Вращение цилиндра в жидкости (8 видео)

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему постоянную угловую скорость w вращения вокруг вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменится: в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 2.11).

На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы, сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и w2r. Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому угол наклона поверхности к горизонту возрастает с увеличением радиуса. Найдем уравнение положения свободной поверхности.

Учитывая, что сила j нормальна к свободной поверхности, получим

отсюда
или после интегрирования
В точке пересечения свободной поверхности с осью вращения C = h, поэтому окончательно будем иметь
(2.10)
т. е. свободная поверхность жидкости является параболоидом вращения.

Максимальную высоту подъема жидкости можно определить исходя из равенства объемов неподвижной жидкости и жидкости во время вращения.
На практике очень часто приходится иметь дело с вращением сосуда, заполненного жидкостью, вокруг горизонтальной оси. При этом угловая скорость w столь велика, что сила тяжести на порядок меньше центробежных сил, и ее действие можно не учитывать. Закон изменения давления в жидкости для этого случая получим из рассмотрения уравнения равновесия элементарного объема с площадью основания dS и высотой dr, взятой вдоль радиуса (рис. 2.12). На выделенный элемент жидкости действуют силы давления и центробежная сила.

Обозначив давление в центре площадки dS, расположенной на радиусе r, через p, а в центре другого основания объема (на радиусе r + dr) через p + dp, получим следующее уравнение равновесия выделенного объема в направлении радиуса

Постоянную C найдем из условия, что при r = r0 p = p0.
Следовательно

Подставив ее значение в предыдущее уравнение, получим связь между p и r в следующем виде:
(2.11)
Очевидно, что поверхностями уровня в данном случае будут цилиндрические поверхности с общей осью – осью вращения жидкости.

Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к его оси вращения. Для этого определим силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку радиусом r и шириной dr. Используя формулу (2.11), получим

Видео:Галилео. Эксперимент. Вращение жидкости в сосудеСкачать

а затем следует выполнить интегрирование в требуемых пределах.

При большой скорости вращения жидкости получается значительная суммарная сила давления на стенку. Это используется в некоторых фрикционных муфтах, где для сцепления двух валов требуется создание больших сил давления.

Читайте также: Нет компрессии в одном цилиндре причины ваз 2107

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТА МАГНУСА ПРИ ОБТЕКАНИИ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ЛИНЕЙНЫМ ПОТОКОМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Кандидат физ.-математических наук, доцент, Университет Мировой экономики и дипломатии

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТА МАГНУСА ПРИ ОБТЕКАНИИ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ЛИНЕЙНЫМ ПОТОКОМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

В статье численно исследованы гидродинамические параметры обтекания вращающегося цилиндра в потоке вязкой несжимаемой жидкости в двумерной постановке.

Ключевые слова: подъемная сила, течение Куэтта, обтекание цилиндра.

Dalabayev U.

PhD in Physics and mathematics, associate professor, University of World Economy and Diplomacy

RESEARCH OF EFFECT OF MAGNUS AT THE FLOW OF THE CIRCULAR CYLINDER IN LINEAR FLOW

Видео:Аномальное вращение цилиндраСкачать

In article hydrodynamic parameters of a flow of the rotating cylinder in a stream of viscous incompressible fluid in two-dimensional statement are numerically investigated.

Keywords: lift force, flow of Kuetta, cylinder flow.

В литературе изучению особенностей движения жидкости около кругового цилиндра, вращающегося с постоянной угловой скорости, посвящено много экспериментальных и численных исследований [1- 4 и литература в них]. Наиболее важным эффектом при вращении цилиндра в потоке вязкой жидкости является возникновение подъемной силы, действующей на цилиндр. Возникновение подъёмной силы наблюдается не только при вращении цилиндра, но и при обтекании неравномерным потоком. В работе [1] исследуется эффект Магнуса вращающегося цилиндра в линейном безграничным потоке нестационарным уравнениям вязкой жидкости в переменных функции тока – завихренность. Влиянию вращения цилиндра в равномерном потоке посвящена работа [2]. В работе [3] исследовано влияние вращения цилиндра вязкой жидкости в переменных функции тока – завихренность. На основе уравнения вязкой жидкости в естественных переменных исследовано вращения цилиндра в равномерном потоке в работе [4]. Влиянию вращения цилиндра на пуазельовский поток посвящена работа [5].

Цель настоящей работы – определение гидродинамических характеристик при обтекании вращающегося кругового цилиндра на основе численного моделирования двухмерного ламинарного обтекания линейным потоком Куэтта рамках стационарного уравнения несжимаемой жидкости в естественных переменных.

Рассмотрим течение Куэтта (рис. 1) при входе в плоскопараллельный канал поступает линейный поток, в котором расположен твердый цилиндр с осью, перпендикулярной потоку. В зависимости от положения цилиндра по сечению значение подъемной силы будет различное. Среда считается несжимаемой, тогда двумерная безразмерная система уравнений Навье − Стокса имеет вид

Здесь Re – число Рейнольдса (Re=UH/ν, U – скорость подвижной границы, H – высота трубы, кинематическая вязкость, p=Re×P/ρU 2 – безразмерное давление). Ось x направлена по нижней стенке, a ось y − перпендикулярно к ней.

На стенках канала ставятся условия прилипания: . На входе ставим линейный поток u=y, v=0. В выходном сечении канала ставим мягкое условие:

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

На поверхности цилиндра ставятся условия прилипания с учётом скорости его вращения.

Читайте также: Объемная плотность связанных зарядов для цилиндра

Для решения системы уравнений (1) при соответствующих граничных условиях применен алгоритм SIMPLE [5].

Расчет произведен в области x∈[0,3], y∈[0,1], за исключением области цилиндра, при различных значениях числа Рейнольдса Re и интенсивности вращения α ( α=ωН/U, где ω – угловая скорость вращения цилиндра). Центр частицы расположен в точке (1, у_с), где значение у_с менялось от 0,1 до 0,9 с шагом 0,1.

В расчетах использована согласованная неравномерная сетка 50×40 со сгущением вблизи поверхности цилиндра. Когда расположение или радиус цилиндра меняется, сетка определяется заново. До цилиндра приняли 10 узлов по х, сам цилиндр разделен на 10 узлов (на поверхности цилиндра выбраны 20 узлов) и после цилиндра выбрали 30 узлов.

При конкретном числе Рейнольдса, радиусе и расположении цилиндра расчеты осуществлялись вплоть до выполнения условия,

На рис. 2 приведены продольная скорость течения при различных сечениях трубы для Re=100 и α=0 и 20. При угловой скорости цилиндра вследствие прилипания вязкой жидкости существует слой жидкости, вращающейся вместе с цилиндром.

Рис. 2 – Распределение продольной скорости по сечениям: 1– x=0,9458; 2 –x=1,0150; 3 – x=1,1450; 4 – x=1,8056 (Re=100, центр цилиндра (1;0,5), радиус 0,05)

Распределение давления по поверхности цилиндра дано на рис. 3 (задняя критическая точка θ=0; и θ=2π).

Видео:Вращающиеся цилиндрыСкачать

Рис. 3 – Распределение давления по поверхности цилиндра (центр цилиндра (1;0,5), радиус 0,05)

По оси у отложена значения безразмерного давления , где Р₀ – давление в задней критической точке. Максимальные значения давления наблюдается вблизи передней критической точки в стороне верхней части, где продольная скорость больше. С увеличением угловой скорости минимум давлений увеличиваются по абсолютной величине при различных Re. Отметим также, что с увеличением Re асимметрия графика поверхностного давления увеличиваются, особенно это касается для нижней половине поверхности цилиндра. Значения давления, равной нулю, достигаются в верхней части цилиндра в одинаковых точках (≈π/2), а для нижней части цилиндра с увеличением a смещаются в сторону передней критической точке.

С увеличением Re, максимальное и минимальное значение давления по поверхности цилиндра уменьшается при соответствующих значениях a.

Исследовались также влияние расположения цилиндра по сечению трубы на подъемную силу с учетом вращения ее (рис. 4).

Возникновение подъёмной силы обусловлено не только вращением цилиндра. Подъёмная сила возникает также и при неподвижном цилиндре в неравномерном потоке.

Безразмерная подъемная сила на единицу длины цилиндра вычислена по формуле – подъёмная сила)

где L_p представляет собой часть подъёмной силы, обусловленную силами давления и L_τ – часть подъёмной силы, обусловленной вязкими силами.

Видео:Геометрия 11 класс (Урок№6 - Тела вращения. Цилиндр.)Скачать

Рис. 4 приведены изменения подъёмной силы в зависимости от расположения цилиндра в трубе (сплошная линии – L, точки – L_p, пунктирные линии – L_τ). На рис. 4а) представлены изменения подъёмной силы без учета вращения цилиндра; которая обусловлена из-за неравномерности потока. Вращение частицы вносит существенную корректировку на подъёмную силу (рис. 4б) и рис. 4в)). Во всех рассмотренных случаях, максимальные значения по модулю подъёмной силы возникают вблизи движущей стенки. При этом это значение в случае a=20 в два раза больше по сравнению с неподвижным цилиндром. Большой вклад в подъемную силу осуществляется за счет сил давления – L_p. При этом, чем больше, a тем ощутим вклад интенсивности вращения на величину подъемной силы.

Читайте также: Стук в районе 4 цилиндра приора

Рис. 4 – Влияние вращения цилиндра на подъёмную силу, Re=100, r=0,05.

Отметим что, с увеличением интенсивности вращения цилиндра против часовой стрелки точка с нулевом значением подъемной силы приближается к неподвижной стенки; и при дальнейшим росте такая точка отсутствует.

При этом увеличение число Рейнольдса приведет к приближению точки с нулевым значением подъемной силы к неподвижной стенке. Во всех рассмотренных случаях с увеличением скорости вращения имеет место возрастание подъёмной силы.

Исследовано также, влияние вращения цилиндра на силу сопротивления. Безразмерная сила сопротивления на единицу длины цилиндра вычислена по формуле

где D_p представляет собой часть силы сопротивления, обусловленную силами давления и D_τ – часть силы сопротивления, обусловленной вязкими силами.

Рис. 5 – Влияние вращения цилиндра на силу сопротивления, Re=100, r=0,05.

Во всех рассмотренных случаях вклад сил давления на силу сопротивления больше чем сил трения. С увеличением a наблюдается тенденция к уменьшению силы сопротивления.

Fumio Yoshino and Tatsuo Hayashi. The Numerical Solution of Flow around a Rotating Circular Cylinder in Uniform Shear Flow// Bulletin of JSME, Vol. 27, No. 231, September 1984, pp. 1850-1857.
Stojkovic´, M. Breuer and F. Durst. Effect of high rotation rates on the laminar flow around a circular cylinder// Physics of fluids. 2002, Vol. 14, No 9, pp. 3160-3178.
Мазо А.Б., Моренко И.В. Численное моделирование вязкого отрывного обтекания вращающегося кругового цилиндр // Инженерно-физический журнал, т.79 №3, 2006, стр. 75-81
Редчиц Д.А., Гуржий А.А. Численное моделирование эффекта Магнуса при обтекании кругового цилиндра невозмущенным потоком вязкой жидкости// Прикладная механика. 2012, т. 14, № 1, стр. 63-71.
Далабаев У. Исследование характера подъемной силы, действующей на вращающей цилиндрической частицы в пуазейлевском потоке плоского канала.// Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий – Аль-Хоразми 2012», Т. 1, стр.214-216
Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984