Вывод формулы боковой поверхности цилиндра

Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать

Цилиндр: площадь боковой поверхности. Формула площади боковой поверхности цилиндра

При изучении стереометрии одной из главных тем становится «Цилиндр». Площадь боковой поверхности считается если не главной, то немаловажной формулой при решении геометрических задач. Однако важно помнить и определения, которые помогут сориентироваться в примерах и при доказательстве различных теорем.

Видео:ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРАСкачать

Понятие цилиндра

Вначале нужно рассмотреть несколько определений. Только после их изучения можно приступать к рассмотрению вопроса о формуле площади боковой поверхности цилиндра. На основе этой записи можно вычислить и иные выражения.

• Под цилиндрической поверхностью понимают плоскость, описываемую образующей, движущейся и остающейся параллельной заданному направлению, скользящей по имеющейся кривой.
• Имеется и второе определение: цилиндрическую поверхность образуют множество параллельных прямых, пересекающих заданную кривую.
• Образующей называют условно высоту цилиндра. При ее перемещении вокруг оси, проходящей через центр основания, получается обозначенное геометрическое тело.
• Под осью подразумевают прямую, проходящую через оба основания фигуры.
• Цилиндром называется стереометрическое тело, ограниченное пересекающимися боковой поверхностью и 2 параллельными плоскостями.

Существуют разновидности данной объемной фигуры:

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Условные обозначения

• Радиус основания – R (он же заменяет аналогичную величину стереометрической фигуры).
• Образующая – L.
• Высота – H.
• Площадь основания – Sосн (иначе говоря, необходимо найти указанный параметр круга).
• Высоты скошенного цилиндра – h1,h2 (минимальная и максимальная).
• Площадь боковой поверхности – Sбок (если ее развернуть, то получится своего рода прямоугольник).
• Объем стереометрической фигуры – V.
• Площадь полной поверхности – S.

Видео:Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндраСкачать

«Компоненты» стереометрической фигуры

Когда изучается цилиндр, площадь боковой поверхности играет немаловажную роль. Связано это с тем, что данная формула входит в несколько других, более сложных. Поэтому необходимо быть хорошо подкованным в теории.

Основными составляющими фигуры являются:

Читайте также: Порядок работы цилиндров двигателя рено 19

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Основные формулы для работы с цилиндром

Для того чтобы ответить на вопрос, как найти площадь поверхности цилиндра, необходимо изучить основные «компоненты» стереометрической фигуры и формулы их нахождения. Данные формулы отличаются тем, что вначале даются выражения для скошенного цилиндра, а затем – для прямого.

Видео:60. Площадь поверхности цилиндраСкачать

Примеры с разобранным решением

Необходимо узнать площадь боковой поверхности цилиндра. Дана диагональ сечения AC = 8 см (причем оно является осевым). При соприкосновении с образующей получается Решение. Поскольку известны величины диагонали и угла, то в таком случае: Комментарий. Треугольник ACD, в конкретном примере, прямоугольный. Это означает, что частное от деления CD и AC = косинусу имеющегося угла. Значение тригонометрических функций можно найти в специальной таблице. Аналогично, можно найти и значение AD: Теперь необходимо вычислить по следующей формулировке нужный результат: площадь боковой поверхности цилиндра равна удвоенному результату перемножения «пи», радиуса фигуры и ее высоты. Следует воспользоваться и другой формулой: площадью основания цилиндра. Она равняется результату перемножения «пи» на квадрат радиуса. И наконец, последняя формула: общая площадь поверхности. Она равна сумме предыдущих двух площадей. Даны цилиндры. Их объем = 128*п см³. У какого из цилиндров наименьшая полная поверхность? Решение. Для начала нужно воспользоваться формулами нахождения объема фигуры и ее высоты. Поскольку площадь полной поверхности цилиндра известна из теории, необходимо применить ее формулу. Если рассматривать полученную формулу в качестве функции площади цилиндра, то минимальный «показатель» будет достигнут в точке экстремума. Для получения последнего значения необходимо воспользоваться дифференцированием. Формулы можно посмотреть в специальной таблице по нахождению производных. В дальнейшем найденный результат приравнивается к нулю и находится решение уравнения. Ответ: Smin будет достигнута при h = 1/32 см, R = 64 см. Дана стереометрическая фигура – цилиндр и сечение. Последнее проведено таким образом, что располагается параллельно оси стереометрического тела. У цилиндра следующие параметры: ВК = 17 см, h = 15 см, R = 5 см. Необходимо найти расстояние между сечением и осью. Поскольку под сечением цилиндра понимается ВСКМ, т. е. прямоугольник, то его сторона ВМ = h. Необходимо рассмотреть ВМК. Треугольник является прямоугольным. Исходя из этого утверждения, можно вывести верное предположение, что МК = ВС. Отсюда можно сделать вывод, что МК = ВС = 8 см. Следующий шаг – проведение сечения через основание фигуры. Необходимо рассмотреть получившуюся плоскость. AD – диаметр стереометрической фигуры. Он параллелен сечению, упомянутому в условии задачи. BC – прямая, расположенная на плоскости имеющегося прямоугольника. ABCD – трапеция. В конкретном случае она считается равнобедренной, поскольку вокруг нее описана окружность. Если найти высоту полученной трапеции, то можно получить ответ, поставленный в начале задачи. А именно: нахождение расстояния между осью и проведенным сечением. Для этого необходимо найти величины AD и ОС. Ответ: сечение располагается 3 см от оси.

Видео:Нахождение площади боковой поверхности цилиндраСкачать

Задачи на закрепление материала

Дан цилиндр. Площадь боковой поверхности используется в дальнейшем решении. Известны другие параметры. Площадь основания – Q, площадь осевого сечения – М. Необходимо найти S. Иными словами, полную площадь цилиндра.

Читайте также: Индиан 4 цилиндра мотоцикл

Дан цилиндр. Площадь боковой поверхности необходимо найти в одном из шагов решения задачи. Известно, что высота = 4 см, радиус = 2 см. Необходимо найти полную площадь стереометрической фигуры. Источник

Видео:№538. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5. Найдите площадь осевогоСкачать

Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:ОТКУДА? Как найти площадь боковой поверхности конуса? Развёртка конуса | Математика с ДетекторомСкачать

Формула вычисления площади цилиндра

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, являющейся основанием фигуры, на его высоту. Длина окружности, в свою очередь, рассчитывается так: C = 2 π R. Следовательно, рассчитать площадь можно следующим образом: Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

В качестве оснований цилиндра (равны между собой), выступает круг, площадь которого равна: Т.к. диаметр круга равен двум его радиусам (d = 2R), выражение можно преобразовать таким образом:

3. Полная площадь

Для нахождения данной величины необходимо просуммировать площади боковой поверхности и двух равных оснований цилиндра, т.е.: S = 2 π R h + 2 π R 2 или S = 2 π R (h + R)

Видео:Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см. Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см 2 . Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры. Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см) = 326,56 см 2 . Источник

Видео:Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]Скачать

Площадь поверхности цилиндра

Всего получено оценок: 9327. Всего получено оценок: 9327. Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь поверхности цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач. У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность. Основаниями цилиндра (их два: верхние и нижнее) являются окружности, их легко определить. Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (двух оснований цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Видео:ЗАДАНИЕ 8 из ЕГЭ_53Скачать

Боковая поверхность цилиндра

Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2). После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Верхнее основание исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом. Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.

Читайте также: Формула момент инерции цилиндра формула вывод

Видео:Специфическая задача на площадь боковой поверхности цилиндраСкачать

Площадь полной поверхности цилиндра

Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра равна площадь верхнего основания цилиндра + площадь нижнего основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).

Видео:11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конусаСкачать

Примеры расчета площади поверхности цилиндра

Для понимания приведенных формул, попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах. 1. Радиус ос­но­ва­ния цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68. 2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6? S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4 S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24 Площадь поверхности цилиндра равна 376,8. 3. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 24π, а диаметр основания — 3. Найдите высоту цилиндра. Из формулы расчета площади боковой поверхности цилиндра Sбок. = 2πrh следует, что высота равна: Значение радиуса получаем из формулы: d = 2r Источник

Видео:Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания... (ЕГЭ)Скачать

Цилиндры

Видео:ЕГЭ СТЕРЕОМЕТРИЯ НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА ЧЕРЕЗ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ |Скачать

Основные определения и свойства цилиндра

Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость β , то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости β окружность радиуса r , центр O₁ которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость β (рис.2). Отрезок перпендикуляра, опущенного из любой точки окружности с центром O на плоскость β , который заключен между плоскостями α и β , называют образующей цилиндра . Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью . Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями α и β, называют цилиндром . Отрезок OO₁ называют осью цилиндра . Радиус окружности Радиус окружности на плоскости α с центром в точке O называют радиусом цилиндра . Круги с центрами O и O₁ на плоскостях α и β , называют основаниями цилиндра . Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра . Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра . Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра. Замечание 3. Прямая OO₁ является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO₁ является центром симметрии цилиндра.

Видео:Площадь полной поверхности цилиндраСкачать

Сечения цилиндра

Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.
Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3). На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра – прямоугольник AA₁B₁B . Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом r и высотой h является прямоугольником со сторонами 2r и h . Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4). Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса r . Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Видео:Урок 2. Площадь полной и боковой поверхности цилиндраСкачать

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра

Для цилиндра с радиусом r и высотой h (рис. 5) введем следующие обозначения

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра: при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной призмы n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы. Источник

📽️ Видео

11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЦИЛИНДРСкачать