Вращением чего можно получить цилиндр (2 видео)

Содержание

Что такое цилиндр: определение, элементы, виды, варианты сечения
Определение цилиндра
Основные элементы цилиндра
Понятие цилиндра
Урок 12. Геометрия 11 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Понятие цилиндра»
🎦 Видео

Видео:Геометрия 11 класс (Урок№6 - Тела вращения. Цилиндр.)Скачать

Что такое цилиндр: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения одной из самых распространенных трехмерных геометрических фигур – цилиндра. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Видео:Тела вращения. ЦилиндрСкачать

Определение цилиндра

Далее мы подробно остановимся на прямом круговом цилиндре как самой популярной разновидности фигуры. Другие ее виды будут перечислены в последнем разделе данной публикации.

Прямой круговой цилиндр – это геометрическая фигура в пространстве, полученная путем вращения прямоугольника вокруг своей стороны или оси симметрии. Поэтому такой цилиндр иногда называют цилиндром вращения.

Цилиндр на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ABCD вокруг оси O₁O₂ на 180° или прямоугольников ABO₂O₁/O₁O₂CD вокруг стороны O₁O₂ на 360°.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Основные элементы цилиндра

Основания цилиндра – два одинаковых по размеру/площади круга с центрами в точках O₁ и O₂.
R – радиус оснований цилиндра, отрезки AD и BC – диаметры (d).
O₁O₂ – ось симметрии цилиндра, одновременно является его высотой (h).
l (AB, CD) – образующие цилиндра и одновременно с этим стороны прямоугольника ABCD. Равны высоте фигуры.

Развёртка цилиндра – боковая (цилиндрическая) поверхность фигуры, развернутая в плоскость; является прямоугольником.

длина данного прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра ( 2πR );
ширина равна высоте/образующей цилиндра.

Примечание: формулы для нахождения площади поверхности и объема цилиндра представлены в отдельных публикациях.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№34 - Тела и поверхности вращения.)Скачать

Понятие цилиндра

Урок 12. Геометрия 11 класс ФГОС

Видео:Тела вращения. Урок 7. Геометрия 11 классСкачать

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Понятие цилиндра»

На этом уроке мы вспомним понятие цилиндра. Дадим его определение. Рассмотрим, какими элементами обладает цилиндр.

Читайте также: Расчет площади усеченного цилиндра

Вокруг нас существует множество объектов, которые являются физическими моделями цилиндра, или проще говоря, имеют форму цилиндра.

Например, кружки и стаканы имеют форму цилиндра. Карандаши, шляпы, пуфики, барабан также имеют форму цилиндра.

Некоторые архитектурные сооружения.

Колонны храмов и соборов, выполненные в форме цилиндра, подчеркивают их гармонию и красоту.

Итак, перейдём к самому цилиндру. Рассмотрим произвольную плоскость и окружность с центром О радиуса , лежащую в этой плоскости. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную к плоскости .

Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые – образующими цилиндрической поверхности.

Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к плоскости , называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости , то они параллельны друг другу.

Рассмотрим теперь плоскость , параллельную плоскости . Отрезки образующих, заключённые между плоскостями и , параллельны и равны друг другу. По построению концы этих отрезков, расположенные в плоскости , заполняют окружность . Концы же, расположенные в плоскости , заполняют окружность с центром радиуса , где – точка пересечения плоскости с осью цилиндрической поверхности. Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости , получается из окружности параллельным переносом на вектор . Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор . окружность перейдёт в равную ей окружность радиуса с центром в точке .

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя равными кругами с границами и , называется цилиндром.

Можно ещё услышать и такое определение: прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями и , которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности.

Назовём элементы цилиндра.

Круги называются основаниями цилиндра.

Отрезки образующих, заключенные между основаниями, — образующими цилиндра.

Читайте также: Как снять задний тормозной цилиндр калина

А образованная ими часть цилиндрической поверхности это есть боковая поверхность цилиндра.

Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.

Как уже отмечалось ранее, все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между основаниями цилиндра.

Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон на . Итак, если взять некоторый прямоугольник и вращать его вокруг одной из сторон, например, вокруг стороны , то в результате получим тело, которое и называется цилиндром.

В этом случае основания цилиндра образуются вращением сторон и , а боковая поверхность цилиндра образуется вращении стороны .

Теперь рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями.

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие цилиндра, а две другие – хорды оснований цилиндра.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.

В самом деле, такая секущая плоскость отсекает от данного цилиндра тело, которое также является цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение.

Замечание. На практике очень часто встречаются предметы, которые имеют форму сложных цилиндров.

На экране, на первом рисунке вы видите цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком. На втором рисунке изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований, такой цилиндр называют еще наклонным цилиндром. Однако в дальнейшем мы будем рассматривать только прямые круговые цилиндры.

Задача: точка – середина образующей цилиндра, центрами оснований которого являются точки и . Верно ли, что ?

Читайте также: Как указываются размеры цилиндров

Решение: рассмотрим и .

Образующая перпендикулярна плоскостям, в которых лежат основания цилиндра. Следовательно, она перпендикулярна любой прямой лежащей в этих плоскостях. Прямые и являются радиусами цилиндра и лежат в плоскостях оснований. Значит, прямая и . Отсюда получаем, что и – прямоугольные.

Так как основаниями цилиндра являются равные круги, то , как радиусы.

Так как по условию задачи точка – середина образующей цилиндра, то отрезки . Значит, равны по двум катетам. Отсюда вытекает, что .

Задача: точка – центр основания цилиндра. Отрезок – диаметр другого его основания. Вычислите площадь , если радиус цилиндра равен см, а его высота – см.

Решение: напомним, что площадь треугольника находится по формуле . Заметим, что высота цилиндра является и высотой нашего и равна . А основание треугольника есть диаметр цилиндра и равно оно двум радиусам, т.е. (см).

Подставим в формулу площади треугольника высоту и длину основания треугольника. Посчитаем. Получим, что площадь треугольника равна . Не забудем записать ответ.

Задача: радиус цилиндра см, а его высота – см. Вычислите площадь осевого сечения.

Решение: напомним, что осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра.

Высота цилиндра – это есть длина образующей . Следовательно, ширина осевого сечения равна . Длина сечения равна диаметру основания цилиндра. И значит, равна (см).

Теперь вычислим площадь осевого сечения. Она равна ().

На этом уроке мы вспомнили понятие цилиндра. Узнали, что тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами и , называется цилиндром. Или прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями и , которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Назвали элементы цилиндра. А также рассмотрели сечения цилиндра различными плоскостями.