Вычислить момент инерции однородного цилиндра (7 видео)

Содержание

Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач
Что такое инерция
Определение момента инерции
Теорема Штейнера
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Вычисление моментов инерции
Определение момента инерции цилиндра и коэффициента трения качения
d h = r d j = Rcos j d j, где r = Rcosj
🎥 Видео

Видео:Расчет момента инерции цилиндраСкачать

Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Видео:Урок 94. Вычисление моментов инерции телСкачать

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Видео:Расчёт момента инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции однородного стержняСкачать

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Видео:13. Вычисление момента инерцииСкачать

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Видео:2 а Моменты инерции сферы и шараСкачать

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Читайте также: Рабочий цилиндр сцепления ваз 21011

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Видео:Найти момент инерции тонкого однородного стержня: Волькенштейн 3.5Скачать

Вычисление моментов инерции

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

Для момента инерции можно написать I_A = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера I_A = I_C + m(l/2) 2 . Величину I_C можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, I_C = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

откуда k = 1/3. В результате находим

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

где R – радиус кольца. Ввиду симметрии I_X = I_У.

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dI_z = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Читайте также: Чугунный блок цилиндров ваз

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии I_X = I_Y = I_Z = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

Видео:Момент инерцииСкачать

Определение момента инерции цилиндра и коэффициента трения качения

Определение момента инерции цилиндра

и коэффициента трения качения

Экспериментальное определение момента инерции цилиндра и шара, сравнения момента инерции, полученных экспериментально и теоретически.

А. Момент инерции материальной точки определяется произведением ее массы на квадрат радиуса вращения:

У реального тела разные точки находятся на различном расстоянии от оси вращения, поэтому все моменты инерции материальных точек суммируются:

где dm – масса бесконечно малого элемента твердого тела.

Т. к. m = rV, где r — плотность вещества, V — объем тела, то dm = r×dV, где dV — объем элемента тела.

Тогда формула (2) примет вид:

В качестве примера рассмотрим вывод момента инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 1).

Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r.

DV = в×2prdr, где в – толщина диска.

Наконец, введя массу диска m, равную произведению плотности r на объем диска вp R2, получим:

В случае если ось (0¢0¢) перпендикулярна к диску, но проходит через его край (рис. 1), момент инерции определяется путем использования теоремы Штейнера. Теорема Штейнера формулируется следующим образом: момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведению массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Так, как, аd = R, то (7)

Выведем моменты инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр. Для определения момента инерции шара относительно центральной оси O разобьем его на множественные элементарные диски (толщиной dh), параллельные плоскости XOУ (рис. 2).

d h = r d j = Rcos j d j, где r = Rcosj

Масса элементарного диска радиусом r, равна:

Момент инерции элементарного диска радиуса r и массой dm относительно оси О равен:

Момент инерции относительно оси О получаем, суммируя моменты инерции элементарных дисков и переходя к пределу суммы от О до (для полусферы).

Для сферы момент инерции равен

Объем сферы тогда

Формула (12) определяет момент инерции шара (сферы) при его вращении вокруг центра массы. Если шар вращается вокруг оси, не проходящей через центр массы, то его момент инерции определяется по теореме Штейнера (5).

Б. Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси с угловой скоростью w, равна

Если тело, вращаясь, еще и движется поступательно, (плоское движение), то его кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

Определение момента инерции шара в данной работе производится по времени скатывания шара с наклонной плоскости (рис. 3).

В верхней точке А наклонной плоскости кинетическая энергия шара равна нулю, потенциальная энергия равна mgh. В нижней точке (В) наклонной плоскости потенциальная энергия шара равна нулю, кинетическая энергия

Кроме того, часть энергии уходит на работу против сил трения

где m — коэффициент трения, l — длина наклонной плоскости, j — угол при основании наклонной плоскости. Т. к. этот угол невелик, то с погрешностью, не превышающей 5%, можно считать cosj=I, тогда

По закону сохранения энергии

При отсутствии скольжения угловая скорость связана с линейным соотношением: w = , где R — радиус вращения (радиус шара; цилиндра).