Вычислить поток векторного поля через поверхность цилиндра (6 видео)

Содержание

Поверхностные интегралы. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Векторный анализ. Теорема Остроградского. Теорема Стокса , страница 2
5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.1. Теорема Остроградского
5.2. Теорема Стокса
🎬 Видео

Видео:Непосредственное вычисление потокаСкачать

Поверхностные интегралы. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Векторный анализ. Теорема Остроградского. Теорема Стокса , страница 2

Аналогично рассматриваются оставшиеся два интеграла. В результате, вычисление поверхностного интеграл 2-го рода сводится к вычислению трех двойных интегралов:

. (4.5)

Знак «плюс» здесь выбирается в том случае, если интегрирование происходит по той стороне поверхности, которая обращена в сторону положительных направлений осей Ox, Oy и Oz. Если это не так, то нужно взять знак «минус» у соответствующего интеграла.

Замечание. Следует иметь в виду, что, поверхностные интегралы 2-го рода (в соответствии с формулой (4.4)) часто записывают в виде

, (4.6)

Пример 4.2. Вычислить поток векторного поля a=yj через верхнюю часть плоскости x+y+z=2, лежащей в первом октанте
(см. рис. 4.1).

Так как уравнение плоскости имеет вид y=2–x–z и нормаль к поверхности образует с осью Oy острый угол (это означает, что cosb>0 и поэтому перед интегралом нужно выбрать знак «+»), то

Далее, переходя к повторным интегралам, получим

Пример 4.3. Вычислить поток векторного поля a=zk через внешнюю сторону сферы S: x 2 +y 2 +z 2 =1.

Здесь z нельзя выразить однозначной функцией от x и y для всей поверхности интегрирования. Разобьем поверхность на две части, верхнюю S’ и нижнюю S»:

и .

Перейдем к двойным интегралам. Так как S’ – верхняя часть сферы, нормаль которой на всей полусфере образует с осью Oz острый угол, то

Читайте также: Как решать задачи из егэ с цилиндрами

где D – круг x 2 +y 2 £1. S» – нижняя часть сферы, нормаль которой на всей полусфере образует с осью Oz тупой угол, то

где D – тот же круг. В результате получаем

Перейдя в полярную систему координат, получим

Пример 4.4. Вычислить поток векторного поля a=2xi–yj через часть поверхности цилиндра S: x 2 +y 2 =R 2 , x³0, y³0, 0£z£H, в направлении внешней нормали (см. рис. 4.2).

Поскольку S_yz является прямоугольником размера R´H и S_xz – точно такой же прямоугольник, то оба интеграла в последнем выражении являются одинаковыми. Поэтому можно написать

Видео:Поток через замкнутую поверхность. Формула Остроградского-ГауссаСкачать

5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Видео:Поток векторного поля через замкнутую поверхностьСкачать

5.1. Теорема Остроградского

Особый интерес представляет случай, когда вычисляется поток через замкнутую поверхность. Обычно в таких случаях за положительную сторону поверхности принимают ее внешнюю поверхность. Поверхностный интеграл в этом случае обозначается следующим образом:

Теорема Остроградского-Гаусса. Поток векторного поля a(r) через замкнутую поверхность S, находящуюся в этом поле, в направлении ее внешней нормали, равен тройному интегралу по области V, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции этого векторного поля, т.е.

. (5.1)

(5.2)

и называется дивергенцией векторного поля a.

Пример 5.1. Вычислить поток векторного поля

Решение. Воспользовавшись формулой Остроградского-Гаусса, получим

Откуда, вводя сферические координаты, получим

Пример 5.2. Вычислить поток векторного поля

через поверхность S: .

Решение. Поскольку diva=3(x 2 +y 2 )+R 2 , то формуле Остроградского-Гаусса получаем

Перейдем к цилиндрическим координатам

Видео:Поток векторного поля через поверхность. Поверхностный интеграл.Скачать

5.2. Теорема Стокса

Особое значение в математике и ее приложениях играют криволинейные интегралы по замкнутой кривой (контуру). Такие интегралы называются циркуляциями и обозначаются

Теорема. Циркуляция дифференцируемого векторного поля aпо произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру L равна потоку вектора rota через поверхность S, ограниченную контуром L:

(5.3)

. (5.4)

и называется ротором векторного поля a. Отметим, что единичный вектор n нормали к поверхности S направлен в такую сторону, чтобы обход контура L происходил в положительном, по отношению к n, направлении.