Пусть в цилиндр вписана правильная n-угольная призма. Если число n сторон оснований правильной n-угольной призмы, вписанной в цилиндр, неограниченно возрастает, тогда призма всё меньше и меньше отличается от цилиндра.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается число, к которому стремится площадь боковой поверхности правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон оснований данной призмы неограниченно возрастает.
О площади боковой поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту. Sбок = 2πRh, где R — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.
Пусть Pn и h соответсвенно периметр основания и высота правильной n-угольной призмы, вписанной в цилиндр. Тогда площадь боковой поверхности данной призмы равна Sбок = Pnh.
Пусть число сторон основания призмы n неограниченно растет. Тогда периметр Pn стремится к длине окружности основания цилиндра, в который вписана данная призма, т.е число Pn стремится к числу 2πR. Таким образом площадь боковой поверхности призмы стремится к числу 2πRh.
Статистика посещений | Номер ресурса в БелГИЭ: 137297 | Номер свидетельства в НИРУП «ИППС»: 4141816821
Цилиндр: площадь боковой поверхности. Формула площади боковой поверхности цилиндра
При изучении стереометрии одной из главных тем становится «Цилиндр». Площадь боковой поверхности считается если не главной, то немаловажной формулой при решении геометрических задач. Однако важно помнить и определения, которые помогут сориентироваться в примерах и при доказательстве различных теорем.
Понятие цилиндра
Вначале нужно рассмотреть несколько определений. Только после их изучения можно приступать к рассмотрению вопроса о формуле площади боковой поверхности цилиндра. На основе этой записи можно вычислить и иные выражения.
- Под цилиндрической поверхностью понимают плоскость, описываемую образующей, движущейся и остающейся параллельной заданному направлению, скользящей по имеющейся кривой.
- Имеется и второе определение: цилиндрическую поверхность образуют множество параллельных прямых, пересекающих заданную кривую.
- Образующей называют условно высоту цилиндра. При ее перемещении вокруг оси, проходящей через центр основания, получается обозначенное геометрическое тело.
- Под осью подразумевают прямую, проходящую через оба основания фигуры.
- Цилиндром называется стереометрическое тело, ограниченное пересекающимися боковой поверхностью и 2 параллельными плоскостями.
Читайте также: Диаметры цилиндров для труб
Существуют разновидности данной объемной фигуры:
Условные обозначения
- Радиус основания – R (он же заменяет аналогичную величину стереометрической фигуры).
- Образующая – L.
- Высота – H.
- Площадь основания – Sосн (иначе говоря, необходимо найти указанный параметр круга).
- Высоты скошенного цилиндра – h1,h2 (минимальная и максимальная).
- Площадь боковой поверхности – Sбок (если ее развернуть, то получится своего рода прямоугольник).
- Объем стереометрической фигуры – V.
- Площадь полной поверхности – S.
«Компоненты» стереометрической фигуры
Когда изучается цилиндр, площадь боковой поверхности играет немаловажную роль. Связано это с тем, что данная формула входит в несколько других, более сложных. Поэтому необходимо быть хорошо подкованным в теории.
Основными составляющими фигуры являются:
Читайте также: Из чего сделать форму цилиндра
Основные формулы для работы с цилиндром
Для того чтобы ответить на вопрос, как найти площадь поверхности цилиндра, необходимо изучить основные «компоненты» стереометрической фигуры и формулы их нахождения. 
Данные формулы отличаются тем, что вначале даются выражения для скошенного цилиндра, а затем – для прямого. 
Примеры с разобранным решением
Необходимо узнать площадь боковой поверхности цилиндра. Дана диагональ сечения AC = 8 см (причем оно является осевым). При соприкосновении с образующей получается 
Решение. Поскольку известны величины диагонали и угла, то в таком случае: Комментарий. Треугольник ACD, в конкретном примере, прямоугольный. Это означает, что частное от деления CD и AC = косинусу имеющегося угла. Значение тригонометрических функций можно найти в специальной таблице. Аналогично, можно найти и значение AD: 
Теперь необходимо вычислить по следующей формулировке нужный результат: площадь боковой поверхности цилиндра равна удвоенному результату перемножения «пи», радиуса фигуры и ее высоты. Следует воспользоваться и другой формулой: площадью основания цилиндра. Она равняется результату перемножения «пи» на квадрат радиуса. И наконец, последняя формула: общая площадь поверхности. Она равна сумме предыдущих двух площадей. 
Даны цилиндры. Их объем = 128*п см³. У какого из цилиндров наименьшая полная поверхность? Решение. Для начала нужно воспользоваться формулами нахождения объема фигуры и ее высоты. 
Поскольку площадь полной поверхности цилиндра известна из теории, необходимо применить ее формулу. 
Если рассматривать полученную формулу в качестве функции площади цилиндра, то минимальный «показатель» будет достигнут в точке экстремума. Для получения последнего значения необходимо воспользоваться дифференцированием. Формулы можно посмотреть в специальной таблице по нахождению производных. В дальнейшем найденный результат приравнивается к нулю и находится решение уравнения. 
Ответ: Smin будет достигнута при h = 1/32 см, R = 64 см.
Читайте также: Как сделать макет цилиндра из картона
Дана стереометрическая фигура – цилиндр и сечение. Последнее проведено таким образом, что располагается параллельно оси стереометрического тела. У цилиндра следующие параметры: ВК = 17 см, h = 15 см, R = 5 см. Необходимо найти расстояние между сечением и осью. 
Поскольку под сечением цилиндра понимается ВСКМ, т. е. прямоугольник, то его сторона ВМ = h. Необходимо рассмотреть ВМК. Треугольник является прямоугольным. Исходя из этого утверждения, можно вывести верное предположение, что МК = ВС. Отсюда можно сделать вывод, что МК = ВС = 8 см. Следующий шаг – проведение сечения через основание фигуры. Необходимо рассмотреть получившуюся плоскость. 
AD – диаметр стереометрической фигуры. Он параллелен сечению, упомянутому в условии задачи. BC – прямая, расположенная на плоскости имеющегося прямоугольника. ABCD – трапеция. В конкретном случае она считается равнобедренной, поскольку вокруг нее описана окружность. Если найти высоту полученной трапеции, то можно получить ответ, поставленный в начале задачи. А именно: нахождение расстояния между осью и проведенным сечением. Для этого необходимо найти величины AD и ОС. 
Ответ: сечение располагается 3 см от оси.
Задачи на закрепление материала
Дан цилиндр. Площадь боковой поверхности используется в дальнейшем решении. Известны другие параметры. Площадь основания – Q, площадь осевого сечения – М. Необходимо найти S. Иными словами, полную площадь цилиндра. Дан цилиндр. Площадь боковой поверхности необходимо найти в одном из шагов решения задачи. Известно, что высота = 4 см, радиус = 2 см. Необходимо найти полную площадь стереометрической фигуры. Источник
