Вычислите площадь полной поверхности цилиндра подставив элементы в решение

Видео:Площадь полной поверхности цилиндраСкачать

Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:60. Площадь поверхности цилиндраСкачать

Формула вычисления площади цилиндра

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, являющейся основанием фигуры, на его высоту.

Длина окружности, в свою очередь, рассчитывается так: C = 2 π R. Следовательно, рассчитать площадь можно следующим образом:

Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

В качестве оснований цилиндра (равны между собой), выступает круг, площадь которого равна:

Т.к. диаметр круга равен двум его радиусам (d = 2R), выражение можно преобразовать таким образом:

3. Полная площадь

Для нахождения данной величины необходимо просуммировать площади боковой поверхности и двух равных оснований цилиндра, т.е.:

S = 2 π R h + 2 π R 2 или S = 2 π R (h + R)

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см 2 .

Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см) = 326,56 см 2 .

Видео:Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шараСкачать

Геометрия. 11 класс

Тела вращения. Цилиндр

Выберите фигуру, которая не является цилиндром:

Тела вращения. Цилиндр

Введите значения элементов цилиндра:

Тела вращения. Цилиндр

Выберите правильное значение площади боковой поверхности цилиндра:

Тела вращения. Цилиндр

Вычислите площадь полной поверхности цилиндра, подставив элементы в решение.

Тела вращения. Цилиндр

Добавьте подписи к элементам цилиндра.

Тела вращения. Цилиндр

Установите соответствие между элементами и их значениями:

Тела вращения. Цилиндр

Дана развертка боковой поверхности цилиндра:

Тела вращения. Цилиндр

Ориентируясь на рисунок, установите соответствие:

Тела вращения. Цилиндр

Выберите прямоугольник, который не может получиться в сечении этого цилиндра

Тела вращения. Цилиндр

Дан цилиндр, высота которого равна 4, радиус основания равен 6. Найдите площадь его осевого сечения.

Выделите цветом правильный ответ.

Тела вращения. Цилиндр

Диагональ осевого сечения равна 12, угол между этой диагональю и образующей равна 30°.

1) значение высоты цилиндра;

2) значение радиуса цилиндра;

3) значение площади боковой поверхности

Тела вращения. Цилиндр

Решите задачу. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 5 метров и диаметром 24 см, если на швы необходимо добавить 3% площади.

Последовательно решая задачу, установите соответствие между величинами и их значениями (в метрах).

Читайте также: Цилиндр площадь боковой поверхности полной поверхности объем цилиндра

Тела вращения. Цилиндр

Из квадрата с диагональю $24\sqrt $ свернута цилиндрическая поверхность. Найдите элементы цилиндра.

Последовательно решая задачу, установите соответствие между величинами и их значениями.

Тела вращения. Цилиндр

1. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу 120°. Образующая цилиндра равна $6\sqrt $, расстояние от оси до секущей плоскости равно.

2. Высота цилиндра на 6 больше его радиуса, площадь боковой поверхности равна 144π.

3. Один цилиндр получен вращением прямоугольника со сторонами АВ = 3 и ВС = 4 вокруг стороны АВ, другой вокруг стороны ВС.

Видео:ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРАСкачать

Геометрия. 11 класс

Тела вращения. Цилиндр

Выберите фигуру, которая не является цилиндром:

Тела вращения. Цилиндр

Введите значения элементов цилиндра:

Тела вращения. Цилиндр

Выберите правильное значение площади боковой поверхности цилиндра:

Тела вращения. Цилиндр

Вычислите площадь полной поверхности цилиндра, подставив элементы в решение.

Тела вращения. Цилиндр

Добавьте подписи к элементам цилиндра.

Тела вращения. Цилиндр

Установите соответствие между элементами и их значениями:

Тела вращения. Цилиндр

Дана развертка боковой поверхности цилиндра:

Тела вращения. Цилиндр

Ориентируясь на рисунок, установите соответствие:

Тела вращения. Цилиндр

Выберите прямоугольник, который не может получиться в сечении этого цилиндра

Тела вращения. Цилиндр

Дан цилиндр, высота которого равна 4, радиус основания равен 6. Найдите площадь его осевого сечения.

Выделите цветом правильный ответ.

Тела вращения. Цилиндр

Диагональ осевого сечения равна 12, угол между этой диагональю и образующей равна 30°.

1) значение высоты цилиндра;

2) значение радиуса цилиндра;

3) значение площади боковой поверхности

Тела вращения. Цилиндр

Решите задачу. Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 5 метров и диаметром 24 см, если на швы необходимо добавить 3% площади.

Последовательно решая задачу, установите соответствие между величинами и их значениями (в метрах).

Тела вращения. Цилиндр

Из квадрата с диагональю $24\sqrt $ свернута цилиндрическая поверхность. Найдите элементы цилиндра.

Последовательно решая задачу, установите соответствие между величинами и их значениями.

Тела вращения. Цилиндр

1. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу 120°. Образующая цилиндра равна $6\sqrt $, расстояние от оси до секущей плоскости равно.

2. Высота цилиндра на 6 больше его радиуса, площадь боковой поверхности равна 144π.

3. Один цилиндр получен вращением прямоугольника со сторонами АВ = 3 и ВС = 4 вокруг стороны АВ, другой вокруг стороны ВС.

Видео:Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 78. Найдите площадь полной поверхности цилиндраСкачать

Как найти площадь поверхности цилиндра: боковую, основания, полную

Видео:Нахождение площади боковой поверхности цилиндраСкачать

Площадь боковой поверхности цилиндра

Формула площади боковой поверхности цилиндра представляет собой произведение длины основания на его высоту:

Таким образом, используя формулы площади оснований и боковой поверхности фигуры, мы смогли найти полную площадь поверхности цилиндра.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором стороны равны высоте и диаметру цилиндра.
Формула площади осевого сечения цилиндра выводится из формулы расчета площади прямоугольника :

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Круговой цилиндр

где r – радиус основы, h – высота цилиндра, d – диаметр основы.

Видео:#130. Задание 8: комбинация телСкачать

Как рассчитать площадь боковой поверхности цилиндра с помощью калькулятора

Калькулятор позволяет определить площадь цилиндра по одному из 2 вариантов исходных данных:

1. внешний радиус и высота;
2. внешний диаметр и высота.

Выберите соответствующий шаг и введите исходные данные в соответствующие поля.

Также важно указать единицы измерения по условиям задачи.

Расчеты будут выполнены автоматически и конвертированы в основные метрические физические величины площади.

Видео:№561. Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхностиСкачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.

Читайте также: Рабочий цилиндр сцепления камаз 65117

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см 2 .

Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см) = 326,56 см 2 .

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Осевое сечение прямого цилиндра

Осевым называется любое сечение цилиндра, которое содержит его ось. Это определение означает, что осевое сечение будет всегда параллельно образующей линии.

В цилиндре прямом ось проходит через центр круга и перпендикулярна его плоскости. Это означает, что рассматриваемое сечение круг будет пересекать по его диаметру. На рисунке показана половинка цилиндра, которая получилась в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ось.

Не сложно понять, что осевое сечение прямого круглого цилиндра представляет собой прямоугольник. Его сторонами являются диаметр d основания и высота h фигуры.

Запишем формулы для площади осевого сечения цилиндра и длины hd его диагонали:

Прямоугольник имеет две диагонали, но обе они равны друг другу. Если известен радиус основания, то не сложно переписать эти формулы через него, учитывая, что он в два раза меньше диаметра.

Видео:№538. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5. Найдите площадь осевогоСкачать

Введите радиус основания и высоту цилиндра

Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.

Площадь полной поверхности цилиндра формула:
S = Sбок + 2 Sосн 2 , где Sбок – площадь боковой поверхности, Sосн – площадь основания
или
S = 2 π R h + 2 π R 2 , где R – радиус оснований, h – высота цилиндра, π – число пи

Видео:Площадь сферы внутри цилиндра. Поверхностный интегралСкачать

Площадь полной поверхности цилиндра

Для нахождения полной площади цилиндра нужно к полученной Sбок добавить площади двух окружностей, верха и низа цилиндра, которые считаются по формуле Sо = 2π * r2.

Конечная формула выглядит следующим образом:

Sпол = 2π * r2 + 2π * r * h.

Видео:11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конусаСкачать

Основные определения и свойства цилиндра

Рассмотрим две паралллельные плоскости паралллельные плоскости α и β и произвольную окружность радиуса r с центром в точке O , лежащую в плоскости α (рис. 1).

Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость β , то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости β окружность радиуса r , центр O₁ которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость β (рис.2).

Отрезок перпендикуляра , опущенного из любой точки окружности с центром O на плоскость β , который заключен между плоскостями α и β , называют образующей цилиндра .

Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью .

Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями α и β, называют цилиндром .

Отрезок OO₁ называют осью цилиндра .

Радиус окружности Радиус окружности на плоскости α с центром в точке O называют радиусом цилиндра .

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями α и β , называют высотой цилиндра .

Круги с центрами O и O₁ на плоскостях α и β , называют основаниями цилиндра .

Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра . Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра .

Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

Читайте также: Бачок главного цилиндра сцепления паз

Замечание 3. Прямая OO₁ является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO₁ является центром симметрии цилиндра.

Видео:РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЦИЛИНДРСкачать

Геометрическая фигура

Сначала дадим определение фигуре, о которой пойдет речь в статье. Цилиндр представляет собой поверхность, образованную параллельным перемещением отрезка фиксированной длины вдоль некоторой кривой. Главным условием этого перемещения является то, что отрезок плоскости кривой принадлежать не должен.

На рисунке ниже показан цилиндр, кривая (направляющая) которого является эллипсом.

Здесь отрезок длиной h является его образующей и высотой.

Видно, что цилиндр состоит из двух одинаковых оснований (эллипсы в данном случае), которые лежат в параллельных плоскостях, и боковой поверхности. Последней принадлежат все точки образующих линий.

Видео:Площадь полной поверхности призмыСкачать

Осевое сечение наклонного цилиндра

Рисунок выше демонстрирует наклонный цилиндр, изготовленный из бумаги. Если выполнить его осевое сечение, то получится уже не прямоугольник, а параллелограмм. Его стороны – это известные величины. Одна из них, как и в случае сечения прямого цилиндра, равна диаметру d основания, другая же – длина образующего отрезка. Обозначим ее b.

Для однозначного определения параметров параллелограмма недостаточно знать его длины сторон. Необходим еще угол между ними. Предположим, что острый угол между направляющей и основанием равен α. Он же и будет углом между сторонами параллелограмма. Тогда формулу для площади осевого сечения наклонного цилиндра можно записать следующим образом:

Диагонали осевого сечения цилиндра наклонного рассчитать несколько сложнее. Параллелограмм имеет две диагонали разной длины. Приведем без вывода выражения, позволяющие рассчитывать диагонали параллелограмма по известным сторонам и острому углу между ними:

Здесь l1 и l2 – длины малой и большой диагоналей соответственно. Эти формулы можно получить самостоятельно, если рассмотреть каждую диагональ как вектор, введя прямоугольную систему координат на плоскости.

Видео:Задача 8 ЕГЭ по математике #1Скачать

Примеры расчета площади поверхности цилиндра

Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.

1. Радиус ос­но­ва­ния цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.

2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Площадь поверхности цилиндра равна 376,8.

3. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 24π, а диаметр основания — 3. Найдите высоту цилиндра.

Из формулы расчета площади боковой поверхности цилиндра Sбок. = 2πrh следует, что высота равна:

Значение радиуса получаем из формулы: d = 2r

Видео:Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

Площадь цилиндра формула через диаметр

Для облегчения расчетов иногда требуется произвести вычисления через диаметр. Например, имеется кусок полой трубы известного диаметра.

Не утруждая себя лишними расчетами, имеем готовую формулу. На помощь приходит алгебра за 5 класс.

Sпол = 2π * r2 + 2π * r * h = 2π * d2/4 + 2π * h * d/2 = π * d2/2 + π * d * h,

Вместо r в полную формулу нужно вставить значение r = d/2.

Видео:Пересечение двух цилиндров: объем и площадь поверхности через двойной интегралСкачать

Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Формула для нахождения боковой поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Видео:Объем и площадь поверхности цилиндра (видео 44) | Подобие. Геометрия | МатематикаСкачать

Заключение

В конце статьи назрел вопрос: а так ли необходимы все эти вычисления и переводы одних значений в другие. Зачем все это нужно и самое главное, для кого? Но не стоит пренебрегать и забывать простые формулы из средней школы.

Мир стоял и будет стоять на элементарных познаниях, из математики, в том числе. И, приступая к какой-нибудь важной работе, никогда не лишне освежить в памяти данные выкладки, применив их на практике с большим эффектом. Точность – вежливость королей.