Задача ламе для цилиндра (8 видео)

Рассмотрены проблемы теории прочностных расчетов оболочек нефтяных аппаратов до 21МПа и высокого давления до 130МПа.

Содержание

Оглавление
Упругое состояние трубы. Формулы Ламе
Упругое состояние трубы. Формулы Ламе
Модели напряжённо-деформированного состояния толстостенных цилиндров
📸 Видео

Цитата из работы известных авторов Даркова и Шапиро [11.с.596]: «…в связи с полярной симметрией цилиндра и нагрузки, нормальные напряжения являются главными напряжениями…». И дальше, что по площадкам главных напряжений отсутствуют касательные напряжения.

Задача Ламе приведена Г.Ламе во второй части его монографии по теории упругости в качестве примера применения выведенных им уравнений. Обоснованность полученных результатов решения применения формул Г.Ламе к расчету цилиндра определяется фактом отсутствия моментов в расчетной модели и в части замены кольцевого сегмента на кубический элемент. На основании рассмотрения расчетной модели можно сделать вывод о том, что расчетная модель в виде исходных данных к математическим выкладкам является неполной и, следовательно, результат решения задачи Ламе не является вполне корректным. Необходимо использовать подход с расчетной моделью, аналогичные используемым в теории тонких оболочек.

Теория толстых оболочек на основании решений задачи Ламе подробно изложена в работах академика Ильюшина А.А. [7,с.176].

Построение теории толстых оболочек производится для цилиндрической обечайки под действием одновременно внутреннего и внешнего давлений. Из стенки выделяется сегмент:

Почему-то принята расчетная модель сегмента с отсутствием касательных напряжений по боковым граням.

Разделяем понятия твердого тела и математического понятия тензора, которое используют в теории упругости для описания напряжения в точке.

Для осесимметричной оболочки в сферических координатах принято, что тензор напряжений выглядит в виде трапеции с криволинейными основаниями.

Отсутствие касательных напряжений по боковым граням объясняют симметрией такого тензора. Такое обоснование не справедливо, так как эти напряжения удерживают сегмент от вырова из параллельного круга. А на перпендикулярных гранях учитываемые касательные напряжения удерживают параллельные круги от взаимного смещения.

При переходе от прямоугольной системы координат к сферической системе координат меняется математическое описание тензора, но число сил и напряжений остается тем же в количестве 12 векторов.

Как видно, в тензоре в сферических координатах не учитывают касательные напряжения по боковым граням. Кроме того, для сравнения укажем, что эти напряжения присутствуют в расчетной модели теории тонких оболочек.

Читайте также: При такте сжатия в дизельном двс в цилиндре происходит

За счет этого расчетная модель, на которой строится осесимметричная задача теории упругости, являющаяся теорией толстых оболочек является некорректной.

Для плоской задачи теории упругости происходит такое же некорректное отбрасывание касательных напряжений за счет симметрии, как указано в работе Безухова [19,с.138]: «Если распределение напряжений симметрично относительно оси… Из условий симметрии вытекает, что касательное напряжение τ_r

Видео:Какой цилиндр скатится быстрее: сплошной или полый? Разбор задачи.Скачать

Упругое состояние трубы. Формулы Ламе

Видео:Сопротивление материалов. U-01 (задача Ляме, введение).Скачать

Упругое состояние трубы. Формулы Ламе

Упругое состояние трубы. Дурацкая формула. Задача об упругом состоянии толстостенных труб является одной из первых задач теории упругости, решенной ламе(1828). Давайте напишем уравнение закона Гука: Восемь. ф =4 ′ 1 (t?» 8,=4a_v а+м — Последнее

уравнение ® называется функцией напряжения. Формулы (144.2) и

(144.2′) 1-В * Г Ф Е Г Восемь. В Г 1-й г — «У меня есть.» (144.3)§ 144) упругое Людмила Фирмаль

состояние трубы. Хромая формула 321 Таким образом, деформация также представлена функцией напряжения F ® , в то время как неизвестная константа 8G делает уравнение YG и уравнение (144.3) уравнением пригодности деформации (143.6). Он получен после разреза Г.)(=- £- £+ (144.4) Чтобы интегрировать это дифференциальное уравнение, поставьте F-Cr»и присвойте это выражение F в (144.4).

*мы приходим к следующему алгебраическому уравнению экспоненты l: l(l-1) ->-l-1=0. Поскольку корень этого уравнения равен l=H-1, то общий Интеграл уравнения (144.4) можно записать в виде Где A и B-постоянные интегралы. Напряжение AG выражается следующим образом: В (144.5> Это хромая формула д

ля напряжения в толстостенных трубах. Интегральная константа должна быть определена из граничных условий. Пусть внутренний радиус трубы равен a, а внешний — B. Это означает, что радиальное напряжение AG равно-q при g=a и нулю при g=B.) А-4 ″ ЗГ — °- Таким образом, мы находим константы A и B.» Вопрос а * ** * а*’ Б= — г LG LG-и 11ю. Н. Работнов322 труба и диск[гл. ТРИНАДЦАТЫЙ Окончательные формулы для напряжений: (144.6) Для риса. Показан график (график) распределения напряжений для толщины стенки 223. Напряжение

AG определяется по формуле og=5 6g+^_. (144.7)AG, по-видимому, имеет постоянную толщину стенки. Результатом действия внутренних сил в поперечном сечении является сила растяжения или сжатия трубы. Если труба закрыта на концах, то натяжение равно давлению дна, а площадь ее поперечного сечения равна La*. Следовательно, она равна l (B2-A2). Поэтому _qa2a гг-А1

Поперечное сечение R-dla2 (144.8) Людмила Фирмаль

Если мы сравним (144.7) и (144.8), мы можем найти удлинение E2. Если материал трубы несжимаем, то V=Y и ег=0. Потому что og=0 в открытой трубе на конце (например, ствол пистолета в кадре)、 8г= — 2В м А *

Читайте также: Frenkit цилиндры для суппорта

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Видео:Сопротивление материалов. Лекция: Задача ЛамеСкачать

Модели напряжённо-деформированного состояния толстостенных цилиндров

ЗайцевВладимир Юрьевич,кандидат технических наук, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика, ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный технологический университет», ПензГТУ, г.Пензаvluzai@gmail.com

студент го курса, факультет биомедицинских и пищевых технологий и систем, ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный технологический университет», ПензГТУ, г.Пенза

Модели напряжённодеформированного состояния

Аннотация.В статье рассматриваются двухслойная и трехслойная модели напряженнодеформированного состояния составных цилиндров, построенные на основе задачи Ламе. Полученные модели позволяют оценить напряжения и перемещения во внутреннем объеме цилиндрических изделийпод воздействием различных механических нагрузок и выбрать оптимальное конструкторскотехнологического исполнение цилиндрических систем.Ключевые слова:модель, модели напряженнодеформированного состояния, составной цилиндр, механические нагрузки.

Как показывает опыт эксплуатации и проведенные исследования, основными факторами, определяющими долговечность цилиндрических изделий, являются: внешние механические нагрузки; нагрузки, связанные с совершением рабочего цикла; воздействие рабочей и окружающей среды; длительная эксплуатация и хранение.Исследования отказов изделий цилиндрических формпоказывают, с одной стороны, что 9% отказов изделий происходят вследствие механическихи тепловых воздействий при эксплуатации и 8% вследствие воздействия на компоненты изделий агрессивных газовых и жидких сред[2, 3, 4].Традиционно применяемыми при производстве цилиндрических изделий монтажносборочными технологиями являются технологии пайки, сварки, свинчивания, заформовки, зачеканки, заливки, намотки, обволакивания, лакировки, окраски, герметизации[2, 3, 4].Большинство отказов происходит в местах контактирования двух и более различных сред или в непосредственной близости к зоне контактирования, т.е. в местах концентрации напряжения. Поэтому моделирование напряженнодеформированнго состояния толстостенных цилиндровпредставляет значительный интерес с точки зрения обеспечения работоспособности.Для оценки напряжений, в общем случае, рассмотрим цилиндр с внутренним радиусом bи внешним радиусом cрисунок1. Будем полагать, что цилиндр нагружен одновременно и внутренним и внешним давлениями. В дальнейшем,принимая либо , можно будет проанализировать случай действия только внутреннего или только внешнего давления. При расчётах будем полагать, что .

Рисунок 1. Расчетная схема двухслойного цилиндра.Задача определения напряжений и перемещений в толстостенном цилиндре носит название задачи Ламе, которая сводится к следующим уравнениям [1] (1)где С1и С2–произвольные постоянные, r–текущий радиус; (2)где Eи

Модуль упругости и коэффициент Пуассона соответственно. Постоянные интегрирования С1и С2определяем из следующих граничных условий: при , при , т.о. откуда В результате вместо 1 и 2 получим (3) (4)Т.к. большинство изделийконструктивно выполняютсяиз нескольких цилиндров, то для оценки напряжений следует рассмотреть следующие частные случаи:

корпус представляет собой двухслойный цилиндр;

корпус педставляет собой трёхслойный составной цилиндр.Рассмотрим первый частный случай.Допущение. Нагрузка является осесиметричной и вдоль оси цилиндра не меняется.Расчётная схема представлена на рисунке1.Для определения напряжений, возникающих в цилиндре, разобъём его на составные части.Допущение. Посадочные напряжения между цилиндрами отсутствуют.Поддействием статической эквивалентной нагрузки на границе соприкосновения цилиндров возникает контактное давление .Запишем граничные условия:при при Условие сопряжение цилиндровпри Используя формулу 4 и граничные условия, а также учитывая, что;, для первого цилиндра запишем выражение перемещений (5)где ,

Читайте также: Что представляет собой сечение цилиндра проведенное плоскостью перпендикулярно оси

модуль упругости и коэффициент Пуассона материала первого цилиндра.Аналогично запишем выражение перемещений для второго цилиндра (6)где и

модуль упругости, и коэффициент Пуассона материала второго цилиндра.Из условия сопряжения определим контактное давление, приравняв 5 и (6) Обозначив через:

Получим выражение для контактного давления в виде: Определим напряжения, возникающие в цилиндрах.Для первого цилиндра .Для определениянапряжений, возникающих во втором цилиндре, воспользуемся формулой 3 и подставив реальные значения радиусов получим , .Рассмотрим второй частный случай. Допущения:1.Нагрузка является осесимметричной и вдоль оси цилиндра не меняется.2.Посадочные напряжения между цилиндрами отсутствуют.Расчетная схема представлена на рисунке2.

Рисунок 2. Расчетная схема составного трехслойного цилиндра.

Для определения напряжений возникающих в цилиндре разобьём его на составные части.Под действием эквивалентной статической нагрузки на границах соприкосновения цилиндров возникают контактные давления , .Запишем граничные условия:

при r=d .Условия сопряжения цилиндров:при r=b , U1=U2 , при r=c , U2=U3 , Используя формулу(4, граничные условия, а также учитывая, что Рa=0, запишем выражение перемещений для первого цилиндра: . (7)Аналогично запишем выражение для перемещений второго цилиндра (8)Аналогично для третьего цилиндра, причем Pb= P . (9)Используя граничное условие при r=b, U1=U2приравняем 7 и 8 заменив rна bи выразим контактное давление Pk2 через Pk1; или , (10)где

. Используя граничное условие при r=c U2=U3приравняем 8 и 9 заменив rна си выразим контактное давление Pk2через Pk1

.Обозначим через: ; ; ; ;,, или , (11)где , , .Приравнивая 10 и 11 находим Pk1: , Определение напряжений возникающих в цилиндрахДля первого цилиндра Для определения напряжений возникающих во втором цилиндре, воспользуемся формулами 3 и подставив реальные значения радиусов получим. Для определения напряжений третьего цилиндра формулы 3 приобретают вид. Полученные модели позволяют оценить напряжения и перемещения во внутреннем объеме цилиндрапод воздействием различных механических нагрузок и выбрать оптимальное конструкторскотехнологического исполнение цилиндрическихсистем в частности трубопроводов.

Ссылки на источники1.В.И. Феодосьев. Сопротивление материалов. –М., Физматгиз, 96. –56 с.2.Зайцев В.Ю. Корпусирование гетерогенных систем мехатроники, работающих в экстремальных условиях. // НТЖ. Мехатроника, автоматизация, управление. Москва, 004, №5. –с. 445.3.Зайцев В.Ю. Модели тепловых процессов в электромонтажных соединениях. // Научнометодический журнал. «XXIвек: итоги прошлого и проблемы настоящегоплюс. ISSN: 2221951X–Пенза: ПГТА, 0.№6 0. С. 776.4.Зайцев В.Ю., Бородин Е.М. Методыобеспеченияработоспособностиизделий приборостроения. // Научнометодический электронный журнал «Концепт ISSN: 2304120X.