Все образующие цилиндра параллельны равны пересекаются (3 видео)

Пусть дана плоская фигура m (рисунок 1). Параллельные между собой отрезки xx’ равной длины, проведённые через все точки x фигуры m по одну сторону от её плоскости, заполняют некоторую пространственную фигуру, которую называют обобщённым цилиндром с основанием m и образующими xx’. Частный случай обобщённого цилиндра — призма. Она получается, если m — многоугольник. Если m — круги и образующие xx’ цилиндра не перпендикулярны плоскости m, то такой цилиндр называется наклонным круговым цилиндром. Если m — круг, а образующие xx’ перпендикулярны плоскости m, то получается прямой круговой цилиндр. Прямым круговым цилиндром называют фигуру, которая получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Рассматривают также цилиндрические поверхности, составленные из всех прямых пространства, параллельных данной прямой (оси) и удалённых от неё на данное расстояние. Отрезки этих прямых называются образующими цилиндрической поверхности (рисунок 2). Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги — основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая, проходящая через центры оснований — осью цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра. На рисунке 3 изображён цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания — вращением сторон BC и AD.

В XI книге «Начал» даётся следующее определение: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник снова вернётся в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом. Обобщённый конус с основанием — произвольной плоской фигурой М — и вершиной — не лежащей в плоскости М точкой А — это фигура, которую заполняют отрезки АХ, соединяющие вершину со всеми точками Х на основании М (рисунок 4). Частный случай обобщённого конуса — пирамида, получающаяся в том случае, если М — многоугольник. Если М — круг, то получается круговой конус. Если М — круг и вершина А проецируется в центр круга М, то получается прямой круговой конус. На рисунке 5 прямоугольный треугольник POB вращается около катета РО; точка Р называется вершиной конуса, прямая, проходящая через центр основания и вершину (РО) — его осью, отрезок РО (и его длина) — высотой конуса. Конической поверхностью называется поверхность, образованная отрезками, соединяющими вершину Р и каждую точку окружности. Сами отрезки называются образующими конической поверхности. Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг — основанием конуса. Образующие конической поверхности называются образующими конуса (на рисунке 5 изображены образующие РА, РВ).

Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усечённым конусом (рисунок 6). Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса, а отрезок, соединяющий их центры, — высотой усечённого конуса. Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Все образующие усечённого конуса равны друг другу. Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Содержание

Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки
Цилиндр
Цилиндр
Определение
Объем цилиндра
Доказательство:
Площадь боковой поверхности цилиндра
Все образующие цилиндра параллельны равны пересекаются
Понятие цилиндра
Урок 12. Геометрия 11 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Понятие цилиндра»
🎦 Видео

Видео:§63 Цилиндрические поверхностиСкачать

Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки

Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых,заключённые между параллельными плоскостями ? и ?.

Слайд 7 из презентации «Цилиндр»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Цилиндр.ppt» можно в zip-архиве размером 91 КБ.

Читайте также: Цилиндр захвата омтл 97

Видео:Пересечение конуса и цилиндраСкачать

Цилиндр

«Цилиндр геометрия 11 класс» — Теоретический материал Задачи. 3.Ось цилиндра. 3.Получение цилиндра. 2.Понятие цилиндрической поверхности. 1.Разработка урока 2.Материалы к уроку. 5.Касательная плоскость цилиндра. Геометрия 11 класс Тема: Цилиндр. 1.Примеры цилиндров. 1. Основание цилиндра. 4. Радиус основания. Задачи. Осевое сечение.

«Поверхность цилиндра» — «Понятие цилиндра». Sбок = 2¶r sцил = 2¶r(r+h). Основания цилиндра. Образующие. Стороны AB и СD — представляют собой 2 края разреза боковой поверхности цилиндра. Algebra & Geometria Entertainment. Осевое сечение. A. Shevchenko R. Trushenkov. Ось цилиндра. «Общие формулы».

«Цилиндр конус шар» — Завершить работу. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом. Площади поверхностей тел вращения. Объём шара Теорема. Сечения цилиндра. — Шаровые сегменты. Объём шарового сегмента. Объёмы и поверхности тел вращения. Объема сегмента. Шаровой сегмент. Определение цилиндра. Сечение шара плоскостью есть круг.

«Цилиндром называется тело» — Цилиндр. Задача № 3. Высота цилиндра 8 м, радиус основания 5 м. Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат. Задача № 1. Проект «Математика в профессии «Повар, кондитер». Решение: Найдем, длину (h) перпендикуляра ОК. 4) По условию АВ = А’В’ = М’ = 8. В прямоугольном треугольнике АОК катет АК = 4. Тогда по теореме Пифагора h = ОК = = = 3 м.

«Цилиндр» — Основания цилиндра. Ось цилиндра. Радиус цилиндра. Образующие цилиндра параллельны друг другу. Объем цилиндра. Цилиндрическая поверхность. Цилиндр.

«Понятие цилиндра» — Два милых кружочка. Решение задач. Чудо. Клей. Кружочки. Ножницы. Объем цилиндра. Задачи на тему «Цилиндр». Здание. Прямоугольник. Добрые ножницы. Строение. Цилиндр стал мужским головным убором. Откуда и как появился цилиндр. Цилиндры вокруг нас. Счастье было потеряно навсегда. Тело вращения. Помощник архитектора.

Видео:Задание 14 из реального ЕГЭСкачать

Цилиндр

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости. К телам вращения относятся цилиндр, конус и шар.

Цилиндр — это объемное тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Возьмем прямоугольник АВСD. Будем вращать этот прямоугольник против часовой стрелки вокруг стороны АD.

Прямая АD — ось цилиндра.

Отрезок АD — высота цилиндра.

Основания цилиндра — два равных круга образованных при вращении сторон АВ и DC (круги равные, т.к. стороны АВ и DC равны как противоположные стороны прямоугольника).

Радиус цилиндра — радиус оснований цилиндра.

Цилиндрическая поверхность (или боковая поверхность цилиндра) — поверхность, образованная при вращении стороны ВС и состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра (АD).

Образующие цилиндра — отрезки, из которых составлена боковая поверхность цилиндра (на рисунке выше указаны образующие ВС и ЕК).

Определение

Объем цилиндра

Доказательство:

Дано: цилиндр с площадью основания S, высотой h и объемом V.

Доказать: V = Sh.

Доказательство:

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр и призму с площадями оснований, равными S, и высотами, равными h, «стоящие» на одной плоскости.

Любая секущая плоскость, параллельная плоскости, на которой стоят цилиндр и призма, дает в качестве сечения цилиндра круг площади S, а в качестве сечения призмы — многоугольник площади S. Значит, объем цилиндра равен объему призмы. Но объем призмы равен Sh. Поэтому и объем цилиндра равен Sh, т.е. V = Sh. Что и требовалось доказать.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Рассмотрим цилиндр с радиусом r и высотой h.

Представим, что его боковую поверхность разрезали по одной из его образующих АD и развернули так, что получился прямоугольник АDА₁D₁, стороны АD и А₁D₁ которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Сторона АА₁ прямоугольника АDА₁D₁ равна длине окружности основания, а сторона АD равна высоте цилиндра, т.е. АА₁ = 2 r, АВ = h. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, значит, площадь прямоугольника АDА₁D₁ равна 2 rh.

Площадь S_бок боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, т.е. S_бок = 2

Все образующие цилиндра параллельны равны пересекаются

rh.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Лекция #13Скачать

Все образующие цилиндра параллельны равны пересекаются

Ц илиндр, получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Цилиндр состоит из двух кругов и множества отрезков .
Цилиндр – это геометрическое тело, состоящее из двух равных кругов, расположенных в параллельных плоскостях и множества отрезков, соединяющих соответственные точки этих кругов.
Определения элементов цилиндра :

Читайте также: Задиры в цилиндрах фольксваген поло седан

Основания цилиндра – равные круги, расположенные в параллельных плоскостях

Высота цилиндра — это расстояние между плоскостями его оснований.

Ось цилиндра – это прямая, проходящая через центры основания цилиндра (ось цилиндра является осью вращения цилиндра).

Осевое сечение цилиндра – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра (осевое сечение цилиндра является плоскостью симметрии цилиндра). Все осевые сечения цилиндра – равные прямоугольники

Образующая цилиндра — это отрезок соединяющий точку окружности верхнего основания с соответственной точкой окружности нижнего основания. Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте цилиндра.

Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра .

Радиус цилиндра – это радиус его основания.

Прямой цилиндр – это цилиндр, образующие которого перпендикулярны основанию.

Равновеликий цилиндр – цилиндр, у которого высота равна диаметру (показать равновеликий цилиндр: кнопкой со значком руки перевести модель обратно в интерактивный режим и изменить значение высоты и радиуса у предложенной модели так, чтобы ).

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник со сторонами H и C , где H – высота цилиндра, а C – длина окружности основания. Получим формулы для вычисления площадей боковой S _б и полной S _п поверхностей: S _б = H · C = 2π RH , S _п = S _б + 2 S = 2π R ( R + H ).

Задача № 1. Вычислить площадь боковой и полной поверхности цилиндра, у которого радиус равен 3 см, а высота 5 см (число пи и ответ округлить до целых).

2. Высота цилиндра равна h , радиус основания R . Найти площадь сечения плоскостью, проведенной параллельно оси цилиндра на, расстоянии a от нее.

Домашнее задание: 522, 524, 526.

Р.S/ кому интересно попрбуйте пройти по ссылке и посмотреть электронный ресурс про цилиндр

для начала на странице установите у себя на ПК модуль ОМS и закачайте модуль. На выскочившей таблице кликните воспроизвести. А дальше по порядку просмотрите все странички.
ВСЕМ СПАСИБО.

Видео:ЕГЭ Задание 14 Сечение цилиндраСкачать

Понятие цилиндра

Урок 12. Геометрия 11 класс ФГОС

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Понятие цилиндра»

На этом уроке мы вспомним понятие цилиндра. Дадим его определение. Рассмотрим, какими элементами обладает цилиндр.

Вокруг нас существует множество объектов, которые являются физическими моделями цилиндра, или проще говоря, имеют форму цилиндра.

Например, кружки и стаканы имеют форму цилиндра. Карандаши, шляпы, пуфики, барабан также имеют форму цилиндра.

Некоторые архитектурные сооружения.

Колонны храмов и соборов, выполненные в форме цилиндра, подчеркивают их гармонию и красоту.

Итак, перейдём к самому цилиндру. Рассмотрим произвольную плоскость и окружность с центром О радиуса , лежащую в этой плоскости. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную к плоскости .

Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые – образующими цилиндрической поверхности.

Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к плоскости , называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости , то они параллельны друг другу.

Рассмотрим теперь плоскость , параллельную плоскости . Отрезки образующих, заключённые между плоскостями и , параллельны и равны друг другу. По построению концы этих отрезков, расположенные в плоскости , заполняют окружность . Концы же, расположенные в плоскости , заполняют окружность с центром радиуса , где – точка пересечения плоскости с осью цилиндрической поверхности. Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости , получается из окружности параллельным переносом на вектор . Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор . окружность перейдёт в равную ей окружность радиуса с центром в точке .

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя равными кругами с границами и , называется цилиндром.

Можно ещё услышать и такое определение: прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями и , которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности.

Читайте также: Размеры цилиндра альфа 110

Назовём элементы цилиндра.

Круги называются основаниями цилиндра.

Отрезки образующих, заключенные между основаниями, — образующими цилиндра.

А образованная ими часть цилиндрической поверхности это есть боковая поверхность цилиндра.

Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.

Как уже отмечалось ранее, все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.

Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между основаниями цилиндра.

Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон на . Итак, если взять некоторый прямоугольник и вращать его вокруг одной из сторон, например, вокруг стороны , то в результате получим тело, которое и называется цилиндром.

В этом случае основания цилиндра образуются вращением сторон и , а боковая поверхность цилиндра образуется вращении стороны .

Теперь рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями.

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.

Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие цилиндра, а две другие – хорды оснований цилиндра.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.

В самом деле, такая секущая плоскость отсекает от данного цилиндра тело, которое также является цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение.

Замечание. На практике очень часто встречаются предметы, которые имеют форму сложных цилиндров.

На экране, на первом рисунке вы видите цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком. На втором рисунке изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований, такой цилиндр называют еще наклонным цилиндром. Однако в дальнейшем мы будем рассматривать только прямые круговые цилиндры.

Задача: точка – середина образующей цилиндра, центрами оснований которого являются точки и . Верно ли, что ?

Решение: рассмотрим и .

Образующая перпендикулярна плоскостям, в которых лежат основания цилиндра. Следовательно, она перпендикулярна любой прямой лежащей в этих плоскостях. Прямые и являются радиусами цилиндра и лежат в плоскостях оснований. Значит, прямая и . Отсюда получаем, что и – прямоугольные.

Так как основаниями цилиндра являются равные круги, то , как радиусы.

Так как по условию задачи точка – середина образующей цилиндра, то отрезки . Значит, равны по двум катетам. Отсюда вытекает, что .

Задача: точка – центр основания цилиндра. Отрезок – диаметр другого его основания. Вычислите площадь , если радиус цилиндра равен см, а его высота – см.

Решение: напомним, что площадь треугольника находится по формуле . Заметим, что высота цилиндра является и высотой нашего и равна . А основание треугольника есть диаметр цилиндра и равно оно двум радиусам, т.е. (см).

Подставим в формулу площади треугольника высоту и длину основания треугольника. Посчитаем. Получим, что площадь треугольника равна . Не забудем записать ответ.

Задача: радиус цилиндра см, а его высота – см. Вычислите площадь осевого сечения.

Решение: напомним, что осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра.

Высота цилиндра – это есть длина образующей . Следовательно, ширина осевого сечения равна . Длина сечения равна диаметру основания цилиндра. И значит, равна (см).

Теперь вычислим площадь осевого сечения. Она равна ().

На этом уроке мы вспомнили понятие цилиндра. Узнали, что тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами и , называется цилиндром. Или прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями и , которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Назвали элементы цилиндра. А также рассмотрели сечения цилиндра различными плоскостями.