Вычисление относительной погрешности в формуле для объема цилиндра (2 видео)

Видео:Относительная и абсолютная погрешностьСкачать

Верно ли мое решение на нахождение относительной и абсолютной погрешности ?

С какой абсолютной погрешностью и относительной погрешностью может быть вычислен объем цилиндра и площадь его полной поверхности, если при измерении радиуса основания цилиндра и его высоты были получены следующие результаты:

МОЕ РЕШЕНИЕ:
Сначала объем:

Находим частные производные в точках :

это значение объема в точках и равное , а это значение объема в точках равное ,

А теперь Звучит вопрос: Верны ли мои выкладки, и как найти относительную и абсолютную погрешность ?

Меня также запутало следующее: Нам для нахождения этих погрешностей нужно использовать найденную через частные производные, или же которая равна разности значений объема в точках .

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Вычисление абсолютной и относительной погрешности
Помогите пожалуйста, нужно написать програму которая будет считать абсолютную и относительную.

Вывод формул абсолютной и относительной погрешности частного
Нужно вывести формулы для абсолютной и относительной погрешности частного. Вот что у меня.

Сложное движение. Нахождение относительной и абсолютной скоростей
Задача. Колечко K соединяет неподвижную проволочную полуокружность радиуса OC = r = 12 и.

Рассчёты правильны. Опять же, приближение возможно, потому что это первый член ряда Тейлора ф-ции V(H,R).

Как обычно:
— абсолютная, — относительная.

Большое спасибо Вам за ответ !

То есть на сколько я понял, чтобы мне найти абсолютную погрешность, просто нужно подставить в формулу ; где , которое я вычислил, подставив в формулу объема
, и , полученное как объем в точках — ПОЛУЧАЕТСЯ, ЧТО ЗДЕСЬ ПРИБЛИЖЕННЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ НЕ НУЖЕН ?

А в этой формуле , где УЖЕ НАЙДЕННЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ?

Так ли это, или я опять чего нибудь ни учел ?

P.S. Я посчитал, и вышло, что приблизительная дельта объема, посчитанного через частные производные равна разности между значений объемов в целых точках, и с погрешностью, ПОЛУЧАЕТСЯ МОЖНО БЫЛО ЗДЕСЬ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И НЕ ИСПОЛЬЗОВАТЬ, ТАК КАК РЕЗУЛЬТАТ ОДИН И ТОТ ЖЕ, МОЖНО БЫЛО ПРОСТО ВЫЧИСЛИТЬ РАЗНОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ОБЪЕМОВ В ЦЕЛЫХ И ВЗЯТЫХ С ПОГРЕШНОСТЬЮ ТОЧЕК ?

Буду очень признателен за ответ !

Видео:Погрешности измеренияСкачать

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОБЪЕМА ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОБЪЕМА ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ

Цель работы: 1) научится пользоваться измерительнымиприборами;

2) научиться производить приближенныевычисления и определять погрешности.

Теоретические вопросы:Нониус. Точность нониуса. Устройство и методика измерений с помощью штангенциркуля и микрометра. Правила нахождения погрешностей при прямых и косвенных измерениях.

Оборудование: штангенциркуль, микрометр, металлический цилиндр.

Теоретическое введение

Объем тела, имеющего правильную геометрическую форму можно вычислить, измеряя его линейные размеры.

Для тела цилиндрической формы объем определяется по формуле:

где h — высота цилиндра, D — диаметр.

Для правильного определения объема, высоту измеряют штангенциркулем, а диаметр микрометром. Тогда относительные погрешности измерений штангенциркулем и микрометром будут одинакового порядка и соответствовать нужной точности измерений.

Простейшими измерителями линейных величин являются штангенциркуль и микрометр.

Штангенциркуль служит для измерений линейных размеров, не требующих высокой точности. Для измерения с точностью до долей миллиметра пользуются вспомогательной подвижной шкалой, называемой нониусом.

Нониус представляет собой шкалу, скользящую вдоль основной шкалы. Различают линейный, угломерный, спиральный и т.д. нониусы.

В зависимости от количества делений линейного нониуса действительные размеры детали можно определить с точностью 0,1 — 0,02 мм. Например, если шкала нониуса длиной 9 мм разделена на 10 равных частей, то следовательно, каждое деление нониуса равно 9/10 мм, т.е. короче деления на линейке на 1- 0,9= 0,1 мм.

При совмещении нулевого штриха основной шкалы с нулевым штрихом шкалы нониуса, десятый штрих нониуса совпадет с девятым штрихом основной шкалы, первое деление нониуса не дойдет до первого деления линейки на 0,1 мм, второе — на 0,2 мм, третье — на 0,3 мм и т.д. Если передвинуть нониус таким образом, чтобы первый штрих совпадал с первым штрихом линейки, от зазор между нулевым делением будет 0,1 мм, при совпадении шестого штриха нониуса с любым штрихом линейки зазор будет равен 0,6 мм и т.д.

У штангенциркуля с точностью 0,05 мм шкала нониуса равна 19 мм и разделена на 20 делений. Каждое деление нониуса равно 19/20 = 0.95 мм, короче деления основной шкалы на 1 — 0,95 = 0,05 мм. В растянутом нониусе его шкала равна 39 мм с 20 делениями, т.е. каждое деление нониуса будет на 0,05 мм меньше, чем 2 мм.

У штангенциркулей с точностью 0,02 мм шкала нониуса равна 49 мм разделена на 50 делений. Каждое деление нониуса составляет 49/50 = 0,98 мм, т.е. короче деления основной шкалы на 1 — 0,98= 0,02 мм.

Измерение с помощью нониуса производится следующим образом: измеряемый предмет располагается так, чтобы один конец совпадал с нулем масштаба, нуль нониуса совмещается с другим концом измеряемого тела.

Для определения длины тела нужно измерить расстояние между нулем масштаба и нулем нониуса. Число целых делений отсчитывается по масштабу между нулем масштаба и нулем нониуса, число десятых делений — по номеру делений нониуса, совпадающего с делением масштаба. Например, длина тела равна 4 мм плюс отрезокАВ. Длину отрезка АВ находят по нониусу.

Микрометр служит для измерения длин, не превышающих 25 — 30 мм, с точностью 0,01 мм. Микрометр имеет форму тисков, в которых измеряемый предмет зажимается с помощью микрометрического винта. Наиболее распространены микрометры, в которых шаг винта равен 0,5 мм. А т.к. на круговой шкале микрометра имеется 50 делений, то цена одного деления круговой шкалы соответствует 0,5/50= 0,01 мм. Полное число оборотов отсчитываются по неподвижной шкале микрометра, дробная часть оборотов по круговой шкале.

Порядок выполнения работы

1. Измерить высоту h цилиндра штангенциркулем не менее 5 раз в разных местах; столько же раз измерить диаметр D цилиндра микрометром в разных местах. Результаты измерений занести в таблицу.

2. Вычислить среднее значение высоты и диаметра по формуле:

3. Найти абсолютную погрешность каждого измерения, и занести в таблицу:

№ п/п	h (мм)	Dh (мм)	D (мм)	DD (мм)	V (мм 3 )
1. 2. 3. 4. 5.
Сумма
Сред. знач.

4. Максимально возможные погрешности при n числе измерений D и h соответственно равны:

5. Подсчитать объем тела по средним значениям h_cр и D_cр

6. Найти абсолютную и относительную погрешности косвенного измерения объема по формуле:

7. Окончательный результат запишите в виде:

Контрольные вопросы

1. Что такое относительная и абсолютная погрешность?

2. Что такое приборная погрешность?

3. Что такое прямое и косвенное измерение?

4. Уметь пользоваться микрометром и штангенциркулем.

5. Классификация ошибок измерений физических величин.

Теоретическое введение

Баллистический маятник представляет собой цилиндр, заполненный пластилином, и подвешенный на четырех длинных нитях к потолку(Рисунок 1). Под цилиндром помещается шкала отсчета. Пружинный пистолет закрепляется специальным зажимом.

1. После выстрела пуля массой m и со скоростью υ застревает в пластилине и продолжает движение с цилиндром со скоростью u. На основании закона сохранения импульса имеем:

Читайте также: Кольцо цилиндра компрессора камаз

где υ — скорость пули до удара, L

u — скорость пули с цилиндром

после удара, M — масса цилиндра. Н

При отклонении маятника в край-

нее положение, его кинетическая S

энергия переходит в потенциальную. Рисунок 1

Из рисунка 1 (при L >> H и малом угле α ) можно найти

где S – горизонтальное перемещение цилиндра вдоль шкалы,

Решая совместно (1), (3), 4) и (5) найдем скорость пули:

Относительная погрешность определения скорости рассчитывается по формуле

Абсолютную погрешность определим:

Считая удар пули о пластилин в цилиндре центральным неупругим ударом, а систему неизолированной, можно записать на основании закона сохранения энергии

где A — энергия, затрачиваемая на деформацию тела, т.е. работа деформации. Решая совместно (1) и (8) найдем работу деформации

где υ — скорость пули, определяемая по формуле (6).

Абсолютную погрешность для работы деформации можно рассчитать по формуле

Порядок выполнения работы

1. Отметить на шкале положение стрелки при неподвижном цилиндре.

3. Произвести выстрел и отметить положение стрелки при максимальном отбросе цилиндра. Одновременно с помощью секундомера заметить время 10 полных колебаний. Опыт произвести не менее 5 раз. Результаты занести в таблицу.

4. Из 10 полных колебаний определить период маятника T = t/10 для каждого опыта.

5. Подсчитав S_ср, Т_ср определить среднюю скорость пули υ_ср. по формуле (6) и работу деформации A_ср по формуле (10). Рассчитать погрешности определения этих величин по формулам (7), (8) и (11).

6. Окончательный результат записать в виде

№ п/п	S_i [м]	DS=\|S_i-S_ср\| [м]	t_i (c)	T_i (c)	DT=\|T_i-T_ср\| (c)	υ_ср (м/c)	A (Дж)
1. 2. 3. 4. 5.
сумма
сред. знач.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте и запишите закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

2. Какая система называется изолированной ?

3. Что такое импульс тела, импульс силы ?

4. Напишите формулу механической работы.

5. Период колебаний математического маятника?

6. Виды деформаций. Закон Гука.

7. Закон изменения количества движения.

Теоретическое введение

Колебаниями называются процессы, характерной особенностью которых является повторяемость. Это могут быть качания маятников и сооружений, тепловые колебания ионов или молекул в узлах кристаллической решетки, и т.д. Колебания любой природы подчиняются общим законам. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания, происходящие по законам синуса или косинуса.

X = Asin(wt + j_o), или X = Acos(wt + j_o), (1)

гдеX- смещение от положения равновесия; t- время колебательного процесса; A- максимальное смещение от положения равновесия или амплитуда колебаний; wt+ j_o — фаза колебания; j_o — начальная фаза колебания.

За время равное периоду колебания (t=T) фаза изменяется на 2p. Периодом колебания Т называется длительность одного полного колебания. Величина n= 1/_Т показывающая, сколько раз в секунду повторяются колебания, называется частотой и измеряется в [Герцах]. Величина w = 2p/T показывающая, сколько раз за 2p секунд повторяется колебание, называется циклической частотой и измеряется в [ рад /_сек].

Причиной, вызывающей гармонические колебания, являются действия упругих или квазиупругих сил. Упругая сила определяется по закону Гука:

где к- коэффициент упругости (жесткости).

Второй закон Ньютона в этом случае имеет вид

F = ma = mdv/dt = md 2 x/dt 2 = — kх. (3)

Разделив обе части равенства на m получим выражение:

Обозначим k/m =w 2 , тогда d 2 x/dt 2 = — w 2 х или d 2 x/dt 2 + w 2 х = 0. Это есть динамическое уравнение колебаний пружинного маятника под действием упругих сил. Решением этого уравнения является уравнение:

Т.к. w=2p/Т, то период колебания пружинного маятника выражается формулой:

Отсюда коэффициент упругости (жесткости) пружинного маятника:

Изучим характеристики колебаний физического маятника. Физическим маятником является любое твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения, если ось вращения не проходит через центр масс тела.

По второму закону Ньютона для вращающегося тела:

Здесь J — статический момент инерции тела, e = d 2 j/dt 2 — угловое ускорение, М = Fr = — mgr = -mgLsinj -момент вращающей силы относительно оси вращения (скалярная величина числено равная произведению силы приложенной к телу на кратчайшее расстояние между осью вращения тела и вектором приложенной силы, считается, если тело вращается против часовой стрелки относительно оси вращения, то момент вращающей силы берется со знаком минус).

Тогда J(d 2 j/dt 2 ) = — mgLsinj, разделив обе части выражения на J и предположив, что sinj = j для малых углов, получим выражение динамического уравнения колебаний физического маятника:

Решением этого уравнения является функция:

Период колебания физического маятника вычисляется по формуле:

Отсюда статический момент инерции физического маятника, вращающегося относительно неподвижной оси вычисляется по формуле:

Порядок выполнения работы

1. На штативе укрепить пружину и подвесить к ней груз известной массой.(m = 1кг, ∆ m = 0,001кг)

2. Оттянув груз, возбудить малые колебания. С помощью секундомера определить время десяти полных колебаний и записать в таблицу. Измерения повторить не менее трех раз. Найти среднее значение времени.

3. Подсчитать период колебания: Т= t/N, где N- число колебаний.

4. По формуле определить коэффициент жесткости пружины.

5. Определить абсолютную погрешность измерений Dt, DT,

6. Определить относительную погрешность косвенного измерения коэффициента жесткости пружины по формуле:

7. Запишите результаты измерений в виде: m = (m ± Dm), t = (t_ср ± Dt_мах), K=(K_ср ± DK_мах), e_к.

№ п/п	t_i (c)	Dt_i =êt_i — t_ср êс	T_i (c)	DT_i =\|T_i— T_cp \|(c)	K (Н/м)
1. 2. 3. 4. 5.
Сумма
Среднее значение

1. Физический маятник (стержень) установить на опоре и вывести его из положения равновесия.

2. Измерить время 10 полных колебаний и записать в таблицу. Измерения производить не менее 5-ти раз, найти среднее значение.

3. Рассчитать значение периода Т=t/N, абсолютную погрешность DТ. N — количество колебаний

4. Измерить расстояние от точки подвеса до центра масс.

5. По формуле подсчитать момент инерции стержня.

6. Подсчитать абсолютную погрешность измерения момента инерции.

7. Определить относительную погрешность измерения момента инерции

8. Записать результат измерений в виде: e _J [%], J =(J_ср ± DJ).

№ п/п	t_i (с)	Dt_i(с)	Т_i(c)	DТ_i(c)	J (кг . м 2 )
Сумма
Ср.зн.

Контрольные вопросы

1. Основные виды колебаний.

2. Уравнение гармонических колебаний. Скорость и ускорение гармонических колебаний.

3. Сложение гармонических колебаний.

4. Энергия гармонических колебаний.

5. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс.

Теоретическое введение

Представим некоторое твердое тело массой m, которое может вращаться вокруг неподвижной оси. Разобьем его на отдельные бесконечно малые элементы с массами dm, вращающиеся около выбранной оси с общей для тела скоростью: w. Если расстояние от одного из таких элементов до оси вращения R_i то его кинетическая энергия:

W = dmv 2 /2 = dm(R_iw 2 /2 = dmR_i 2 w 2 /2.

Просуммировав энергии всех элементов, на которые было разбито тело, получим кинетическую энергию всего вращающегося тела

сумма произведений массы каждого элемента на квадрат его расстояния до оси вращения называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции является количественной мерой инертности вращающегося тела.

Читайте также: Причины не работы одного из цилиндров двигателя

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела определяется по формуле:

Расчет момента инерции по формуле (1) для тел правильной геометрической формы приводит к простым выражениям: для сплошного диска (маховика) с массой M_м и радиусом R_м

момент инерции маховика с кольцом будет равен сумме их моментов инерции:

Предположим, что на вращающееся около некоторой оси твердое тело с моментом инерции J действует постоянный момент M, который равен сумме моментов отдельных сил, действующих на тело. Под действием этого вращающегося момента твердое тело приобретает угловое ускорение e равное e = M/ J равенство М = J e (6) называют основным уравнением динамики вращательного движения.

Описание установки

Установка для определения момента инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, представляет собой металлический диск 1 радиуса R и массы M_м, который может вращаться вокруг неподвижной оси ОО / под действием падающего груза 3 массой m_г. Груз в виде гири подвешивается к нити, второй конец которой закреплен на втулке 2, вращающейся вместе с диском (см рис. 1) Для определения момента инерции несимметричных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии пользуются динамическим методом основанным на применении уравнения динамики

вращательного движения: J = M/e (7)

Cилами трения в подшипниках оси и

сопротивлением воздуха пренебречь.

Если F — сила, вызывающая вращение;

r — плечо (оно равно радиусу втулки,

на которую наматывается нить) , то

согласно второму закону Ньютона,

величина силы, вызывающей равноускоренное Рисунок 1

движение груза в данном случае, вращение диска) с ускорением a_t равна:

Считая нить нерастяжимой и исключая ее проскальзывание по шкиву, можно принять, что скорость и ускорение периферийных точек шкива равны по величине скорости и ускорению опускающегося груза. Тогда для случая равноускоренного падения груза:

где h — высота падающей гири, t — время падения.

Подставляя равенства (9 — 11) в (7) получим

По формуле (12) получим экспериментально момент инерции системы J.

Этот момент инерции можно определить и другим путем – складывая моменты инерции маховика и шкива

Порядок выполнения работы

1. C помощью штангенциркуля измерить диаметр d шкива, а с помощью линейки — диаметр D маховика 5 раз в разных местах и рассчитать значения r и R, и занести в таблицу.

2. Намотать нить на втулку (груз поднимется в верхнее положение). С помощью секундомера 5 раз измерить время t, в течении которого груз падает с высоты h. Полученные данные занести в таблицу.

Масса диска маховика M_м = 15,8 кг, масса шкива m_шк = 0,2 кг.

3. По формулам (12) и (13) определить средние значения момента инерции и сравнить их между собой.

4. Рассчитать абсолютную погрешность измерения момента инерции по формуле (14)

5. Рассчитать относительную погрешность определения момента инерции

6. Записать окончательные результаты: J = J _ср ± D J, r = r_ср ± Dr_max,

№ п/п	d_i (мм)	r_i (мм)	Dr = \|r_i-r_ср\| (мм)	D_i (мм)	R_i (мм)	DR=\|R_i-R_ср\| (мм)	t_i (с)	Dt=\|t_i-t_ср\| (с)	J кг м 2
1. 2. 3. 4. 5.
сумма
ср.зн.

Контрольные вопросы

1. Что такое линейная и угловая скорости? Какова связь между ними?

2. Что такое момент силы, момент инерции, момент импульса ?

3. Как определяются моменты инерции симметричных тел — шара, диска, цилиндра?

4. Основное уравнение динамики вращательного движения.

5. Закон сохранения и изменения моментов импульса.

Теоретическое введение

Молекулярно-кинетическая теория позволила получить формулы, связывающие макроскопические параметры газа (давление, объем, температура) с его микроскопическими параметрами ( размеры и масса молекулы, ее скорость, средняя длина свободного пробега молекул). Пользуясь этими формулами на основании измеренных параметров газа можно найти его микроскопические параметры.

Для нахождения средней длины свободного пробега можно воспользоваться формулой, выражающей зависимость коэффициента внутреннего трения газа η отλ и υ:

где: ρ — плотность газа, υ — средняя арифметическая скорость молекул газа равна:

здесь R= 8,31 Дж/моль∙К газовая постоянная, Т — абсолютная температура газа, М — молярная масса газа. Плотность ρ газа можно найти из уравнения Клапейрона-Менделеева.

здесь: Р- давление газа при данных условиях.

Коэффициент вязкости можно определить, пользуясь законом Пуазейля. Исходя из которого коэффициент вязкости газа η зависит от параметров капиллярной трубки, через которую проходит газ, и разности давлений ΔP, поддерживаемой на концах этой трубки, т.е.:

где: r — радиус, L — длина трубки, V — объем газа, проходящего через трубку за время τ, ΔP — разность давлений на концах трубки.

Подставляя выражения (4),(3) и (2) в формулу (1а), получим

Эффективный диаметр молекулы можно определить из формулы, выражающей зависимость средней длины свободного пробега молекулы от концентрации молекул n и эффективного диаметра молекулы d_эф

По основному уравнению молекулярно-кинетической теории газов

где:Р — давление газа (атмосферное давление); n — концентрация молекул

воздуха; k=1,38∙10 -23 Дж/K — постоянная Больцмана.

Для проведения измерения собираем установку состоящую из аспиратора, из него начнет выливаться вода, давление в нем понижается, через капилляр и осушительный фильтр в него засасывается воздух.

Вследствие внутреннего трения, давление на концах не одинаково, что фиксируем манометр. Объем прошедшего через капилляр воздух за время t равен объему вылившейся из аспиратора воды, которой измеряется мензуркой.

Порядок выполнения работы

1. Наполняют баллон аспиратора водой. Осторожно открывают кран аспиратора так, чтобы вода из него текла тонкой струей, давление в нем понижается, через капилляр и осушительный фильтр в него засасывается воздух. Через некоторое время установится стационарное течение и манометр покажет некоторую постоянную разность на концах трубки. Записывают показание манометра в таблицу и определяют разность делений:

здесь: ρ_жид — плотность жидкости в манометре, q- ускорение свободного падения, (h₂+ h₁) — разность высот столбов жидкости в манометре.

2. Подставляют под струю мензурку и замеряют время t с помощью секундомера, в течение которого вытекает объем жидкости 50 — 100 см 3 .

Объем прошедшего через капилляр воздуха за это время равен объему вылившейся из аспиратора воды.

3. Опыт повторяют еще два раза при различных истечениях воды.

Результаты заносят в таблицу.

4. По формулам (5) и (4) рассчитывают λ и η. По формуле (9) определяют d_эф.

5. Полученные результаты сравнивают с табличными значениями.

Таблица измерений

N n/n	P (Па)	Т (К)	h₁ (мм)	h₂ (мм)	DP (Па)	t (с)	V (м 3 )	h Па*с	l (м)	d_эф (м)
cр.

Контрольные вопросы

1. Основные положения МКТ и их опытное обоснование.

2. Основное уравнение МКТ газов.

3. Скорость молекул идеального газа.

4. Средняя длина свободного пробега молекул.

5. Внутреннее трение (вязкость) в газах. Коэффициент внутреннего трения.

Теоретическое введение

Внутренняя энергия одного моля идеального газа может быть выражена уравнением:

где: R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура, i — число степеней свободы.

Числом степеней свободы твердого тела называют число независимых координат, с помощью которых можно полностью описать его положение в пространстве. В общем случае молекула газа, рассматриваемая в виде жестко связанных атомов, может перемещаться в пространстве совершенно произвольно, т.е. участвовать в шести одновременных независимых движениях (рисунок 1) трех вращательных вокруг трех взаимно перпендикулярных осей ά, β, γ, проходящих через центр тяжести молекулы, и трех поступательных движений вдоль трех осей прямоугольной системы координат x, y, z. Таким образом в общем случае молекула газа может иметь шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Однако молекулы содержат различное число атомов, что и отражается на общем числе степеней свободы.

Читайте также: Замена внутреннего тормозного цилиндра ваз 2107

Частица одноатомного газа рас- z γ β

сматривается в виде материальной

точки. Поступательное движение та- α

кой точки определяется тремя коор-

динатами, а при ее вращении она не x

изменяет своего положения в прост- y Рисунок 1

ранстве. Следовательно, частица одноатомного газа имеет три поступательные степени свободы.

Двухатомную молекулу можно представить в виде двух жестко связанных между собой атомов (рисунок 3а). Такая молекула будет иметь три поступательные степени свободы и две вращательные вокруг двух осей β, γ перпендикулярных к линии связи между атомами. При вращении вокруг оси α совпадающей с линией связи, двухатомная молекула не меняет своего положения в пространстве. Таким образом двухатомная молекула имеет пять степеней свободы: три поступательных и две вращательных.

В трехатомной молекуле все атомы жестко связаны между собой (рисунок 3б). Такая молекула будет иметь шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Такое же число степеней свободы будет иметь и все молекулы с числом атомов больше трех. После этого отступления возвратимся вновь к рассматриваемому вопросу о внутренней энергии газа.

Приращение внутренней энергии газа ΔЕ при изменении его температуры на ∆Т в соответствии с равенством (1) примет вид:

Если идеальный газ нагревается при постоянном объеме, то вся подведенная теплота затрачивается на увеличение его внутренней энергии.

Отношение приращения внутренней энергии ΔЕ_µ к изменению температуры ΔТ, вызвавшему это приращение энергии, называют мольной теплоемкостью:

Вставляя в это равенство значение ΔЕ_µ из (2), получим:

Если идеальный газ нагревается при постоянном давлении, то в этом случае затрачивается дополнительное количество тепла, идущее на совершение работы при расширении газа. Следовательно мольная теплоемкость газа при постоянном давлении С_p будет больше его теплоемкости С_v на величину внешней работы А, т.е. C_p = C_v + A.

Величина А = Р ΔV = Р ( V_μ‘ — V_μ ), где: Р — давление, V_μ‘- мольный обьм газа после нагревания на один градус, V_μ— мольный обьем газа при температуре Т , т.е. при Т+1 = Т’.

По уравнению Клапейрона-Менделеева значения РV_μ и РV_μ‘ для температур Т и Т’ выразится так

Вставляя эти значения в выражение работы А, а затем в уравнение теплоемкости С_р получим

Выражение (4) называется уравнением Майера.

Отношение теплоемкостей γ=С_р/ С_ν в соответствии с равенствами (3) и (4) примет вид

Полученное соотношение теплоемкостей (5) в дальнейшем будет применено для сопоставления с результатами экспериментального измерения.

Порядок выполнения работы

1. Для экспериментального определения по рассмотренному методу поступают следующим образом. Открывают кран 3 и при закрытом кране 2 с помощью насоса медленно создают в сосуде давление до тех пор, пока уровень жидкости в левом колене манометра не достигнет определенного значения (120-140мм). После этого кран 3 закрывают и наблюдают за показанием манометра. Через некоторое время давление немного понизится, а затем стабилизируется. Теперь отсчитывают положение менисков жидкости в обоих коленах манометра и определяют давление по высоте столбов жидкости (разность их уровней) h₁ . Полученное значение h₁ заносят в таблицу.

2. Далее резко открывают на очень короткое время (пока слышен шум выходящего воздуха) кран 2 и тут же его закрывают. При открытии крана давление быстро спадает и жидкость в манометре, немного поколебавшись, установится на одном уровне. После того, как кран 2 закрыт, начинают наблюдение за манометром. Постепенно давление будет возрастать и наконец достигнет предельного значения. Величину этого давления определяют по установившейся разности уровня в обоих коленах манометра. Найденное значение h₂ заносят в таблицу.

3. Рассмотренный эксперимент по определению h₁ и h₂ повторяют 5 п.

Таблица измерений

N	h₁	h₂	γ	Δγ	γ ±Δγ	E , %
ср.зн.

Контрольные вопросы

1. Число степеней свободы. Чему равно это число у одноатомной, двухатомной и трехатомной молекул? Почему ?

2. Физический смысл универсальной газовой постоянной.

3. Как зависят теплоемкости многоатомных газов от температуры?

4. Внутренняя энергия газа.

Теоретическое введение

Для того, чтобы увеличить поверхность жидкости необходимо, чтобы часть молекул изнутри жидкости вышла на поверхность, на это перемещение против молекулярного давления должна быть затрачена некоторая работа. Работа, затрачиваемая на образование единицы поверхности, называется коэффициентом поверхностного натяжения.

Старое определение, встречающееся в литературе, предполагает, что поверхность жидкости как бы покрыта натянутой пленкой, в этом случае поверхностное натяжение определяют как силу, с которой натянута пленка, отнесенную к единице длины.

Вследствие существования поверхностного натяжения всякая кривая поверхность жидкости испытывает некоторое дополнительное давление оказываемое на жидкость.

Для сферической поверхности это давление равно

где: σ- поверхностное натяжение, R- радиус кривизны поверхности. Пусть через трубку небольшого диаметра, погруженную одним концом в жидкость на малую глубину, продавливают воздух в виде пузырьков. Конец трубки помещают непосредственно над поверхностью жидкости, чтобы избежать дополнительного сопротивления продавливанию воздуха, обусловленного гидростатическим давлением столба жидкости, находящегося под концом трубки.

Когда на конце трубки f касающейся поверхности жидкости, начинает образовываться пузырек воздуха С ‘ , и радиус становится R больше радиуса трубки r. В этот момент давление воздуха внутри трубки превышает внешнее давление, согласно формуле (1), на величину :∆Р=2σ/R.

По мере увеличения давления внутри трубки пузырек увеличивается, а радиус его уменьшается, что влечет за собой увеличение дополнительного давления, оказываемого кривой поверхностью жидкости, уравновешивающего давление внутри трубки f.

Этот процесс происходит до тех пор, пока радиус пузырька C » не сделается равным радиусу трубки r. Дополнительное давление, обусловленное кривой поверхностью жидкости начинает уменьшатся, перестает уравновешивать избыточное давление внутри трубки. Таким образом пузырек под действием избыточной силы внутри трубки f увеличивается в размере до тех пор, пока не оторвется от конца трубки. Избыточное давление, при котором произойдет отрыв пузырька воздуха от трубки f, будет превосходить на бесконечно малую величину дополнительное давление, рассчитанное по формуле (1), где r следует положить равным радиусу трубки. Таким образом, избыточное ( по отношению к внешнему ) давление, при котором отрывается пузырек воздуха, будет пропорционально поверхностному натяжению

где величина А постоянная для данной трубки. Постоянная прибора должна быть найдена из опыта, если определить давление, при котором происходит отрыв пузырька при продавливании воздуха через жидкость с известным поверхностным натяжением ( например че