Вычислить объем цилиндра ограниченного плоскостями

Найти чему равен объём полого цилиндра (V_ст) можно зная (либо-либо):

• Высоту цилиндра h, внешний радиус r₁ и внутренний радиус r₂
• Высоту цилиндра h, внешний диаметр d₁ и внутренний диаметр d₂
• Высоту цилиндра h, внешний радиус r₁ и толщину стенки δ
• Высоту цилиндра h, внутренний радиус r₂ и толщину стенки δ
• Высоту цилиндра h, внешний диаметр d₁ и толщину стенки δ
• Высоту цилиндра h, внутренний диаметр d₂ и толщину стенки δ

Зная оба радиуса (диаметра)

Чему равен объём стенки цилиндра V_ст если:

Внешний =
Внутренний =
Высота цилиндра h =
Ответ: V_ст =

Зная толщину стенки

Чему равен объём стенки цилиндра V_ст если:

=
Толщина стенки δ =
Высота цилиндра h =
Ответ: V_ст =

Видео:Пересечение двух цилиндров: объем и площадь поверхности через двойной интегралСкачать

Теория

Чему равен объём полого цилиндра V_ст если:

Формулы

Через радиусы или диаметры цилиндра

V_ст = π ⋅ (r₁² — r₂²) ⋅ h , где r₁ — внешний радиус, r₂ — внутренний радиус , а h — высота

Через толщину стенки цилиндра

V_ст = π ⋅ (d₂ ⋅ δ + δ²) ⋅ h , где δ — толщина стенки цилиндра, d₂ — внутренний диаметр, а h — высота

V_ст = π ⋅ ((d₁ — 2 ⋅ δ) ⋅ δ + δ²) ⋅ h , где δ — толщина стенки цилиндра, d₁ — внешний диаметр, а h — высота

V_ст = π ⋅ (2 ⋅ r₂ ⋅ δ + δ²) ⋅ h , где δ — толщина стенки цилиндра, r₂ — внутренний радиус, а h — высота

V_ст = π ⋅ ((2 ⋅ r₁ — 2 ⋅ δ) ⋅ δ + δ²) ⋅ h , где δ — толщина стенки цилиндра, r₁ — внешний радиус, а h — высота

Пример №1

К примеру, посчитаем каков объём металла в трубе, если её длинна 3 метра, внешний диаметр d₁=5 см, а внутренний d₂=4.5 см?

V_ст = 3.14 ⋅ (( 5 /₂)² — ( 4.5 /₂)²) ⋅ 300 = 3.14 ⋅ (6.25 — 5.0625) ⋅ 300 ≈ 1119 см³

Пример №2

Теперь посчитаем объём металла в этой же 3-х метровой трубе, но возьмём внутренний радиус r₂ = 2.25 см и толщину стенки δ = 0.25 см (при этом у нас должен получится тот же ответ, что и в предыдущем примере):

V_ст = 3.14 ⋅ (2 ⋅ 2.25 ⋅ 0.25 + 0.25²) ⋅ 300 = 3.14 ⋅ 1.1875 ⋅ 300 ≈ 1119 см³

Видео:Объем параболоида: тройной интеграл в цилиндрической системе координатСкачать

Объем цилиндра

Объем цилиндра, формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра и площади его поверхностей, а также необходимая теория о характеристиках цилиндра.

Видео:Объем через двойной интегралСкачать

Объем правильного цилиндра через радиус и высоту цилиндра

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндраСкачать

Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через площадь основания и высоту цилиндра

Видео:11 класс, 32 урок, Объем цилиндраСкачать

Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через диаметр основания

Видео:Объём цилиндраСкачать

Объем цилиндрической полости

Объем полости в виде цилиндра равен объему цилиндра, который извлечен из данной полости для ее образования. То есть для вычисления цилиндрической полости можно воспользоваться формулами и калькулятором для расчета простого правильного цилиндра в зависимости от известных исходных данных.

Читайте также: Размер цилиндра мото урал

На картинке продемонстрирована цилиндрическая полость, образованная в теле путем извлечения из него цилиндра. Объем извлеченного цилиндра и объем образованной полости равны.

Нужно отметить один важный момент. Несмотря на равенство объемов извлеченного цилиндра и образованной полости, площади поверхностей данных объектов будут отличаться, так как у образованной цилиндрической полости отсутствует верхняя поверхность. То есть суммарная площадь поверхности образованной цилиндрической полости будет меньше суммарной площади извлеченного цилиндра на одну площадь основания цилиндра.

Правильный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра равен 90 градусов.

Неправильный или наклонный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра отличается от 90 градусов.

Рассмотрим правильный цилиндр.

Цилиндр – это тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Тело цилиндра ограничено двумя кругами, называемыми основанием цилиндра и боковой цилиндрической поверхностью, которая в развертке представляет собой прямоугольник

Цилиндр можно так же описать как тело, состоящее из двух равных кругов, не лежащих в одной плоскости и параллельных между собой, и отрезков, соединяющих все точки одной окружности, с соответствующими точками другой окружности. Данные отрезки называются образующими цилиндра.

Радиус основания цилиндра, является радиусом цилиндра.

Ось цилиндра – это прямая, соединяющая центра оснований цилиндра.

Высота цилиндра – это перпендикуляр, опущенный от одного основания цилиндра к другому.

Видео:Объем через тройной интегралСкачать

Поверхности цилиндра

Наружную поверхность цилиндра можно условно разделить на три отдельные поверхности: верхняя, нижняя и боковая.

Верхняя и нижняя поверхности цилиндра имеют форму круга и равны между собой.

Боковая поверхность цилиндра имеет форму прямоугольника. Чтобы это наглядно представить, возьмем боковую наружную поверхность цилиндра и мысленно сделаем вертикальный разрез по образующей цилиндра. Далее развернем поверхность на плоскость. В результате увидим, что боковая поверхность имеет форму прямоугольника (см. на картинке).

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Сечения цилиндра

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом в 90 градусов, всегда получатся прямоугольная фигура .

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом отличным от 90 градусов, получатся фигура, похожая на прямоугольник , но две боковые стороны которого будут являться кривыми линиями.

Если секущая поверхность проходит параллельно основаниям цилиндра, то сечением будет круг .

Если секущая поверхность проходит через боковую поверхность, но при этом не параллельна основанию цилиндра, то в сечении получается эллипс .

Если секущая поверхность проходит через одно основание цилиндра и боковую поверхность, то в сечение будет фигура в виде половины эллипса .

Видео:Цилиндрическая система координат(ЦСК).Тройной интегралСкачать

Что такое объем

Объем тела (геометрической фигуры) – это количественная характеристика, характеризующая количество пространства, занимаемого телом. Объем выражается в кубических единицах измерения, например: мм 3 , см 3 , мл 3 .

Формула вычисления объема цилиндра часто применяются при расчете массы различных цилиндров, например, прутков, заготовок и т.п. Для вычисления массы, необходимо вычисленный объем цилиндра умножить на плотность материала из которого цилиндр.

Так же, вычислить объём цилиндра иногда требуется для определения полости в виде цилиндра (цилиндрическая полость). В данном случае объём полости будет равен объёму цилиндра, который полностью занимает эту полость.

Объем и площадь других видов цилиндров рассмотрен в статьях:

Видео:2334. Вычисление объёма двойным интегралом.Скачать

Как найти объем цилиндра: формула через диаметр и высоту

Видео:Вычисление объёма цилиндраСкачать

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Видео:11 класс, 33 урок, Вычисление объемов тел с помощью определённого интегралаСкачать

Объем цилиндра формула (через радиус основания и высоту)

r — радиус основания цилиндра,

Если внимательно посмотреть на эту формулу, то можно заметить, что

— это формула площади круга, а в нашем случае — площадь основания. Поэтому формулу объема цилиндра можно записать через площадь основания и высоту:

Читайте также: Цилиндр для нанесения краски 5 букв

Зная радиус r и высоту h

Чему равен объем цилиндра V если известны его радиус r и высота h?

Формула

Пример

Если цилиндр имеет высоту h = 8 см, а его радиус r = 2 см, то:

V = 3.14156 ⋅ 2 2 ⋅ 8 = 3.14156 ⋅ 32 = 100.53 см 3

Зная диаметр d и высоту h

Чему равен объем цилиндра V если известны его диаметр d и высота h?

Формула

Пример

Если цилиндр имеет высоту h = 5 см, а его диаметр d = 1 см, то:

V = 3.14156 ⋅ ( 1 /₂) 2 ⋅ 5 = 3.14156 ⋅ 1.25 ≈ 3.927 см 3

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Формула вычисления объема цилиндра

1. Через площадь основания и высоту

Объем (V) цилиндра равняется произведению его высоты и площади основания.

2. Через радиус основания и высоту

Как мы знаем, в качестве оснований цилиндра (равны между собой) выступает круг, площадь которого вычисляется так: S = π ⋅ R 2 . Следовательно, формулу для вычисления объема цилиндра можно представить в виде:

V = π ⋅ R 2 ⋅ H

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

3. Через диаметр основания и высоту

Как нам известно, диаметр круга равняется двум его радиусам: d = 2R. А значит, вычислить объем цилиндра можно следующим образом:

V = π ⋅ (d/2) 2 ⋅ H

Видео:Объем цилиндра. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Введите радиус основания и высоту цилиндра

Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.

, где R – радиус оснований, h – высота цилиндра

Видео:Объем цилиндраСкачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем цилиндра, если дана площадь его основания – 78,5 см 2 , а также, высота – 10 см.

Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее известные значения:
V = 78,5 см 2 ⋅ 10 см = 785 см 3 .

Задание 2
Высота цилиндра равна 6 см, а его диаметр – 8 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользовавшись третьей формулой, в которой участвует диаметр, получаем:
V = 3,14 ⋅ (8/2 см) 2 ⋅ 6 см = 301,44 см 3 .

Видео:Математический анализ, 44 урок, Тройной интегралСкачать

Поэтапный расчет объема картонной коробки

Измерить длину а и ширину b, если дно коробки квадратное, то а=b; Измерить высоту h как расстояние от нижнего до верхнего клапана коробки.

Сначала нужно рассчитать внутренний объем коробки, необходимый для размещения груза. Габаритные размеры груза должны быть на 5–10 мм меньше, чем внутренние размеры гофроупаковки.

V=a*b*h
где a – длина основания (м), b – ширина основания (м),
h – высота коробки (м).

V=S*h
где S — площадь основания коробки, а h — ее высота.

Объем, занимаемый заготовкой (коробкой) (с учетом толщины стенок) рассчитывается для правильного размещения внутри транспортного средства или хранения на складе.
Формула для расчета занимаемого объема:

V=Площадь (S) * толщину листа

*как рассчитать площадь (S) картонной коробки — в этой статье

Перемножив полученные значения, получим объем коробки в кубических метрах. Чтобы получить результат в литрах необходимо полученное значение в м 3 умножить на 1000.

Видео:Геометрия 11 класс: Объем призмы и цилиндра. ВидеоурокСкачать

Подсчет объема коробки в литрах

При транспортировке мелких или сыпучих товаров их также пакуют в ящики. Учитывая, что такие предметы и материалы занимают весь объем тары, нужно знать их количество в литрах. Если Вы интересуетесь, как посчитать объем короба в литрах, определяйте литраж следующим образом:

находим кубатуру V=a*b*h =0,3*0,25*0,15=0,0112 м 3 ;

зная равенство: 1 м 3 = 1000 л, переводим полученное значение в литры: V=0,0112 *1000=1,2 л.

Читайте также: Болт цилиндра сцепления нексия

Видео:Объем цилиндра.Скачать

Объем цилиндрической полости

Объем полости в виде цилиндра равен объему цилиндра, который извлечен из данной полости для ее образования. То есть для вычисления цилиндрической полости можно воспользоваться формулами и калькулятором для расчета простого правильного цилиндра в зависимости от известных исходных данных.

На картинке продемонстрирована цилиндрическая полость, образованная в теле путем извлечения из него цилиндра. Объем извлеченного цилиндра и объем образованной полости равны.

Нужно отметить один важный момент. Несмотря на равенство объемов извлеченного цилиндра и образованной полости, площади поверхностей данных объектов будут отличаться, так как у образованной цилиндрической полости отсутствует верхняя поверхность. То есть суммарная площадь поверхности образованной цилиндрической полости будет меньше суммарной площади извлеченного цилиндра на одну площадь основания цилиндра.

Цилиндр может быть правильным или наклонным

Правильный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра равен 90 градусов.

Неправильный или наклонный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра отличается от 90 градусов.

Рассмотрим правильный цилиндр.

Цилиндр – это тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Тело цилиндра ограничено двумя кругами, называемыми основанием цилиндра и боковой цилиндрической поверхностью, которая в развертке представляет собой прямоугольник

Цилиндр можно так же описать как тело, состоящее из двух равных кругов, не лежащих в одной плоскости и параллельных между собой, и отрезков, соединяющих все точки одной окружности, с соответствующими точками другой окружности. Данные отрезки называются образующими цилиндра.

Радиус основания цилиндра, является радиусом цилиндра.

Ось цилиндра – это прямая, соединяющая центра оснований цилиндра.

Высота цилиндра – это перпендикуляр, опущенный от одного основания цилиндра к другому.

Видео:Вычисление площадей и объемов с помощью определённого интегралаСкачать

Объем прямого цилиндра

Цилиндр – это геометрическое тело, которое сформировано вращением прямоугольника на оси, совпадающей с одним из его сторон. Слово «цилиндр» происходит от греческого слова «kylindros».

Объем цилиндра через площадь основания и высоту цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади основания цилиндра на его высоту.

где:
V – объем цилиндра
H – высота цилиндра
S – площадь цилиндра

Видео:Площадь сферы внутри цилиндра. Поверхностный интегралСкачать

Поверхности цилиндра

Наружную поверхность цилиндра можно условно разделить на три отдельные поверхности: верхняя, нижняя и боковая.

Верхняя и нижняя поверхности цилиндра имеют форму круга и равны между собой.

Боковая поверхность цилиндра имеет форму прямоугольника. Чтобы это наглядно представить, возьмем боковую наружную поверхность цилиндра и мысленно сделаем вертикальный разрез по образующей цилиндра. Далее развернем поверхность на плоскость. В результате увидим, что боковая поверхность имеет форму прямоугольника (см. на картинке).

Сечения цилиндра

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом в 90 градусов, всегда получатся прямоугольная фигура

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом отличным от 90 градусов, получатся фигура, похожая на прямоугольник , но две боковые стороны которого будут являться кривыми линиями.

Если секущая поверхность проходит параллельно основаниям цилиндра, то сечением будет круг

Если секущая поверхность проходит через боковую поверхность, но при этом не параллельна основанию цилиндра, то в сечении получается эллипс

Если секущая поверхность проходит через одно основание цилиндра и боковую поверхность, то в сечение будет фигура в виде половины эллипса

Как рассчитать объем цилиндра с помощью калькулятора

Калькулятор позволяет определить объем цилиндра по одному из 3 вариантов:

1. площадь основания и высота цилиндра;
2. радиус основания и высота цилиндра;
3. диаметр основания и высота цилиндра.

Выберите соответствующий шаг и введите исходные данные в соответствующие поля.

Также важно указать единицы измерения по условиям задачи.

Расчеты будут выполнены автоматически и конвертированы в основные метрические физические величины объема.