости карандашей вы можете прочитать вот в этой статье https://nyblog.ru/vsyo-o-myagkosti-i-tverdosti-karandashey/

В общем и целом, это весь набор материалов, который вам понадобится для дальнейших мастер-классов. Иногда нам еще нужны бумажные салфетки для растушевки, но в этих мастер-классах они не понадобятся.

Видео:Врезка | Цилиндр и конус | Автор Прохоренко КонстантинСкачать

Как нарисовать цилиндр карандашом ровно

1 этап – создаем эскиз и схему цилиндра из простых линий и форм, как на первой картинке

Начинаем делать набросок построения нашего цилиндра. Для начала мы намечаем высоту цилиндра и ширину. Ширина цилиндра должна быть чуть больше чем в 1,5 раза укладываться в высоту. Также не забываем наметить ось симметрии. Далее обозначаем нижний и верхние эллипсы. Учитываем то, что нижний эллипс должен быть чуть-чуть больше, чем верхний.

Далее, получившиеся прямоугольники мы должны разделить, для того, чтобы было удобно вырисовывать эллипсы. Когда мы делим наш прямоугольник, акцентируем свое внимание на том, чтобы нижняя часть нашего эллипса была чуть-чуть больше, чем верхняя.

2 этап – создаем падающую тень

Вырисовываем эллипсы. Обращайте внимание на то, что края у них должны быть закругленными. Затем стираем ластиком лишние детали и уточняем форму эллипсов. После этого, обозначаем падающую тень. Центральную линию падающей тени мы делаем слегка под наклоном, и ширину нашей тени обозначаем относительно высоты нашего нижнего эллипса.

Длина падающей тени может быть разной. Она может, как полностью соответствовать высоте нашего цилиндра, так может быть длиннее либо короче цилиндра. Все будет зависеть от размещения источника освещения, который направлен на цилиндр. В нашем случае, мы сделаем тень более растворяющейся и не особо точной.

3 этап – штриховка цилиндра

Сначала ластиком стираем лишние детали, которые нам не сильно нужны – дальнюю часть нижнего эллипса, среднюю часть – ось симметрии, а также убираем лишние линии на падающей тени.

Штриховать начинаем полукруглыми штрихами, сверху вниз. Начинаем заполнять нашу собственную тень на цилиндре. Обращайте внимание на то, что цилиндр должен иметь собственную тень, полутень, свет и блик. Таким образом, рефлекс, который находится у нас с левого края, должен быть немного светлее.

Собственная тень должна идти сразу после рефлекса, и быть самой темной частью на цилиндре. Далее идет полутень – она становится светлее, чем собственная и чем рефлекс. После этого, идет свет, и там же на свету у нас будет располагаться блик – самое светлое место на рисунке.

После блика у нас должен идти снова свет, который должен иметь небольшой тон, поэтому, правый край цилиндра мы делаем немного заштрихованным. Итак, мы почти создали рисунок цилиндра с тенью.

4 этап – штриховка падающей тени

Берем карандаш 4В. Не забывайте его посильнее наточить, чтобы кончик карандаша был острый, а штрих у нас получался красивый и аккуратный. Штрихуем тень сначала по направлению нашей тени, то есть, тень у нас располагается не ровно горизонтально, а немного под наклоном. Точно также выполняем штрихи – слегка диагонально.

Старайтесь делать края штрихов более плавными, чтобы они не были слишком заметными, и тень могла растворяться по краям. Обращайте внимание на то, что тень должна быть более темной к основанию нашего цилиндра. Чем тень ближе к цилиндру, тем она темнее, чем она дальше от цилиндра, тем светлее.

Это правило работает как диагонально, то есть чем тень ближе к цилиндру справа снизу, тем она темнее. Точно также и вертикально, то есть нижние края они более темные, верхние края тени тоже точно также должны растворяться и становиться светлее.

Не забудьте посильнее подчеркнуть основание нашего цилиндра, чтобы показать соприкосновение цилиндра с плоскостью стола.

Читайте также: Виды цилиндров в химии

5 этап – уточнение штриховки и формы цилиндра

На последнем этапе работаем все тем же карандашом 4В. Начинаем сильнее набирать тон на собственной тени и немного тона на полутени. Не забываем про то, что у нас должен быть с краю рефлекс, он должен быть темнее, чем полутень, но светлее, чем собственная тень, а падающая тень должна быть самой темной.

Собственная тень на цилиндре, сверху должна быть более темная, и чем ниже она опускается, тем больше она должна высветляться. Также можно использовать карандаш НВ, которым мы рисовали в начале, чтобы довести до конца переходы полутени в свет.

Потом стираем все лишние линии, уточняем форму нашего цилиндра, то что мы случайно могли стереть ластиком.

В этом мастер-классе еще можно немного использовать вертикальную штриховку. Мы использовали только полукруглую штриховку, которая располагалась либо горизонтально, либо диагонально. В самом конце рисунка можно добавить немного вертикальной штриховки по краю собственной тени, для того, чтобы показать границу нашей собственной тени.

Видео:ТЕМА 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВРЕЗКА: ШАР, КУБ, ЦИЛИНДРСкачать

Как правильно штриховать цилиндр

В мастер-классе выше мы с вами увидели, как рисуется цилиндр в объеме, и как сделать этот цилиндр со штриховкой правильно. Теперь давайте более детально распишем, какой должна быть штриховка.

В этом мастер-классе мы использовали полукруглую штриховку, накладывая штрихи либо горизонтально, либо диагонально. В последовательности процесса рисования, вы могли заметить такие слова, как «рефлекс», «тень», «полутень», «блик». Это основные составляющие элементы светотени, которые нужно знать при построении рисунка. Давайте еще раз пройдемся по ним:

Рефлекс – тон, похожий на полутень, располагается у краев предмета
Блик – самая светлая часть рисунка, ее мы не трогаем карандашом, а наоборот, высветляем ластиком
Полутень – основной тон в штриховке
Светотень – распределение света и тени на рисунке

Представьте себе блик – яркое световое пятно на предмете. И вот этот свет от блика должен как-то расходиться по всей поверхности рисуемого вами предмета. Это и будет полутень.

В штриховке очень важно следить не только за направлением штриха, но и за его интенсивностью – переход должен быть едва заметным, границы более размытые.

Если вы сомневаетесь, в правильности своей работы, то вам нужно отойти на небольшое расстояние от рисунка и посмотреть на него со стороны. Как правило, при таком рассмотрении вы сразу заметите погрешности в объеме, тенях и пропорциях.

После нее, у вас будет гораздо меньше вопросов о штриховке и все получится уже с первого раза.

Видео:Как научиться рисовать цилиндр. УРОК 5Скачать

Как нарисовать лежачий цилиндр

1 этап – построение цилиндра

Сначала обозначаем ось симметрии цилиндра, которая будет находиться под наклоном. Далее обозначаем центральную часть эллипсов – переднего и заднего. При рисовании эллипса нужно учитывать, что передний эллипс больше по своему размеру, чем дальний. Так, каждый эллипс мы делим пополам, и немного смещаем эту половинку, для того, чтобы правая часть эллипса была чуть больше, чем левая. Это нужно для того, чтобы передать перспективное сокращение.

Рисуем эллипсы, стараемся их делать более закругленными и широкими, чтобы ширина эллипсов была не сильно меньше, чем высота, чтобы эллипсы не были сильно узкими, и наш цилиндр не находился в очень сильном повороте.

3 этап – уточнение формы цилиндра

Соединяем края наших эллипсов и стираем все лишние детали ластиком. Выравниваем те части рисунка, которые у нас получились кривыми, уточняем форму нашего цилиндра.

4 этап – штриховка и наложение теней

На последнем этапе, не меняя карандаш, продолжая рисовать карандашом НВ, мы начинаем штриховку цилиндра. Заштриховываем переднюю часть эллипса, сверху делая рисунок темнее, снизу чуть-чуть высветляя. Штрихи накладываем диагонально сначала в одном направлении, потом немного меняем градус – наклон нашего штриха, и немного утемняем сверху, делая легкую растяжку сверху вниз.

Далее начинаем штриховать боковую, округлую часть эллипса. Штрихуем ее полукруглыми штрихами, учитывая границы собственной тени. Эту границу мы точно также делаем полукруглыми штрихами, просто немного меняем наклон штриховки. В самом конце, можно немного диагональными штрихами по направлению цилиндра показать утемнение и границу собственной тени.

Теперь вы знаете, как сделать рисунок цилиндра простым карандашом, и сможете научиться рисовать более сложные предметы, в основе которых лежит эта геометрическая фигура.

Для наглядности, мы сделали небольшое видео, как поэтапно нарисовать карандашом цилиндр, которое вы можете посмотреть ниже. Если у вас есть цилиндр, то вы можете попробовать нарисовать его с натуры. Либо, если такого предмета нет, поэкспериментировать с жестяными банками, которые тоже имеют цилиндрическую форму.