Задача про цилиндр который скатывается (7 видео)

2020-04-12
С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковой массы и одинаковых радиусов. Определите отношение скоростей этих тел на данном уровне; отношение скоростей этих тел в данный момент времени.

Задачи, в которых рассматривается качение тел, можно решать двумя способами: а) рассматривать движение как сложнее, т. е. как поступательное движение центра масс тела и вращательное движение тела относительно оси, проходящей через центр масс; б) рассматривать вращение относительно мгновенной оси.

Так как от скорости тела зависит кинетическая энергия, найдем отношение кинетических энергий на одном уровне. Работа против сил трения не совершается, поэтому по закону сохранения энергии при одинаковом изменении потенциальной энергии должна быть приобретена одинаковая кинетическая энергия

Рассчитаем эту энергию двумя способами.
1-й способ:

где $I_ $ — момент инерции тел относительно оси, проходящей через центр массы.

Для цилиндра $I_ = 0,5 mR^ $, для шара $I_ = 0,4mR^ $. При отсутствии скольжения $\omega = \frac $.

Подставив эти значения в уравнение (2) и учитывая (1), получим

где $I$ момент инерции тел относительно мгновенной оси, проходящей через точку A (рис. ), определяется по теореме Штейнера $I = I_ + mr^ $.

Для цилиндра $I_ = 1,5 mR^ $,
для шара $I_ = 1,4 mR^ $. (5)

Подставив эти значения в уравнение (4) и учитывая (1), получим

Следовательно, на данном уровне скорость шара больше скорости цилиндра.

Скорость в данный момент определяется уравнением

Отношение скоростей $\frac > >$ в данный момент времени определяется отношением линейных ускорений $\frac > >$. При одинаковых радиусах и отсутствии скольжения отношение линейных ускорений равно отношению угловых ускорений $\frac > >$.

Для определения отношения угловых ускорений воспользуемся основным законом динамики вращательного движения

Вращающие моменты относительно мгновенной оси у тел одинаковы $M = mg \sin \alpha \cdot R$.

Учитывая уравнение (5), получаем

Следовательно, в данный момент времени скорость шара больше скорости цилиндра.

Содержание

Скатывание тел с наклонной плоскости
Задача про цилиндр который скатывается
Задача про цилиндр который скатывается
Задача про цилиндр который скатывается
🎥 Видео

Видео:✓ Задача про цилиндр | ЕГЭ-2018. Задание 14. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Скатывание тел с наклонной плоскости

С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).

Сплошной цилиндр массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости — a, а высота Н (Н » R). Начальная скорость цилиндра равна нулю. Определим время скатывания — Т и скорость центра масс цилиндра у основания наклонной плоскости.

При качении цилиндра на него действуют три силы: сила тяжести , упругая сила реакции опоры и сила трения покоя (ведь качение без проскальзывания!).

Представим это движение суммой двух движений: поступательного со скоростью V_C, с которой движется ось цилиндра, и вращательного вокруг оси цилиндра с угловой скоростью w.

Эта связь скоростей поступательного и вращательного движений следует из условия «движение без проскальзывания».

Читайте также: Поршневые уплотнения для гидравлических цилиндров

Продифференцировав уравнение (10.9) по времени, получим соотношение углового и линейного ускорений цилиндра:

Воспользовавшись теоремой о движении точки центра масс, опишем поступательное движение цилиндра:

Для описания вращения воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения:

Спроецировав уравнение (10.10) на направления осей x и y, получим два скалярных уравнения:

Обратимся теперь к уравнению (10.11). Из трёх названных сил момент относительно оси цилиндра создаёт только сила трения:

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси равен (см. лекцию №9):

Учитывая всё это, уравнение (10.11) перепишем так:

Решая совместно уравнения (10.12) и (10.14), получим следующие значения неизвестных величин:

Из уравнения (10.15) следует, что с увеличением угла наклона a должна возрастать и сила трения покоя F_тр. Но, как известно, её рост ограничен предельным значением:

Так как сила трения покоя (10.15) не может превышать предельного значения (10.17), то должно выполняться неравенство:

Отсюда следует, что скатывание будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угол a не превзойдёт значения a_пред:

Здесь m — коэффициент трения цилиндра по плоскости.

Линейное ускорение цилиндра (10.16) величина неизменная, следовательно, поступательное движение цилиндра равноускоренное. При таком движении без начальной скорости цилиндр достигнет основания наклонной плоскости за время:

Здесь: l = — длина плоскости;

Вычислим конечную скорость поступательного движения оси цилиндра:

Заметим, что эту задачу можно решить проще, воспользовавшись законом сохранения механической энергии.

В системе, правда, присутствует сила трения, но её работа равна нулю, поскольку точка приложения этой силы в процессе спуска остаётся неподвижной: ведь движение происходит без проскальзывания. Раз нет работы силы трения, механическая энергия системы не меняется.

Рассмотрим энергию цилиндра в начальный момент — на высоте h и в конце спуска. Полная энергия цилиндра в этих положениях одинакова:

Вспомним, что и . Тогда уравнение закона сохранения энергии можно переписать так:

Отсюда легко найдём конечную скорость цилиндра:

которая блестяще подтверждает полученный нами ранее результат (10.19).

Лекция 11 «Элементы механики жидкости»

1. Давление жидкости. Законы гидростатики.

2. Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности потока.

3. Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

4. Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Задача про цилиндр который скатывается

2018-01-01
На полый цилиндр намотана нить, конец которой закреплен на стойке в верхней точке наклонной плоскости так, что при соскальзывании цилиндра нить все время параллельна наклонной плоскости (рис.). Определить скорость $v_ $ цилиндра в конце плоскости, наклоненной к горизонту под углом $\alpha = 60^ $, если при наклоне $\beta = 30^ $ она равна $v_ $. Длина наклонной плоскости в обоих случаях равна $L$.

Потенциальная энергия $E_ $ цилиндра в конце пути частично израсходуется на работу $A_ $ против сил трения о плоскость, а частично перейдет в кинетическую энергию поступательного движения и вращения:

где $v_ $ — поступательная скорость центра цилиндра, а $v_ $ — линейная скорость поверхности цилиндра при вращении вокруг центра тяжести. Как и в предыдущей задаче, в данном случае

Читайте также: Набор для сведения тормозных цилиндров все инструменты

так как цилиндр скатывается без проскальзывания по нити. При этом скорость нижней точки цилиндра, касающейся плоскости, будет $2v$, и работа против сил трения

где $N$ — сила нормального давления на плоскость, а $k$ — коэффициент трения. Используя (2) и (3), запишем (1) для углов наклона $\alpha$ и $\beta$:

$mgL \sin \alpha = mv_ ^ + 2Lkmg \cos \alpha$,
$mgL \sin \beta = mv_ ^ + 2Lkmg \cos \beta$. (4)

Отсюда, исключая $k$, получим выражение для $v_ $:

которое после подстановки значений $\alpha$ и $\beta$ примет следующий вид:

Видео:Решаем задачу - цилиндр скатывается с горкиСкачать

Задача про цилиндр который скатывается

2018-01-06
По наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ скатываются, касаясь друг друга, два цилиндра одинакового радиуса и одинаковой массы. Один из цилиндров сплошной, а другой пустотелый. С каким ускорением будет двигаться эта система, если известно, что цилиндры постоянно касаются друг друга, а коэффициент трения между ними равен $k$? Считать, что проскальзывание между цилиндрами и наклонной плоскостью отсутствует.

Нижний цилиндр пустотелый (если бы внизу находился сплошной, то он укатился бы вниз без пустотелого, так как момент инерции сплошного цилиндра больше, а значит, скорость, приобретаемая ЦМ за одинаковые приращения энергии каждого из цилиндров, у сплошного больше). Составим уравнения поступательного движения:
для пустотелого цилиндра

Уравнения динамики вращательного движения относительно оси цилиндра имеют вид

где $\epsilon$ — угловое ускорение цилиндра. Моменты инерции цилиндра относительно оси вращения равны $I_ = MR^ $ и $I_ = \frac > $.
Уравнения динамики вращательного движения получат вид

Поскольку между цилиндрами имеет место проскальзывание, сила $T = kN$.
Далее совершаем следующие преобразования:

$2ma = mg \sin \alpha + N — T = mg \sin \alpha + N (1 — k)$,
$\frac = mg \sin \alpha — N — T = mg \sin \alpha — N (1 + k)$,
$a \left ( \frac + \frac \right ) = g \sin \alpha \left ( \frac + \frac \right )$,
$a = \frac = \frac $.

Видео:Скатывание тела (колеса, цилиндра) по наклонной плоскостиСкачать

Задача про цилиндр который скатывается

2017-05-21
По горизонтальному столу может катиться без скольжения цилиндр массы $m$, на который намотана нить. К свободному концу нити, переброшенному через легкий блок, подвешен груз той же массы $m$ (рис.). Система предоставлена сама себе. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом. Задачу решить для полого и сплошного цилиндров.

Система состоит из двух тел — груза и цилиндра, связанных между собой. Поэтому между кинематическими параметрами этих тел существуют определенные соотношения. На груз действуют сила тяжести $m \vec $ и сила натяжения нити:

На цилиндр действуют силы тяжести и нормальной реакции стола, взаимно компенсирующие друг друга, и в горизонтальном направлении — сила натяжения $\vec ^ $ нити и сила трения $\vec _ $ между цилиндром и столом. Обе силы создают вращающие моменты относительно оси цилиндра (предполагаем, что нить намотана так, что обе силы действуют в одной вертикальной плоскости, перпендикулярной оси цилиндра и совпадающей с плоскостью рисунка). Следовательно, цилиндр совершает сложное плоское движение, уравнения которого

Читайте также: Прозрачный цилиндр для упаковки

Чтобы найти связь между $a_ , a_ $ и $\epsilon$, рассмотрим движение точек $M$ и $N$ цилиндра. Цилиндр участвует в двух движениях, и скорость любой его точки $\vec _ = \vec _ + \vec$, где $\vec _ $ — скорость центра масс, т. е. скорость поступательного движения; $\vec_ = \omega \vec _$ — линейная скорость, обусловленная вращением вокруг центра масс. Для точек М и N в проекциях на ось X

$v_ = v_ + \omega r, v_ = v_ — \omega r$.

Продифференцируем эти уравнения:

$a_ = a_ + \epsilon r, a_ = a_ — \epsilon r$,

где $a_ $ и $a_ $ — проекции результирующего ускорения точек М и N на ось X. При отсутствии скольжения $v_ = 0$ и $v_ = \omega r$. Тогда

а горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки М

Если нить, связывающая цилиндр и груз, нерастяжима и не проскальзывает относительно цилиндра, то горизонтальная составляющая результирующего ускорения точки М цилиндра равна ускорению груза. Следовательно,

Очевидно, искомые величины могут быть найдены решением системы уравнений (1) и (2) с учетом соотношений (3) и (4). Однако уравнения (1) и (2) следует заменить скалярными соотношениями, а для этого необходимо знать направление силы трения.

Последняя является силой трения покоя, и направление ее противоположно вектору скорости точки $N$, которую она имела бы при отсутствии трения. Если начальная скорость равна нулю, то $\vec _ $ направлена так же, как горизонтальная составляющая результирующего ускорения $\vec_ $, когда трения нет. В этом случае цилиндр совершает сложное движение и

где $a_ $ и $\epsilon$ — соответственно ускорение центра масс и угловое ускорение цилиндра при отсутствии трения.

Таким образом, направление силы трения можно найти, рассмотрев предварительно задачу без учета силы трения.

Уравнения (2) движения цилиндра без трения примут вид

Запишем момент инерции цилиндра в виде $J = mbr^ $ (для полого цилиндра $b = 1$, для сплошного — $b = frac $) и подставим его в выражение (6):

Так как $b \leq 1$, то $a_ \leq \epsilon r$ и $a_ = a_ — \epsilon r = 0$, то точка N цилиндра не будет скользить по поверхности стола (при любом значении силы $T^ $) и трение не возникнет. Если $a_ $.

Учитывая соотношения (3) и (4), выражение для момента инерции и равенство сил натяжения, перепишем уравнения (7) и (8):

$ma_ = mg — T, ma_ /2 = T + f_ , bmr^ a_ /(2R) = Tr — f_ r$.

Сокращая последнее уравнение на $r$ и решая полученную систему совместно, находим

$a_ = 4g/(5 + b), f_ = mg(1 — b)/(5 + b)$.