Задачи по егэ по математике про цилиндр (6 видео)

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 20 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в два раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Содержание

Решение
Ответ
Задание №911
Условие
Решение
Задачи по егэ по математике про цилиндр
Задачи по егэ по математике про цилиндр
Задачи на тему «Цилиндр»
Основные нюансы, которые стоит вспомнить
Как подготовиться к экзамену качественно и эффективно?
🎦 Видео

Решение

Пусть R — радиус основания первого сосуда, тогда 2 R — радиус основания второго сосуда. По условию объём жидкости V в первом и втором сосуде один и тот же. Обо-значим через H — уровень, на который поднялась жидкость во втором сосуде. Тогда

V=\pi R^2 \cdot 20, и V=\pi (2R)^2H = 4\pi R^2H. Отсюда \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20 = 4H, H =5

Ответ

Видео:Цилиндр, конус и шар в задании 2 | Математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать

Задание №911

Условие

В цилиндрический сосуд налили 2000 см 3 воды. Уровень жидкости оказался равным 15 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см 3 .

Решение

Пусть R — радиус основания цилиндра, а h — уровень воды, налитой в сосуд. Тогда объём налитой воды равен объёму цилиндра с радиусом основания R и высотой h . V _воды = S _осн. · h = \pi R^2\cdot h. Согласно условию выполняется равенство 2000=\pi R^2\cdot15 . Отсюда, \pi R^2=\frac =\frac .

Пусть H — уровень воды в сосуде после погружения в него детали. Тогда суммарный объем воды и детали равен объему цилиндра с радиусом основания R и высотой H . По условию H=h+9=15+9=24. Значит, V _{воды + детали} = \pi R^2\cdot H=\frac \cdot24=3200. Следовательно, V _детали = V _{воды + детали} − V _воды = 3200-2000=1200.

Видео:Задача про ЦИЛИНДР / Как найти объем детали? / Профиль ЕГЭСкачать

Задачи по егэ по математике про цилиндр

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 7. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?

Объём цилиндра находится по формуле:

Найдём объём первого цилиндра:

Найдём объём второго цилиндра:

Найдём отношение объёма второго шара к первому:

Радиус основания цилиндра равен 26, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого сечения.

Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно 4 и 18, а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:

Найдём площадь боковой поверхности первого цилиндра:

Найдём площадь боковой поверхности второго цилиндра:

Найдём отношение площади боковой поверхности цилиндра первого цилиндра ко второму:

Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая равна 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения.

Читайте также: Сорвана резьба в цилиндре скутера

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно

Даны два шара с радиусами 9 и 3. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

Сечение, параллельное оси цилиндра, — прямоугольник. Одна его сторона равна образующей цилиндра. Найдем вторую его сторону из прямоугольного треугольника в основании по формуле: где AB — данная сторона, r — радиус основания цилиндра, а_h — расстояние от сечения до оси цилиндра. Таким образом, площадь данного сечения равна 18 · 10 = 180.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Где СH — половина его диагонали: а его площадь равна По теореме Пифагора находим высоту данной пирамиды Отсюда ее объем равен:

Площади шаров относятся как квадраты их радиусов, следовательно, площадь второго шара в раз больше площади первого.

Видео:✓ Задача про цилиндр | ЕГЭ-2018. Задание 14. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Задачи по егэ по математике про цилиндр

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара (см. рис.).

Площадь основания цилиндра:

Площадь боковой поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности цилиндра:

Поскольку площадь поверхности шара дается формулой имеем:

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Заметим, что конус и цилиндр имеют общую высоту и равные радиусы основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна откуда, учитывая, что получаем: или

Образующая конуса его высота и радиус основания связаны соотношением откуда, учитывая, что получаем: или

Площадь боковой поверхности конуса равна следовательно:

Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса является центром другого основания цилиндра. Каждая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°.

а) Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны

б) Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а так

же одного из оснований цилиндра, если известно, что объем конуса равен

а) Пусть радиус основания цилиндра равен а высота Тогда тангенс угла наклона образующей есть откуда и образующая конуса равна Вычислим теперь площади боковой поверхности цилиндра и конуса. Это и что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим сечение цилиндра и конуса осевой плоскость, проходящей через центр сферы. Все точки касания будут лежать в этой плоскости. В сечении получим окружность, вписанную в прямоугольный треугольник со сторонами поэтому ее радиус равен

C другой стороны, как мы знаем,

откуда поэтому искомый радиус равен 1.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Задачи на тему «Цилиндр»

\(\blacktriangleright\) Ось цилиндра – прямая, соединяющая центры его оснований.
Отрезок, соединяющий центры оснований – высота.

\(\blacktriangleright\) Образующая цилиндра – перпендикуляр, проведенный из точки границы одного основания к другому основанию.
Заметим, что образующая и высота цилиндра равны друг другу.

Читайте также: Цилиндр для замка 110мм

\(\blacktriangleright\) Площадь боковой поверхности цилиндра \( >=2\pi rh>>\) , где \(r\) – радиус основания, \(h\) – высота (или образующая).

\(\blacktriangleright\) Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований. \[ >=2\pi rh+2\pi r^2>>\]

\(\blacktriangleright\) Объем цилиндра \( >\cdot h=\pi r^2h>>\)

Заметим, что прямой цилиндр имеет некоторое сходство с прямой призмой, только в ее основаниях лежат многоугольники (граница которых – ломаная), а в основаниях цилиндра – круги (граница которых гладкая).
Поэтому можно сказать, что боковая поверхность прямой призмы “ребристая”, а цилиндра – “гладкая”.

Про прямые круговые цилиндры \(C_1\) и \(C_2\) известно, что у \(C_1\) радиус основания в два раза больше, чем у \(C_2\) , но у \(C_2\) высота в три раза больше, чем у \(C_1\) . Найдите отношение объёма цилиндра \(C_2\) к объёму \(C_1\) .

Обозначим высоту цилиндра \(C_1\) через \(h_1\) , а высоту цилиндра \(C_2\) через \(h_2\) . Обозначим радиус основания цилиндра \(C_1\) через \(r_1\) , а радиус основания цилиндра \(C_2\) через \(r_2\) . Тогда \[r_1 = 2r_2,\qquad h_2 = 3h_1\,.\]

Объём цилиндра \(C_1\) равен \(\pi ^2 h_1 = 4\pi ^2 h_1\) , а объём цилиндра \(C_2\) равен \(3\pi ^2 h_1\) , тогда \[\dfrac > > = \dfrac ^2 h_1> ^2 h_1> = 0,75\]

Объем цилиндра равен \(64\pi\) , а площадь боковой поверхности равна \(32\pi\) . Найдите площадь полной поверхности цилиндра, деленную на \(\pi\) .

Формулы для нахождения объема и боковой поверхности цилиндра: \(V = \pi R^2 h\) , \(S_ > = 2\pi R h\) . Зная величину объема и боковой поверхности, можно выразить радиус цилиндра: \[\frac >> = \frac = \frac = \frac = 2\] \(\Rightarrow\) \(R = 4\) . Площадь полной поверхности складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований: \[S_ > = 2\pi R h + 2 \pi R^2 = 32\pi + 2 \cdot 16\pi = 64\pi.\] Осталось разделить полученный объем на \(\pi\) , тогда окончательно получаем \(64\) .

Объем цилиндра равен \(100\pi\) , а площадь боковой поверхности равна \(25\pi\) . Найдите высоту цилиндра.

Формулы для нахождения объема и боковой поверхности цилиндра: \(V = \pi R^2 h\) , \(S_ > = 2\pi R h\) . Зная величину объема и боковой поверхности, можно выразить радиус цилиндра: \[\frac >> = \frac = \frac = \frac = 4\] \(\Rightarrow\) \(R = 8\) . Подставим значение радиуса в формулу объема и найдем из этой формулы искомую высоту: \[V = \pi R^2 h = 64\pi h = 100\pi\] \(\Rightarrow\) \(\displaystyle h = \frac = 1,5625\) .

Объём цилиндра \[V = \dfrac >,\] а отношение радиуса его основания к его высоте равно \(5\) . Найдите площадь полной поверхности этого цилиндра.

\[V_ > = \pi R^2 H = \dfrac >,\] \(\dfrac = 5\) , где \(R\) – радиус основания цилиндра, \(H\) – его высота, тогда \(R = 5H\) , следовательно, \[\pi \cdot 25 H^3 = \dfrac >\qquad\Rightarrow\qquad H^3 = \dfrac >,\] откуда \(H = \dfrac >\) , \(R = \dfrac >\) . \[S_ > = 2\pi R H + \pi R^2 = 2\pi R(H + R) = 2\pi\cdot\dfrac >\cdot\dfrac > = 240.\]

\(AD\) – ось цилиндра, \(BC\) – его образующая, \(S_ = \dfrac > >\) , \(\angle CAD = 60^\circ\) . Найдите объём цилиндра.

Читайте также: Семена свекла столовая цилиндра поиск

Так как \(AD\) и \(BC\) – высоты цилиндра, то \(ABCD\) – прямоугольник, тогда \[S_ = AD\cdot DC = H\cdot R = \dfrac > >.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADC\) :
Т.к. \(\angle DAC = 60^\circ\) , то \[AD = \mathrm \, \angle ACD\cdot DC = \mathrm \, 30^\circ\cdot R = \dfrac >,\] т.е. \(H = \dfrac >\) или \(R = \sqrt H\) .

Повторение базовой теории и формул, в том числе и тех, которые позволяют выполнить расчет объема цилиндра, — один из основных этапов подготовки к ЕГЭ. Несмотря на то, что эта тема достаточно подробно рассматривается на уроках математики в школе, с необходимостью вспомнить основной материал и «прокачать» навык решения задач сталкиваются многие учащиеся. Понимая, как вычислить объем и другие неизвестные параметры цилиндра, старшеклассники смогут получить достаточно высокие баллы по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Видео:🔴 Даны две кружки цилиндрической формы ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Основные нюансы, которые стоит вспомнить

Чтобы вопрос, как посчитать объем цилиндра и выполнить измерение других неизвестных параметров при решении задач, не ставил ученика в тупик, рекомендуем повторить основные свойства этой фигуры прямо сейчас в режиме онлайн.

Цилиндр представляет собой тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью и двумя кругами. Цилиндрическая поверхность является боковой. А круги представляют собой основания фигуры.
Высота цилиндра есть расстояние между плоскостями его оснований.
Все его образующие являются параллельными и равными между собой.
Радиус цилиндра есть радиус его основания.
Фигура называется прямой, если ее образующие перпендикулярны основаниям.

Видео:ВСЯ СТЕРЕОМЕТРИЯ НА БАЗОВЫЙ ЕГЭ-2024 // КОНЦЕНТРАТ // МАТЕМАТИКАСкачать

Как подготовиться к экзамену качественно и эффективно?

Занимаясь накануне прохождения аттестационного испытания, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска необходимой информации. Далеко не всегда школьный учебник оказывается под рукой, когда это требуется. А найти формулы, которые помогут рассчитать площадь и другие неизвестные параметры цилиндра, часто бывает достаточно сложно даже в Интернете в онлайн-режиме.

Занимаясь вместе с математическим порталом «Школково», выпускники смогут избежать типовых ошибок и успешно сдать единый госэкзамен. Мы предлагаем выстроить процесс подготовки по-новому, переходя от простого к сложному. Это позволит учащимся определить непонятные для себя тематики и ликвидировать пробелы в знаниях.

Весь базовый материал, который поможет в решении задач на тему «Цилиндр», выпускники смогут найти в разделе «Теоретическая справка». Специалисты «Школково» изложили с доступной форме все необходимые определения и формулы.

Для закрепления полученных знаний учащиеся могут попрактиковаться в решении задач на тему «Цилиндр» и другие темы, например, нахождение площади или объема конуса. Большая, постоянно обновляющаяся подборка заданий представлена в разделе «Каталог».

Чтобы во время подготовки к ЕГЭ быстро найти конкретную задачу по теме «Цилиндр» и освежить в памяти алгоритм ее решения, выпускники могут предварительно сохранить ее в «Избранное». Отрабатывать собственные навыки на нашем сайте имеют возможность не только столичные школьники, но и учащиеся из других российских городов.