Врезка цилиндра в пирамиду (4 видео)

Пересечение прямого кругового цилиндра с поверхностью пирамиды.

На рис 17 показано пересечение цилиндра и правильной шестиугольной пирамиды. Сначала определяется на каких проекциях нужно строить линию пересечения. Затем определяют характерные точки. Дополнительные точки строятся с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей.

Раздел 5 Взаимное пересечение поверхностей двух тел вращения.

5.1 Пересечение поверхностей цилиндров.

Построение линии пересечения цилиндров начинают со сравнения их оснований. На рис. 18 изображены три вертикальных цилиндра (А,Б,В) разных диаметров, которые пересекаются с половиной горизонтального цилиндра.

Рассмотрим, какая получается линия пересечения в зависимости от соотношения диаметров цилиндров. Если пересекаются два цилиндра разных диаметров, то линия их пересечения представляет собой кривую, кривизна которой зависит от разности диаметров. Чем больше разность, тем меньше кривизна, и наоборот. При этом изгиб кривой всегда идет в сторону большего диаметра, так как цилиндр с меньшим диаметром как бы проходит через цилиндр с большим диаметром. Если же диаметры одинаковые, то линия пересечения изображается прямыми линиями, имея форму эллипсов.

5.2 Построение пересечения поверхностей тел вращения с помощью вспомогательных секущих плоскостей.

Линии пересечения тел вращения обычно строят с помощью вспомогательных секущих плоскостей Р (рис. 19). Каждая плоскость пересекает одновременно оба тела вращения по соответствующим линиям. Эти линии пересекаются между собой в точках, определяющих линию пересечения заданных поверхностей. Количество вспомогательных плоскостей берется в зависимости от требуемой точности построения.

Еще один пример на рис. 20. Здесь рассматривается построение линии пересечения конуса и шара. Вспомогательные плоскости — фронтально-прецирующие плоскости N, R, Т, М.

Содержание

Вписанный в пирамиду цилиндр. Цилиндр и пирамида: варианты комбинаций
Пирамида в геометрии
Цилиндр в геометрии
Многоугольник и окружность
Треугольная пирамида, вписанная в цилиндр
Пирамида четырехугольная, вписанная в цилиндр
Цилиндр вписан в фигуру
Задача с четырехугольной пирамидой и цилиндром
Врезки геометрических тел
🎬 Видео

Видео:Сложные врезки Цилиндр и пирамидаСкачать

Вписанный в пирамиду цилиндр. Цилиндр и пирамида: варианты комбинаций

Одними из интересных задач, которые позволяют сравнить различные объемные фигуры, являются задачи на описание одной из них около другой. В данной статье рассмотрим различные варианты описанного около пирамиды и вписанного в пирамиду цилиндра.

Видео:Основные законы взаимодействия геометрических тел. ЦИЛИНДР и ПИРАМИДАСкачать

Пирамида в геометрии

Прежде чем изучать комбинации вписанного в пирамиду цилиндра и вписанной пирамиды в цилиндр, следует рассмотреть эти фигуры с точки зрения геометрии. Начнем с пирамиды.

Фигура пирамида представляет собой тело в пространстве, которое получается, если соединить все вершины произвольного плоского n-угольника с некоторой точкой в пространстве. При этом n-угольник может быть совершенно произвольным (выпуклым, вогнутым, правильным, с различным количеством сторон n). На положение отмеченной точки накладывается одно единственное условие: она не должна лежать в той плоскости, в которой n-угольник находится.

На рисунке выше показана, пожалуй, самая известная пирамида — четырехугольная. Видно, что вершины четырехугольника, который называется основанием фигуры, соединены с точкой, лежащей над ним. Эта точка называется вершиной пирамиды.

Приведенное определение и также представленный рисунок свидетельствуют, что любая пирамида, независимо от типа ее основания, будет включать в себя n треугольников. Все они соединяются в вершине фигуры.

Перпендикулярный отрезок, проведенный из вершины фигуры к ее основанию, называется высотой. Если высота пересекает в геометрическом центре n-угольник, то такая пирамида будет прямой. В противном случае имеет место наклонная фигура.

Читайте также: Цилиндр тормозной задний фотон 1049а задний правый

Если все стороны n-угольника равны между собой, и фигура является прямой, то ее называют правильной. Именно с правильными пирамидами удобно работать при изучении их взаимного расположения с другими объемными телами в геометрии.

Видео:Врезка конус - пирамида, МАРХИ.Скачать

Цилиндр в геометрии

Цилиндр в общем случае можно получить, если вдоль замкнутой кривой перемещать отрезок параллельно самому себе таким образом, чтобы отрезок не лежал в плоскости этой кривой. Этот отрезок называется образующей цилиндра, а кривая, вдоль которой он перемещается, носит название направляющей.

Если направляющая является окружностью, а образующая ей перпендикулярна, то полученный цилиндр будет называться прямым с круглым основанием. Эта фигура известна каждому. Она представлена на рисунке ниже.

Далее будем рассматривать только прямой круглый цилиндр.

В отличие от пирамиды, цилиндр не имеет вершин и ребер. Однако он образован двумя основаниями (два одинаковых круга, находящихся в параллельных плоскостях) и боковой цилиндрической поверхностью. Если посмотреть на развертку этой фигуры, то можно увидеть, что она состоит из двух кругов и одного прямоугольника (см. рис. ниже).

Основными характеристиками цилиндра являются следующие:

радиус основания;
высота — расстояние между основаниями;
площадь оснований и боковой поверхности;
объем фигуры.

Видео:Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

Многоугольник и окружность

Последний вопрос, который следует изучить перед тем, как рассматривать вписанный в пирамиду цилиндр и описанный около нее, связан с взаимным расположением правильного многоугольника и окружности.

Существуют всего два варианта расположения этих плоских фигур:

описание окружностью n-угольника;
описание n-угольником окружности.

Приведем формулы, позволяющие вычислить длину стороны многоугольника через радиус окружности. Рассмотрим для примера только два первых многоугольника, то есть равносторонний треугольник и квадрат.

Если окружность проходит через все вершины n-угольника, то говорят, что она его описывает. При известном радиусе R длина стороны вычисляется по формуле:

То есть сторона квадрата, вписанного в окружность с радиусом R, будет немного меньше таковой для равностороннего треугольника, описанного той же окружностью.

Если окружность касается каждой из сторон n-угольника, то говорят, что она вписана в него. В случае правильных многоугольников точка касания фигур находится точно посередине каждой стороны n-угольника. Если известен радиус r окружности вписанной, тогда сторона n-угольника определится по формуле:

То есть вокруг окружности фиксированного радиуса можно описать треугольник с большей длиной стороны, чем квадрат.

Видео:врезка куб и цилиндр - Костромина Татьяна АлександровнаСкачать

Треугольная пирамида, вписанная в цилиндр

Сначала рассмотрим более простой вариант, то есть когда пирамида находится внутри цилиндра. Разберем конкретный пример с правильной треугольной пирамидой. Предположим, что известен радиус R цилиндра и его высота h. Необходимо найти характеристики правильной треугольной пирамиды, вписанной в цилиндр.

Выше уже была приведена формула для стороны равностороннего треугольника, находящегося внутри окружности. Длина его стороны является длиной основания пирамиды. Она равна:

Вершина пирамиды вписанной лежит точно в центре верхнего основания цилиндра, поэтому высоты обеих фигур равны.

Зная длину стороны основания и высоту правильной пирамиды треугольной, можно рассчитать другие ее характеристики. Например, объем вычисляется по формуле:

Длину бокового ребра a_b можно рассчитать так:

Видео:ПОСТРОИТЬ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЧЕТЫРЕХГРАННОЙ ПИРАМИДЫ И ЦИЛИНДРА. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ.Скачать

Пирамида четырехугольная, вписанная в цилиндр

Как и в предыдущем случае, пирамида находится внутри цилиндра. Только теперь ее основание представляет собой квадрат, сторона которого через радиус R цилиндра вычисляется так:

Читайте также: Вырезать цилиндр из резины

Высота пирамиды равна таковой для цилиндра, то есть h.

Длина бокового ребра a_b составляет:

Заметим, что формула для длины бокового ребра получилась точно такой же, как в случае треугольной пирамиды.

Видео:врезка куб и пирамида - Костромина Татьяна АлександровнаСкачать

Цилиндр вписан в фигуру

Цилиндр, вписанный в пирамиду, представляет более сложный случай расположения этих фигур. Чтобы рассчитать размеры пирамиды по известному радиусу и высоте цилиндра, следует разобраться, как этот цилиндр будет расположен внутри нее.

Предположим, что имеется плоскость, параллельная основанию пирамиды. Пересечем этой плоскостью боковую поверхность фигуры. Образованное сечение будет представлять точно такой же многоугольник, что лежит в основании, но меньшего размера. Этот многоугольник будет описывать верхнее основание цилиндра. Нижнее основание будет лежать в основании пирамиды.

Чтобы найти длину стороны многоугольника сечения, следует воспользоваться функцией зависимости площади сечения от вертикальной координаты z. Эта функция имеет вид:

Здесь z — расстояние от основания пирамиды вдоль ее высоты, h_p — высота пирамиды.

Как пользоваться этой формулой для определения параметров описанной около цилиндра пирамиды, покажем на примере решения задачи.

Видео:Построение врезок двух геометрических фигурСкачать

Задача с четырехугольной пирамидой и цилиндром

Известно, что цилиндр имеет радиус r = 5 см и высоту h = 6 см. Найти высоту и сторону правильной четырехугольной пирамиды, описывающей его.

Верхнее основание цилиндра должно вписываться в квадратный срез на высоте h = 6 см от основания пирамиды. Тогда площадь сечения равна:

Здесь a — сторона основания пирамиды. Если взять квадратный корень из S(6), то получим длину стороны квадрата сечения. Она должна быть равна 2*r, чтобы основание цилиндра могло вписаться в это сечение, тогда получаем:

Отсюда получаем выражение:

Таким образом, вписать цилиндр, заданный условием задачи, можно не в одну единственную правильную четырехугольную пирамиду, а в бесконечное их число. Однако параметры каждой из них должны удовлетворять выражению выше, которое связывает высоту фигуры с длиной стороны ее основания.

Видео:Простые врезки Пирамида и кубСкачать

Врезки геометрических тел

Под врезкой геометрических тел подразумевается их сочленение, при котором тела пересекаются, и одно тело частично входит в другое. Пересечение тел происходит по так называемой линии врезки. Получившуюся фигуру или сочетание геометрических тел, которое в дальнейшем существует как одно сложное геометрическое тело, принято называть связкой.

Условно все врезки можно разделить на простые и сложные. К простым врезкам относятся те, которые основаны на пересечении простых геометрических тел (куба, четырехгранника, шестигранника, пирамиды, цилиндра, конуса и шара) вертикальными и горизонтальными плоскостями (например, гранями куба или четырехгранной призмы). Сложные врезки основаны на пересечении тел вращения (конуса, цилиндра и шара), пирамиды и шестигранника наклонными плоскостями (например, наклонными гранями пирамиды и шестигранника).

Упражнения на построение врезок, безусловно, полезны для будущего архитектора. Они развивают объемно-пространственное воображение и учат видеть за сложными архитектурными формами сочетания простых геометрических тел. В дальнейшем полученные знания и практические навыки помогут вам, как архитектору, грамотно изображать и существующие, и воображаемые (проектируемые) архитектурные объекты.

Когда вы будете работать с иллюстрациями, показывающими примеры построения врезок, помните, что эти рисунки схематизированы, в них сохранены все вспомогательные линии. Сделано это специально, чтобы на каждом этапе работы у ученика оставалась возможность свериться с построением, разобраться во всех тонкостях этого сложного процесса. На последней стадии реального рисунка на листе остаются только те линии, которые наиболее важны для восприятия и понимания изображаемой конструкции, а большая часть вспомогательных линий уходит. Поэтому ближе к реальному рисунку те иллюстрации, которые даются в конце каждого упражнения — они представляют изображения уже готовых, тонированных связок. В них линии построения сохранены, но менее заметны за счет активного тона.

Читайте также: Газ находится в цилиндре под поршнем объемом 240

На первых порах тщательно простаивайте и разбирайте каждый этап создания врезки, не пренебрегая никакими дополнительными точками и линиями. Такое погружение в жесткий мир начертательной геометрии просто необходимо на начальных этапах рисунка, чтобы помочь вам не просто понять, но почувствовать линию врезки. В дальнейшем, по мере возрастания мастерства, по ходу становления профессионального объемно-пространственного мышления, вам будет нужно все меньше дополнительных построений для вашего рисунка. Тогда процесс изображения связок станет более быстрым, а ваш рисунок — более легким и живым. Но это уже будет не бесшабашная легкость от незнания, а свобода мастера, легко владеющего профессиональными навыками и оперирующего всем спектром специальных приемов.

Выполняя задания следующих разделов, особое внимание обратите не только на правильность выполнения врезок, но и на их пропорции. Красивые и гармоничные пропорции, как правило, выражаются определенными отношениями. В своей книге «Элементы архитектурно-пространственной композиции» В. Ф. Кринский, И. В. Ламцов и М. А. Туркус так писали об этом: «Известные в архитектурной практике закономерные или гармонические отношения можно разделить на две группы: простые, строящиеся на отношении простых чисел, и иррациональные, получаемые при помощи геометрического построения.

Простыми отношениями называются такие отношения, в которых числовая зависимость двух величин выражается дробным числом, где числитель
и знаменатель — целые числа в пределах от 1 до 6.
На отношении 1:1 строятся простейшие геометрические формы — квадрат и куб. Кратные отношения 1:2; 1:3; 1:4; 1:5; 1:6 — дают в прямоугольной форме повторение квадрата целое число раз, квадрат в этом случае является модулем (единицей измерения) прямоугольной формы.
В прямоугольниках с отношением сторон 2:3; 3:4; 2:5; 3:5; 4:5; 5:6 модулем является единица измерения, укладывающаяся целое число раз в каждой из сторон в пределах от 1 до 6.Таким образом, в простых отношениях мы имеем простую числовую и ясно читаемую соизмеримость пространственных величин, что и является одним из условий их гармоничной связи. Соизмеримость наиболее ясна зрительно в отношении 1:1.
По мере увеличения чисел, составляющих отношение, последнее усложняется ( предел простых отношений — число 6 — можно определить как психофизиологический предел наиболее ясного восприятия числа зрительных раздражений).
Примерами простых отношений в своих измерениях могут служить квадрат, полтора квадрата, два с половиной квадрата, отношение сторон в египетском треугольнике (3:4:5).

К иррациональным отношениям, встречающимся в архитектурной практике, относятся отношения, в основе построения которых лежит простая геометрическая закономерность.
Такими иррациональными отношениями являются:
1) отношение диагонали квадрата к его стороне ( а : Ь = 1: