Вычислить площадь части поверхности параболоида вырезанной цилиндром (2 видео)

Содержание

Вычислить площадь части поверхности параболоида, вырезанной цилиндром
Решение
Вычислить площадь части поверхности параболоида вырезанной цилиндром
Найти площадь части поверхности, вырезанной поверхностями
Вычисление площади поверхности
🔍 Видео

Видео:Площадь сферы внутри цилиндра. Поверхностный интегралСкачать

Вычислить площадь части поверхности параболоида, вырезанной цилиндром

Вычислить площадь части поверхности параболоида , вырезанной цилиндром

Посчитать с помощью двойного интеграла. Можете не считать площадь, а только пределы интеграла написать.

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Вычислить площадь части поверхности, вырезанной другими поверхностями
Доброго времени суток! Помогите дорешать задачу, сам никак не пойму каким образом найти области.

Вычислить площадь части поверхности параболоида
вычислить площадь части поверхности параболоида 2y= ^ + ^ вырезанной цилиндром.

Найти площадь части поверхности параболоида
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста , составить правильную формулу интеграла исходя из следующей.

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Решение

Найти площадь поверхности, ограниченной цилиндром
Помогите пожалуйста разобраться с задачей Найти площадь поверхности a*z=x*y, ограниченной.

Вычислить площадь части поверхности
Вычислить площадь части поверхности \sigma , заключёную в внутри цилиндрической поверхности Ц.

Вычислить площадь части поверхности
Вычислить площадь части поверхности z=\frac xy расположенной внутри поверхности .

Вычислить площадь части поверхности
Вычислить площадь части поверхности, уравнений которой задано в условии задач первым, вырезанной.

Видео:Пересечение двух цилиндров: объем и площадь поверхности через двойной интегралСкачать

Вычислить площадь части поверхности параболоида вырезанной цилиндром

Площадь поверхности Ω , заданной уравнением z = f ( x , y )
вычисляется по формуле:

где D − ортогональная проекция области Ω на плоскость OXY

ПРИМЕР 1. Найти площадь части Ω сферы x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , заключенной
внутри прямого кругового цилиндра x 2 + y 2 = b 2 , b ≤ a

Из симметрии относительно плоскости ОХY для нахождения искомой
площади поверхности достаточно вычислить площадь ее части Ω₁ , лежащей
выше плоскости ОХY , и удвоить полученное значение.

Здесь D – проекция рассматриваемой поверхности на плоскость ОХY , т.е. круг
радиуса b с центром в начале координат, который вырезает на плоскости ОХY
цилиндр x 2 + y 2 = b 2 . Двойной интеграл был вычислен с помощью перехода к
полярным координатам.

Замечание. Строго говоря, область D в примере 1 не удовлетворяет условиям, накладываемым на области при переходе к полярным координатам, а именно, она содержит начало координат (см. рис. 16). Тем не менее, полученный в примере 1 результат остается справедливым. Для его обоснования следовало бы вырезать из области D некоторую малую окрестность точки (0,0), например круг радиуса ε с центром в этой точке, а затем провести предельный переход при ε→ 0.

Читайте также: Цилиндр рисунок в тетради

− так называемые гауссовские коэффициенты поверхности Ω .

Видео:Объем параболоида: тройной интеграл в цилиндрической системе координатСкачать

Найти площадь части поверхности, вырезанной поверхностями

Найти площадь части поверхности , вырезанной поверхностями , , .

Мне бы только рисунок и найти пределы интегрирования, а то пространственного представления совсем нет. И специальной программы для построения графиков также нет возможности установить. Возможно там следует перейти к какой-то другой системе координат, но точно не знаю.

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Вычислить площадь части поверхности параболоида, вырезанной цилиндром
Вычислить площадь части поверхности параболоида ^ + ^ = , вырезанной цилиндром .

Найти площадь части поверхности
Здравствуйте! Задали две задачи мне а вот решить не выходит! Не могу проинтегрировать. В 4 дохожу.

Найти площадь части поверхности
Найти площадь части поверхности z=x^2+y^2, расположенной внутри однополостного гиперболоида.

vetvet, а причом здесь частные производные?? мы на занятиях их не использовали.

Добавлено через 1 час 24 минуты
vetvet, почему такая подынтегральная функция.

Найти площадь части поверхности
Задача: найти площадь части поверхности 3x+y+5z=5 вырезанной плоскостями x=0, y=0, z=0 в 1-ом.

Найти площадь части поверхности
Найти площадь части поверхности S: z=x^2-у^2, вырезанную поверхностями х^2+у^2=1, |x|=|y| .

Найти площадь части поверхности параболоида
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста , составить правильную формулу интеграла исходя из следующей.

Видео:Нахождение площади боковой поверхности цилиндраСкачать

Вычисление площади поверхности

Практическое занятие № 15

«Решение задач на приложение двойных интегралов»

1. Цель:Выработать навыки и умения в решении задач на приложение двойных интегралов в геометрии»

Краткие теоретические сведения

Вычисление площади плоской фигуры

Площадь S плоской области D в прямоугольных координатах вычисляется по формуле:

Пример. Вычислить площадь области, ограниченной линиями и у = х + 6.

Решение: Найдем точки пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:

Решением будет пара значений (-3; 9) и (-2; 4) — координаты точек пересечения графиков

Область D запишем в виде системы неравенств

Согласно формуле (1), получим

Вычисление объема тела

Читайте также: Чем проверить компрессию в цилиндрах двигателя ваз

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у), снизу плоскостью z = 0 и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости xOy (z = 0) область D , вычисляется по формуле

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 2x+1, x= 0, у = 4,

Решение:Тело, ограниченное заданными поверхностями, представляет собой вертикальный параболический цилиндр, расположенный в I октанте. Сверху тело ограничено плоскостью z = 2x+1, сбоку параболическим цилиндром у =x и плоскостями х = 0 и у = 4, снизу

параболой у =x и прямыми х = 0 и у = 4. Найдем точки пересечения параболы у =x и прямой у = 4:

Получаем два решения: (-2; 4) и (2; 4). Значение не рассматриваем, т.к. цилиндр расположен в I октанте. Область D запишем в виде системы неравенств 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 4. Согласно формуле (3), получим

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Решение: Данное тело есть прямой круговой цилиндр, ограниченный сверху плоскостью

, а снизу — кругом в плоскости z=0. Область D в основании цилиндра запишем в виде системы неравенств

Согласно формуле (3), получим

Первый интеграл табличный и равен:

Второй интеграл вычисляется подстановкой ;следовательно, второй интеграл равен:

Вычисление площади поверхности

Если поверхность задана уравнением z=f(x, у) и проектируется в область D плоскости хОу (z = 0), то площадь S поверхности вычисляется по формуле

Если поверхность проектируется на плоскость yOz (x = 0), то уравнение поверхности следует решить относительно переменной х и формула примет вид

Если поверхность проектируется на плоскость хОу(у = 0), то уравнение поверхности следует решить относительно переменной у и формула примет вид

Пример.Вычислить площадь треугольника, образованного при пересечении плоскости

x + 3y + 2z = 6 с координатными плоскостями.

Решение: найдем отрезки, отсекаемые на координатных осях данной плоскостью:

Чтобы воспользоваться формулой (4), решим уравнение данной плоскости относительно переменной z и найдем частные производные:

При z = 0 имеем х + 3у = 6, откуда ; следовательно, в плоскости z = 0 область D запишется в виде системы неравенств

Пример. Вычислить площадь части поверхности цилиндра , заключенной между плоскостями z = 0, z = 4x, y = 0.

Решение: искомая поверхность лежит в I октанте. Проекция поверхности на плоскость xOz (у = 0) есть прямоугольный треугольник, в котором ОА=х = 4 и уравнение гипотенузы OВ имеет вид z = 4x. Следовательно, область D в плоскости xOz определяется системой неравенств 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 4x

Читайте также: Блок цилиндров для мпв

Поскольку заданная поверхность спроектирована на плоскость xOz, для вычисления площади поверхности применим формулу (6). Из уравнения цилиндра получим

Находим частные производные:

Тогда Для вычисления последнего интеграла применили подстановку .

Пример. Вычислить площадь части поверхности цилиндра , вырезанной цилиндром .

Решение:искомая поверхность образована пересечением двух цилиндров и . В эти уравнения поверхностей входят квадраты переменных, поэтому искомая поверхность симметрична относительно каждой из координатных плоскостей и для вычисления рассмотрим 1/8 ее часть, лежащую в I октанте.

Область интегрирования D представляет собой 1/4 часть круга , заключенного между положительными полуосями Ох и Оу, и определяется системой неравенств

Из уравнения имеем . Далее, находим частные производные

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ;

2. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

3. Вычислите площадь части поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой и прямой ;

2. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

3. Вычислите площадь части поверхности цилиндра у = х 2 + 2, ограниченного плоскостями

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

2. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

3. Вычислите площадь части поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями z = 0, z = 8;

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

2. Вычислите объем тела, ограниченного

3. Вычислите площадь части поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями z = 0, z = 2x, y = 0, x = 0.

1. Назовите формулу для вычисления площади плоской фигуры;

2. Как найти объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у), снизу плоскостью z = 0 и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости xOy (z = 0) область D?

3. По какой формуле вычисляется площадь S поверхности, если поверхность задана уравнением

z=f(x, у) и проектируется в область D плоскости хОу (z = 0)?

5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов

5.7 Ответы на контрольные вопросы

1. Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах: Учебное пособие — М. Новая волна, 2005, 2 кн., с. 453-457;

2. Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие — М. Высшая школа, 2003, с.375-381;