Вывод момента инерции для однородного полого цилиндра

Видео:Расчет момента инерции цилиндраСкачать

Момент инерции цилиндра сплошного и полого относительно разных осей. Пример задачи

Как известно, масса в динамике поступательного движения играет важную роль, определяя инерционные свойства движущихся тел. В динамике вращения вместо массы пользуются моментом инерции. Рассмотрим в статье, что это за величина и как определяется момент инерции цилиндра относительно оси.

Видео:Расчёт момента инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции однородного стержняСкачать

Что такое момент инерции?

Эту величину обычно обозначают буквой I. Для материальной точки математическая формула момента инерции записывается так:

Где r — расстояние до оси вращения от точки массой m. Из формулы понятно, что единицей измерения величины являются килограммы на квадратный метр (кг*м 2 ).

Если тело имеет сложную форму и его объемная плотность является переменной, тогда для определения I следует использовать такое интегральное выражение:

Где dm — это элементарная масса, находящаяся от оси вращения на расстоянии r.

Таким образом, момент инерции определяет распределение материи в теле сложной формы относительно конкретной оси вращения системы.

Видео:Урок 94. Вычисление моментов инерции телСкачать

Сплошной цилиндр и главная ось

Момент инерции сплошного цилиндра может быть вычислен вокруг абсолютно любой оси с использованием интегрального выражения, записанного в предыдущем пункте. Здесь рассмотрим ситуацию, когда цилиндр массой M, радиусом R и высотой L вращается вокруг главной оси. Последняя представляет собой прямую, параллельную генератрисе фигуры и проходящую через центры ее круглых оснований.

Не будем вдаваться в подробности математических вычислений по интегральной формуле, а приведем сразу конечное выражение:

Мы видим, что чем больше масса цилиндра и его радиус, тем больше момент инерции I₁. В то же время эта величина никак не зависит от высоты фигуры L, то есть момент инерции тонкого диска можно вычислить также по этой формуле.

Отметим, что если всю массу цилиндра собрать в одну материальную точку, находящуюся от оси вращения на расстоянии радиуса R, то для нее момент инерции окажется в два раза больше, чем для сплошного цилиндра.

Видео:Расчет момента инерции диска или цельного цилиндраСкачать

Однородный цилиндр и перпендикулярная генератрисе ось

Теперь возьмем однородный цилиндр из примера выше и перевернем его на бок. Начнем вращать объект вокруг оси, которая проходит также через центр его масс, но уже перпендикулярна генератрисе (главной оси). Чему будет равен момент инерции цилиндра однородного в данном случае?

Как и в примере выше, здесь также ограничимся приведением соответствующего выражения. Оно будет иметь следующий вид:

Момент инерции I₂ имеет более сложную зависимость от параметров цилиндра, чем I₁, поскольку он определяется не только массой и радиусом, но и высотой фигуры. Заметим, что два слагаемых этой формулы представляют собой два крайних случая:

• Если цилиндр слишком маленькую высоту имеет, то мы получаем диск, который, вращаясь вокруг оси, проходящей через его диаметр, будет иметь момент 1/4*M*R 2 .
• Если радиус цилиндра стремится к нулю, то рассматриваемый объект превратится в стержень, и его момент инерции станет равным 1/12*M*L 2 .

Видео:Момент инерции полого цилиндраСкачать

Полый цилиндр

Выше мы рассмотрели, как рассчитывать момент инерции цилиндра вращающегося и однородного. Теперь предположим, что высота цилиндра и его масса остались теми же самыми, однако он стал полым, то есть, имеет два радиуса: внешний R₁ и внутренний R₂.

Применение все той же интегральной формулы позволяет получить выражение для момента инерции цилиндра полого, который вращается вокруг своей главной оси. Соответствующая формула выглядит так:

Читайте также: St063 набор инструментов для сведения тормозных цилиндров 13 предметов

Это выражение позволяет сделать важный вывод: при одинаковых массах полого и сплошного цилиндров первый обладает большим моментом инерции. Связан этот факт с тем, что большая часть массы полого цилиндра находится дальше от оси вращения, а как видно из формул, от радиуса изучаемая величина растет квадратично.

Видео:2 а Моменты инерции сферы и шараСкачать

Где используются знания величин I для цилиндров?

Пожалуй, основной областью применения изложенной выше теории является автомобильная промышленность. В частности, коленчатый вал автомобиля снабжен тяжелым сплошным маховиком, имеющим цилиндрическую форму. Необходим маховик для того, чтобы обеспечить максимальную плавность вращения коленчатого вала, что отражается на плавности автомобильного хода. Маховик гасит любые большие угловые ускорения как во время разгона транспортного средства, так при его торможении.

Из формулы выше для момента инерции I₁ понятно, что для увеличения этой величины выгоднее увеличить радиус, чем массу цилиндра (маховика). Так, удвоение массы приведет лишь к удвоению момента инерции. Однако если увеличить в два раза радиус, то I₁ возрастет аж в 4 раза, что обеспечит более эффективное использование маховика.

Видео:Найти момент инерции тонкого однородного стержня: Волькенштейн 3.5Скачать

Пример решения задачи

Прежде чем решать задачу, скажем несколько слов о динамике вращения. Как и в динамике поступательного движения, в ней существует формула, подобная второму закону Ньютона. Эта формула называется уравнением моментов. Записывается она так:

Где L — момент импульса, M — момент внешних сил. Чаще всего это уравнение записывают в следующем виде:

Здесь α — ускорение угловое. Из этого выражения видна аналогия со вторым ньютоновским законом.

Теперь перейдем к решению задачи. Известно, что сила в 100 Н действует по касательной к цилиндрической поверхности перпендикулярно главной оси вращения сплошного цилиндра на расстоянии 20 см. Масса цилиндра равна 10 кг, а его радиус составляет 20 см. Необходимо определить угловую скорость ω цилиндра через 5 секунд после начала действия силы.

Угловая скорость рассчитывается по формуле для равноускоренного движения:

Выражая ускорение из уравнения моментов и подставляя его в выражение, получим:

Момент силы вычисляется так:

Где по условию задачи d = R. Подставляя это выражение и выражение для I сплошного цилиндра, получим конечную рабочую формулу:

Осталось сюда подставить все величины в единицах СИ и записать ответ: ω = 500 рад/с, что равно приблизительно 80 оборотам в секунду.

Видео:Нахождение момента инерции стержня путем интегрированияСкачать

Момент инерции цилиндра сплошного и полого: разное положение осей вращения

Знание момента инерции тела позволяет воспользоваться законом сохранения момента импульса либо выражением для описания кругового движения с угловым ускорением. В данной статье рассмотрим, как находить для цилиндра момент инерции при различном положении осей вращения.

Видео:Момент инерцииСкачать

Момент инерции: математическое определение

Осевой момент инерции вводится в физику благодаря изучению законов вращательного движения тел. Для точки материальной с массой m, вращающейся на расстоянии r от оси, момент инерции будет равен:

В общем же случае для тела, которое имеет произвольное распределение вещества в пространстве (любую геометрическую форму), величину I можно вычислить так:

По сути, это выражение является обобщением предыдущего. В нем производится суммирование (интегрирование) моментов от каждой элементарной частицы dm, дистанция до оси от которой равна r.

Если говорить о физическом значении рассматриваемой величины I, то она показывает, насколько «сильно» система сопротивляется воздействию внешнего момента силы, который пытается ее раскрутить или, наоборот, остановить.

Видео:5. Момент инерции простейших телСкачать

Момент инерции цилиндра относительно оси, его основаниям перпендикулярной

Из приведенной выше формулы можно понять, что величина I является характеристикой всей вращающейся системы, то есть она зависит как от формы тела и распределения в нем массы, так и от относительного положения оси.

В данном пункте рассмотрим простой случай: определить необходимо момент инерции для сплошного цилиндра, ось вращения которого перпендикулярна его основаниям и проходит через гравитационный центр фигуры.

Для решения проблемы применим интегральную формулу для I. В процессе операции интегрирования мысленно разобьем цилиндр на тонкие колечки толщиной dr. Каждое колечко будет иметь объем: dV = 2*pi*r*dr*h, здесь h — высота фигуры. Учитывая, что dm = ρ*dV, где ρ — плотность цилиндра, получаем:

Читайте также: Как вдавить тормозной цилиндр заднего суппорта

I = ∫r 2 dm = ρ*∫r 2 dV = 2*pi*ρ*h*∫r 3 dr

Этот интеграл необходимо вычислить для пределов от 0 до R, где R — радиус фигуры. Тогда получим:

I = 2*pi*ρ*h*∫ R ₀r 3 dr = 2*pi*ρ*h/4*(r 4 )∣ R ₀ = pi*ρ*h*R 4 /2

Воспользовавшись формулой для массы цилиндра через его объем и плотность, приходим к конечному выражению:

Мы получили формулу инерции момента цилиндра однородного. Она показывает, что величина I для этой фигуры в 2 раза меньше, чем для материальной точки аналогичной массы, которая вращается на расстоянии радиуса цилиндра от оси.

Видео:момент инерции цилиндраСкачать

Момент инерции полого цилиндра

Теперь оставим ось на том же месте и найдем значение I для цилиндра с пустотой внутри (втулка, труба). Такую фигуру описывают двумя радиусами: внешним R₁ и внутренним R₂. В этом случае для интегрирования применяется абсолютно тот же подход, что и для сплошного цилиндра, только пределы теперь изменяются от R₂ до R₁. Имеем:

Для дальнейшего упрощения этой формулы воспользуемся разложением на множители выражения в скобках, получим:

Часть этого выражения вместе с первыми скобками является массой полого цилиндра, поэтому получаем конечную формулу:

Отсюда видно, что момент инерции полого цилиндра больше этого значения для сплошного цилиндра аналогичной массы и такого же внешнего радиуса на величину m*R₂ 2 /2. Этот результат не вызывает удивления, поскольку в полом цилиндре центр масс находится от оси вращения дальше, чем в сплошном.

Видео:Расчет момента инерции пластиныСкачать

Величина I для цилиндра, ось вращения которого проходит параллельно плоскостям его основания

В такой системе ось вращения проходит также через центр массы цилиндра, но теперь он лежит как бы на боку (на цилиндрической поверхности, см. рис. ниже).

Расчет для момента инерции цилиндра для такой ситуации является непростой задачей, поскольку требует наличия дополнительных знаний для ее решения. Тем не менее приведем необходимые математические выкладки, чтобы читатели имели более полное представление о проведении интегрирования при вычислении I.

Начинаем решать задачу. Разбиваем сплошной цилиндр на отдельные диски бесконечно малой толщины. Чтобы узнать, каким моментом инерции обладает этот диск относительно оси, которая проходит через него и параллельна его основаниям, необходимо выполнить отдельное интегрирование. Оно дает следующий результат:

Чтобы найти, величину I_i для этого диска относительно уже новой оси, которая рассматривается в задаче, необходимо воспользоваться теоремой Штейнера. Получим:

I_i = R 2 *dm/4 + L 2 *dm, здесь L — расстояние от оси до тонкого диска.

Зная, что dm = pi*R 2 *dL*ρ, подставляем в интегральную формулу для I и проводим интегрирование по пределам (-L₀/2; +L₀/2), имеем:

I = ∫_mI_i = ∫_m(R 2 *dm/4 + L 2 *dm) = pi*R 2 *ρ*∫ L0/2 _-L0/2(R 2 *dL/4 + L 2 *dL)

Решение этого интеграла приводит к конечной формуле:

Видео:Объем и момент инерции однородного шараСкачать

Пример решения задачи

Решим интересную задачу на нахождение осевого момента инерции цилиндра. Пусть он лежит на цилиндрической поверхности, а ось вращения расположена параллельно его основанию и проходит через конец фигуры.

Эта ситуация полностью аналогична рассмотренной в предыдущем пункте, только ось пересекает не гравитационный центр цилиндра, а конец этой фигуры. Тем не менее для решения проблемы можно воспользоваться результатом предыдущего пункта статьи. Применим вышеупомянутую теорему Штейнера, получим:

I = m*R 2 /4 + m*L₀ 2 /12 + m*(L₀/2) 2 = m*R 2 /4 + m*L₀ 2 /3

Этот момент инерции соответствует стержню с осью вращения на его конце.

Видео:Моменты инерции Прямоугольника ► Вывод моментов инерции для прямоугольникаСкачать

Момент инерции цилиндра сплошного и полого: разное положение осей вращения

Знание момента инерции тела позволяет воспользоваться законом сохранения момента импульса либо выражением для описания кругового движения с угловым ускорением. В данной статье рассмотрим, как находить для цилиндра момент инерции при различном положении осей вращения.

Видео:Семинар №6 "Момент инерции. Уравнения моментов" (Чивилев В.И.)Скачать

Момент инерции: математическое определение

Осевой момент инерции вводится в физику благодаря изучению законов вращательного движения тел. Для точки материальной с массой m, вращающейся на расстоянии r от оси, момент инерции будет равен:

В общем же случае для тела, которое имеет произвольное распределение вещества в пространстве (любую геометрическую форму), величину I можно вычислить так:

По сути, это выражение является обобщением предыдущего. В нем производится суммирование (интегрирование) моментов от каждой элементарной частицы dm, дистанция до оси от которой равна r.

Читайте также: Восстановление компрессии в одном цилиндре

Если говорить о физическом значении рассматриваемой величины I, то она показывает, насколько «сильно» система сопротивляется воздействию внешнего момента силы, который пытается ее раскрутить или, наоборот, остановить.

Видео:Какой цилиндр скатится быстрее: сплошной или полый? Разбор задачи.Скачать

Момент инерции цилиндра относительно оси, его основаниям перпендикулярной

Из приведенной выше формулы можно понять, что величина I является характеристикой всей вращающейся системы, то есть она зависит как от формы тела и распределения в нем массы, так и от относительного положения оси.

В данном пункте рассмотрим простой случай: определить необходимо момент инерции для сплошного цилиндра, ось вращения которого перпендикулярна его основаниям и проходит через гравитационный центр фигуры.

Для решения проблемы применим интегральную формулу для I. В процессе операции интегрирования мысленно разобьем цилиндр на тонкие колечки толщиной dr. Каждое колечко будет иметь объем: dV = 2*pi*r*dr*h, здесь h — высота фигуры. Учитывая, что dm = ρ*dV, где ρ — плотность цилиндра, получаем:

I = ∫r2dm = ρ*∫r2dV = 2*pi*ρ*h*∫r3dr

Этот интеграл необходимо вычислить для пределов от 0 до R, где R — радиус фигуры. Тогда получим:

I = 2*pi*ρ*h*∫R0r3dr = 2*pi*ρ*h/4*(r4)∣R0 = pi*ρ*h*R4/2

Воспользовавшись формулой для массы цилиндра через его объем и плотность, приходим к конечному выражению:

Мы получили формулу инерции момента цилиндра однородного. Она показывает, что величина I для этой фигуры в 2 раза меньше, чем для материальной точки аналогичной массы, которая вращается на расстоянии радиуса цилиндра от оси.

Видео:Расчет момента инерции тонкого стержняСкачать

Момент инерции полого цилиндра

Теперь оставим ось на том же месте и найдем значение I для цилиндра с пустотой внутри (втулка, труба). Такую фигуру описывают двумя радиусами: внешним R1 и внутренним R2. В этом случае для интегрирования применяется абсолютно тот же подход, что и для сплошного цилиндра, только пределы теперь изменяются от R2 до R1. Имеем:

I = 2*pi*ρ*h/4*(r4)∣R1R2 = pi*ρ*h*R4/2∣R1R2 = pi*ρ*h/2*(R14-R24)

Для дальнейшего упрощения этой формулы воспользуемся разложением на множители выражения в скобках, получим:

Часть этого выражения вместе с первыми скобками является массой полого цилиндра, поэтому получаем конечную формулу:

Отсюда видно, что момент инерции полого цилиндра больше этого значения для сплошного цилиндра аналогичной массы и такого же внешнего радиуса на величину m*R22/2. Этот результат не вызывает удивления, поскольку в полом цилиндре центр масс находится от оси вращения дальше, чем в сплошном.

Видео:Урок 97. Теорема ШтейнераСкачать

Величина I для цилиндра, ось вращения которого проходит параллельно плоскостям его основания

В такой системе ось вращения проходит также через центр массы цилиндра, но теперь он лежит как бы на боку (на цилиндрической поверхности, см. рис. ниже).

Расчет для момента инерции цилиндра для такой ситуации является непростой задачей, поскольку требует наличия дополнительных знаний для ее решения. Тем не менее приведем необходимые математические выкладки, чтобы читатели имели более полное представление о проведении интегрирования при вычислении I.

Начинаем решать задачу. Разбиваем сплошной цилиндр на отдельные диски бесконечно малой толщины. Чтобы узнать, каким моментом инерции обладает этот диск относительно оси, которая проходит через него и параллельна его основаниям, необходимо выполнить отдельное интегрирование. Оно дает следующий результат:

Чтобы найти, величину Ii для этого диска относительно уже новой оси, которая рассматривается в задаче, необходимо воспользоваться теоремой Штейнера. Получим:

Ii = R2*dm/4 + L2*dm, здесь L — расстояние от оси до тонкого диска.

Зная, что dm = pi*R2*dL*ρ, подставляем в интегральную формулу для I и проводим интегрирование по пределам (-L0/2; +L0/2), имеем:

I = ∫mIi = ∫m(R2*dm/4 + L2*dm) = pi*R2*ρ*∫L0/2-L0/2(R2*dL/4 + L2*dL)

Решение этого интеграла приводит к конечной формуле:

Пример решения задачи

Решим интересную задачу на нахождение осевого момента инерции цилиндра. Пусть он лежит на цилиндрической поверхности, а ось вращения расположена параллельно его основанию и проходит через конец фигуры.

Эта ситуация полностью аналогична рассмотренной в предыдущем пункте, только ось пересекает не гравитационный центр цилиндра, а конец этой фигуры. Тем не менее для решения проблемы можно воспользоваться результатом предыдущего пункта статьи. Применим вышеупомянутую теорему Штейнера, получим:

I = m*R2/4 + m*L02/12 + m*(L0/2)2 = m*R2/4 + m*L02/3

Заметим, что если R Понравилась статья? Поделись с друзьями: