Вывод формулы момента инерции тонкостенного цилиндра (3 видео)

Содержание

Момент инерции цилиндра сплошного и полого относительно разных осей. Пример задачи
Что такое момент инерции?
Сплошной цилиндр и главная ось
Однородный цилиндр и перпендикулярная генератрисе ось
Полый цилиндр
Где используются знания величин I для цилиндров?
Пример решения задачи
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
💡 Видео

Видео:Расчет момента инерции цилиндраСкачать

Момент инерции цилиндра сплошного и полого относительно разных осей. Пример задачи

Как известно, масса в динамике поступательного движения играет важную роль, определяя инерционные свойства движущихся тел. В динамике вращения вместо массы пользуются моментом инерции. Рассмотрим в статье, что это за величина и как определяется момент инерции цилиндра относительно оси.

Видео:Урок 94. Вычисление моментов инерции телСкачать

Что такое момент инерции?

Эту величину обычно обозначают буквой I. Для материальной точки математическая формула момента инерции записывается так:

Где r — расстояние до оси вращения от точки массой m. Из формулы понятно, что единицей измерения величины являются килограммы на квадратный метр (кг*м 2 ).

Если тело имеет сложную форму и его объемная плотность является переменной, тогда для определения I следует использовать такое интегральное выражение:

Где dm — это элементарная масса, находящаяся от оси вращения на расстоянии r.

Таким образом, момент инерции определяет распределение материи в теле сложной формы относительно конкретной оси вращения системы.

Видео:Расчет момента инерции диска или цельного цилиндраСкачать

Сплошной цилиндр и главная ось

Момент инерции сплошного цилиндра может быть вычислен вокруг абсолютно любой оси с использованием интегрального выражения, записанного в предыдущем пункте. Здесь рассмотрим ситуацию, когда цилиндр массой M, радиусом R и высотой L вращается вокруг главной оси. Последняя представляет собой прямую, параллельную генератрисе фигуры и проходящую через центры ее круглых оснований.

Не будем вдаваться в подробности математических вычислений по интегральной формуле, а приведем сразу конечное выражение:

Мы видим, что чем больше масса цилиндра и его радиус, тем больше момент инерции I₁. В то же время эта величина никак не зависит от высоты фигуры L, то есть момент инерции тонкого диска можно вычислить также по этой формуле.

Отметим, что если всю массу цилиндра собрать в одну материальную точку, находящуюся от оси вращения на расстоянии радиуса R, то для нее момент инерции окажется в два раза больше, чем для сплошного цилиндра.

Видео:Момент инерцииСкачать

Однородный цилиндр и перпендикулярная генератрисе ось

Теперь возьмем однородный цилиндр из примера выше и перевернем его на бок. Начнем вращать объект вокруг оси, которая проходит также через центр его масс, но уже перпендикулярна генератрисе (главной оси). Чему будет равен момент инерции цилиндра однородного в данном случае?

Читайте также: Как вычислить число цилиндров жесткого диска формула

Как и в примере выше, здесь также ограничимся приведением соответствующего выражения. Оно будет иметь следующий вид:

Момент инерции I₂ имеет более сложную зависимость от параметров цилиндра, чем I₁, поскольку он определяется не только массой и радиусом, но и высотой фигуры. Заметим, что два слагаемых этой формулы представляют собой два крайних случая:

Если цилиндр слишком маленькую высоту имеет, то мы получаем диск, который, вращаясь вокруг оси, проходящей через его диаметр, будет иметь момент 1/4*M*R 2 .
Если радиус цилиндра стремится к нулю, то рассматриваемый объект превратится в стержень, и его момент инерции станет равным 1/12*M*L 2 .

Видео:Расчёт момента инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции однородного стержняСкачать

Полый цилиндр

Выше мы рассмотрели, как рассчитывать момент инерции цилиндра вращающегося и однородного. Теперь предположим, что высота цилиндра и его масса остались теми же самыми, однако он стал полым, то есть, имеет два радиуса: внешний R₁ и внутренний R₂.

Применение все той же интегральной формулы позволяет получить выражение для момента инерции цилиндра полого, который вращается вокруг своей главной оси. Соответствующая формула выглядит так:

Это выражение позволяет сделать важный вывод: при одинаковых массах полого и сплошного цилиндров первый обладает большим моментом инерции. Связан этот факт с тем, что большая часть массы полого цилиндра находится дальше от оси вращения, а как видно из формул, от радиуса изучаемая величина растет квадратично.

Видео:2 а Моменты инерции сферы и шараСкачать

Где используются знания величин I для цилиндров?

Пожалуй, основной областью применения изложенной выше теории является автомобильная промышленность. В частности, коленчатый вал автомобиля снабжен тяжелым сплошным маховиком, имеющим цилиндрическую форму. Необходим маховик для того, чтобы обеспечить максимальную плавность вращения коленчатого вала, что отражается на плавности автомобильного хода. Маховик гасит любые большие угловые ускорения как во время разгона транспортного средства, так при его торможении.

Из формулы выше для момента инерции I₁ понятно, что для увеличения этой величины выгоднее увеличить радиус, чем массу цилиндра (маховика). Так, удвоение массы приведет лишь к удвоению момента инерции. Однако если увеличить в два раза радиус, то I₁ возрастет аж в 4 раза, что обеспечит более эффективное использование маховика.

Видео:момент инерции цилиндраСкачать

Пример решения задачи

Прежде чем решать задачу, скажем несколько слов о динамике вращения. Как и в динамике поступательного движения, в ней существует формула, подобная второму закону Ньютона. Эта формула называется уравнением моментов. Записывается она так:

Читайте также: Дензел компрессор 50л 2 цилиндра

Где L — момент импульса, M — момент внешних сил. Чаще всего это уравнение записывают в следующем виде:

Здесь α — ускорение угловое. Из этого выражения видна аналогия со вторым ньютоновским законом.

Теперь перейдем к решению задачи. Известно, что сила в 100 Н действует по касательной к цилиндрической поверхности перпендикулярно главной оси вращения сплошного цилиндра на расстоянии 20 см. Масса цилиндра равна 10 кг, а его радиус составляет 20 см. Необходимо определить угловую скорость ω цилиндра через 5 секунд после начала действия силы.

Угловая скорость рассчитывается по формуле для равноускоренного движения:

Выражая ускорение из уравнения моментов и подставляя его в выражение, получим:

Момент силы вычисляется так:

Где по условию задачи d = R. Подставляя это выражение и выражение для I сплошного цилиндра, получим конечную рабочую формулу:

Осталось сюда подставить все величины в единицах СИ и записать ответ: ω = 500 рад/с, что равно приблизительно 80 оборотам в секунду.

Видео:5. Момент инерции простейших телСкачать

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения и дайте определение всем величинам, входящим в уравнение.

. (4.8)

Угловое ускорение, приобретаемое твердым телом, прямо пропорционально результирующему моменту всех действующих на тело внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела.

Для описания вращательного движения твердого тела вводят понятие момента силы относительно неподвижной точки. Это векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведенного из начала координат в точку приложения силы , и силы :

. (4.6)

Мерой инертности тела при вращательном движении служит момент инерции J. Это скалярная величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их расстояний r_i до оси вращения:

. (4.4)

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

быстрота изменения вектора угловой скорости характеризуется угловым ускорением :

Выведите рабочую формулу (4.15).

, (4.9)

где: а – ускорение падающего груза, r = d/2 – радиус шкива.

В свою очередь, пользуясь известным выражением для равноускоренного движения груза:

, (4.10)

( h – высота падения груза, t – время падения груза) находим:

, (4.11)

. (4.12)

Момент силы, приложенной к маятнику, находим по формуле (4.7), где: F – сила, действующая на шкив. Но , и . Тогда формула (4.7) имеет вид: .

Силу F можно найти из уравнения движения груза:

, (4.13)

где: m – масса падающего груза, а , – сила натяжения нити. Тогда для момента силы получим следующее выражение:

Читайте также: Что если в блоке цилиндров есть трещина

. (4.14)

Используя формулу (4.8) получим:

. (4.15)

3. Укажите основные источники погрешностей измерений. Выведите формулу для расчета погрешности J.

4. Какую роль играет момент инерции тела при его вращательном движении? Объясните физический смысл момента инерции.

Во вращательном движении большое значение имеет физическая величина, называемая моментом инерции тела. Эта величина играет такую же роль, как и масса при поступательном движении. Другими словами, момент инерции тела является мерой его инертности во вращательном движении, т.е. характеризует способность тела сохранять угловую скорость.

5. От чего зависит момент инерции маятника Обербека (формула (4.16))?

где: m₀ = 0,114 кг – масса подвижного груза крестовины; R – расстояние от центра масс подвижного груза до оси вращения; r₀= 0,015 м – радиус груза; l = 0,02 м – длина образующей груза. Момент инерции системы без грузов J₀ можно определить по формуле:

6.Выведите формулу для расчета момента инерции цилиндра или стержня.

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

7. Сформулируйте теорему Штейнера и приведите примеры ее применения.

момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_C относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями: