Вычислить площадь поверхности конуса расположенного внутри цилиндра (5 видео)

Содержание

Вычислить площадь поверхности конуса расположенного внутри цилиндра
Вычисление площади поверхности
Вычисление площади поверхности
Далее:
Вычислить площадь части поверхности параболоида, вырезанной цилиндром
Решение
Найти площадь части поверхности, расположенной внутри цилиндра
Вычисление площади поверхности
📸 Видео

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Вычислить площадь поверхности конуса расположенного внутри цилиндра

Площадь поверхности Ω , заданной уравнением z = f ( x , y )
вычисляется по формуле:

где D − ортогональная проекция области Ω на плоскость OXY

ПРИМЕР 1. Найти площадь части Ω сферы x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , заключенной
внутри прямого кругового цилиндра x 2 + y 2 = b 2 , b ≤ a

Из симметрии относительно плоскости ОХY для нахождения искомой
площади поверхности достаточно вычислить площадь ее части Ω₁ , лежащей
выше плоскости ОХY , и удвоить полученное значение.

Здесь D – проекция рассматриваемой поверхности на плоскость ОХY , т.е. круг
радиуса b с центром в начале координат, который вырезает на плоскости ОХY
цилиндр x 2 + y 2 = b 2 . Двойной интеграл был вычислен с помощью перехода к
полярным координатам.

Замечание. Строго говоря, область D в примере 1 не удовлетворяет условиям, накладываемым на области при переходе к полярным координатам, а именно, она содержит начало координат (см. рис. 16). Тем не менее, полученный в примере 1 результат остается справедливым. Для его обоснования следовало бы вырезать из области D некоторую малую окрестность точки (0,0), например круг радиуса ε с центром в этой точке, а затем провести предельный переход при ε→ 0.

− так называемые гауссовские коэффициенты поверхности Ω .

Видео:11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конусаСкачать

Вычисление площади поверхности

Видео:Площадь сферы внутри цилиндра. Поверхностный интегралСкачать

Вычисление площади поверхности

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность $\sigma $, однозначно проектирующаяся в область $\mathbf > $ на плоскости $\mathbf > $. Пусть эта поверхность задаётся уравнением $\sigma :\;z=f(x,y),\;(x,y)\in D$. Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром $\mathbf > ^ +\mathbf > ^ $ = 2$\mathbf > $ из сферы $\mathbf > ^ +\mathbf > ^ +\mathbf > ^ $ = 4$\mathbf > ^ $ .

Область $\mathbf > $ — сдвинутый на $\mathbf > $ единиц по оси $\mathbf > $ круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей $\mathbf > $ и $\mathbf > $:

Вычислить площадь cферы радиуса (a.)

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид $ + + = > \;\; \;\;z = \sqrt — — > . > $

Очевидно, область интегрирования (R) представляет собой круг с таким же радиусом (a,) расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле $ \normalsize > > = \iint\limits_R > > >\right) > ^2 > + > > >\right) > ^2 > > dxdy > .$

Читайте также: Цилиндр подъема кузова газ саз 3507

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна $S = 2 \normalsize > > = 4\pi .$

Вычисление площадей плоских областей

Определение двойного интеграла

Специальные векторные поля

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Вычисление объёмов

Определение криволинейного интеграла второго рода

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Поверхностный интеграл второго рода и его свойства

Критерий полноты . Лемма о нелинейной функции

Частные случаи векторных полей

Критерий полноты . Лемма о немонотонной функции

Вычисление двойного интеграла

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Огравление $\Rightarrow $

Видео:Пересечение двух цилиндров: объем и площадь поверхности через двойной интегралСкачать

Вычислить площадь части поверхности параболоида, вырезанной цилиндром

Вычислить площадь части поверхности параболоида , вырезанной цилиндром

Посчитать с помощью двойного интеграла. Можете не считать площадь, а только пределы интеграла написать.

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Вычислить площадь части поверхности, вырезанной другими поверхностями
Доброго времени суток! Помогите дорешать задачу, сам никак не пойму каким образом найти области.

Вычислить площадь части поверхности параболоида
вычислить площадь части поверхности параболоида 2y= ^ + ^ вырезанной цилиндром.

Найти площадь части поверхности параболоида
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста , составить правильную формулу интеграла исходя из следующей.

Видео:62. Площадь поверхности конусаСкачать

Решение

Найти площадь поверхности, ограниченной цилиндром
Помогите пожалуйста разобраться с задачей Найти площадь поверхности a*z=x*y, ограниченной.

Вычислить площадь части поверхности
Вычислить площадь части поверхности \sigma , заключёную в внутри цилиндрической поверхности Ц.

Вычислить площадь части поверхности
Вычислить площадь части поверхности z=\frac xy расположенной внутри поверхности .

Вычислить площадь части поверхности
Вычислить площадь части поверхности, уравнений которой задано в условии задач первым, вырезанной.

Видео:60. Площадь поверхности цилиндраСкачать

Найти площадь части поверхности, расположенной внутри цилиндра

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Найти площадь части поверхности, расположенной внутри цилиндра
Найти площадь части поверхности x^2+y^2=6z, расположенной внутри цилиндра (x^2+y^2)^2=9(x^2-y^2).

Площадь части цилиндра, расположенной внутри сферы
Необходимо вычислить площадь части цилиндра x^ +y^ =Rx расположенной внутри сферы.

Найти площадь части цилиндра, расположенного внутри шара
Найти площадь части цилиндра x2+y2=ax, расположенного внутри шара x2+y2+z2\leqa2 Помогите.

Найти площадь части цилиндра
Найти площадь части цилиндра x^2+y^2=a^2, отсеченный плоскостями z=x; z=-x (x>0) (Двойные.

Найти площадь части поверхности
Задача: найти площадь части поверхности 3x+y+5z=5 вырезанной плоскостями x=0, y=0, z=0 в 1-ом.

Найти площадь части поверхности
Найти площадь части поверхности S: z=x^2-у^2, вырезанную поверхностями х^2+у^2=1, |x|=|y| .

Найти площадь части поверхности
Здравствуйте! Задали две задачи мне а вот решить не выходит! Не могу проинтегрировать. В 4 дохожу.

Читайте также: Тормозные цилиндры lpr 4477

Найти площадь части поверхности
Найти площадь части поверхности z=x^2+y^2, расположенной внутри однополостного гиперболоида.

Найти площадь части поверхности параболоида
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста , составить правильную формулу интеграла исходя из следующей.

Видео:ЗАДАНИЕ 8 из ЕГЭ_53Скачать

Вычисление площади поверхности

Практическое занятие № 15

«Решение задач на приложение двойных интегралов»

1. Цель:Выработать навыки и умения в решении задач на приложение двойных интегралов в геометрии»

Краткие теоретические сведения

Вычисление площади плоской фигуры

Площадь S плоской области D в прямоугольных координатах вычисляется по формуле:

Пример. Вычислить площадь области, ограниченной линиями и у = х + 6.

Решение: Найдем точки пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:

Решением будет пара значений (-3; 9) и (-2; 4) — координаты точек пересечения графиков

Область D запишем в виде системы неравенств

Согласно формуле (1), получим

Вычисление объема тела

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у), снизу плоскостью z = 0 и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости xOy (z = 0) область D , вычисляется по формуле

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 2x+1, x= 0, у = 4,

Решение:Тело, ограниченное заданными поверхностями, представляет собой вертикальный параболический цилиндр, расположенный в I октанте. Сверху тело ограничено плоскостью z = 2x+1, сбоку параболическим цилиндром у =x и плоскостями х = 0 и у = 4, снизу

параболой у =x и прямыми х = 0 и у = 4. Найдем точки пересечения параболы у =x и прямой у = 4:

Получаем два решения: (-2; 4) и (2; 4). Значение не рассматриваем, т.к. цилиндр расположен в I октанте. Область D запишем в виде системы неравенств 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 4. Согласно формуле (3), получим

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Решение: Данное тело есть прямой круговой цилиндр, ограниченный сверху плоскостью

, а снизу — кругом в плоскости z=0. Область D в основании цилиндра запишем в виде системы неравенств

Согласно формуле (3), получим

Первый интеграл табличный и равен:

Второй интеграл вычисляется подстановкой ;следовательно, второй интеграл равен:

Вычисление площади поверхности

Если поверхность задана уравнением z=f(x, у) и проектируется в область D плоскости хОу (z = 0), то площадь S поверхности вычисляется по формуле

Если поверхность проектируется на плоскость yOz (x = 0), то уравнение поверхности следует решить относительно переменной х и формула примет вид

Если поверхность проектируется на плоскость хОу(у = 0), то уравнение поверхности следует решить относительно переменной у и формула примет вид

Пример.Вычислить площадь треугольника, образованного при пересечении плоскости

x + 3y + 2z = 6 с координатными плоскостями.

Читайте также: Последовательность работы цилиндров уаз 417

Решение: найдем отрезки, отсекаемые на координатных осях данной плоскостью:

Чтобы воспользоваться формулой (4), решим уравнение данной плоскости относительно переменной z и найдем частные производные:

При z = 0 имеем х + 3у = 6, откуда ; следовательно, в плоскости z = 0 область D запишется в виде системы неравенств

Пример. Вычислить площадь части поверхности цилиндра , заключенной между плоскостями z = 0, z = 4x, y = 0.

Решение: искомая поверхность лежит в I октанте. Проекция поверхности на плоскость xOz (у = 0) есть прямоугольный треугольник, в котором ОА=х = 4 и уравнение гипотенузы OВ имеет вид z = 4x. Следовательно, область D в плоскости xOz определяется системой неравенств 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 4x

Поскольку заданная поверхность спроектирована на плоскость xOz, для вычисления площади поверхности применим формулу (6). Из уравнения цилиндра получим

Находим частные производные:

Тогда Для вычисления последнего интеграла применили подстановку .

Пример. Вычислить площадь части поверхности цилиндра , вырезанной цилиндром .

Решение:искомая поверхность образована пересечением двух цилиндров и . В эти уравнения поверхностей входят квадраты переменных, поэтому искомая поверхность симметрична относительно каждой из координатных плоскостей и для вычисления рассмотрим 1/8 ее часть, лежащую в I октанте.

Область интегрирования D представляет собой 1/4 часть круга , заключенного между положительными полуосями Ох и Оу, и определяется системой неравенств

Из уравнения имеем . Далее, находим частные производные

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ;

2. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

3. Вычислите площадь части поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой и прямой ;

2. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

3. Вычислите площадь части поверхности цилиндра у = х 2 + 2, ограниченного плоскостями

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

2. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

3. Вычислите площадь части поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями z = 0, z = 8;

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

2. Вычислите объем тела, ограниченного

3. Вычислите площадь части поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями z = 0, z = 2x, y = 0, x = 0.

1. Назовите формулу для вычисления площади плоской фигуры;

2. Как найти объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у), снизу плоскостью z = 0 и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости xOy (z = 0) область D?

3. По какой формуле вычисляется площадь S поверхности, если поверхность задана уравнением

z=f(x, у) и проектируется в область D плоскости хОу (z = 0)?

5.5 Необходимые расчеты. Анализ результатов расчетов

5.7 Ответы на контрольные вопросы

1. Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика в 2-х томах: Учебное пособие — М. Новая волна, 2005, 2 кн., с. 453-457;

2. Подольский В. А. Сборник задач по математике: Учебное пособие — М. Высшая школа, 2003, с.375-381;