Задания егэ цилиндр конус (6 видео)

В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

а) Осевым сечением является равнобедренный треугольник боковые стороны которого являются образующими конуса, а основанием — его диаметр, и вписанная в треугольник окружность, радиус которой равен радиусу шара (см. рис.).

б) Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть — центр вписанной окружности, отрезок — биссектриса угла и пусть имеем:

Тогда Для площадей поверхностей конуса и шара имеем: Тем самым, искомое отношение равно или 8:3.

Если записать 2.67, то это будет ошибкой?

Естественно. Это ж другое число.

Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60°.

а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).

б) Найдите объем данной пирамиды.

а) Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию, следовательно, они вместе со своими проекциями и выстой пирамиды образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Таким образом, проекцией вершины является центр описанной окружности основания. Проведем через этот центр прямую, перпендикулярную основанию (она будет содержать высоту пирамиды). Построенная прямая — множество точек, равноудаленных от вершин основания. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную боковому ребру и проходящую через его середину. Все точки этой плоскости равноудалены от концов ребра. Точка пересечения этой плоскости и ранее построенной прямой будет равноудалена ото всех вершин пирамиды и потому является центром описанной сферы.

б) Поскольку трапеция вписанная, то она равнобедренная. Опустим из вершины меньшего основания высоту h на большее основание, она разобьет основание на отрезки длиной 9 и 16. Тогда боковая сторона Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг трапеции, удалим мысленно одну из вершин меньшего основания и найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершинами которого являются три оставшиеся вершины трапеции. Высота трапеции Диагональ Значит, окружность описана около треугольника со сторонами 25, 15, 20. Он прямоугольный, значит, центр описанной окружности трапеции находится на большем основании, а ее радиус R = 12,5.

Таким образом, высота пирамиды падает в середину большего основания и вершина пирамиды вместе с концами большего основания образует равносторонний треугольник (два его угла по поэтому высота пирамиды Тогда объем пирамиды

Читайте также: Цилиндр в замок mul t lock

Видео:Задания 11, 13 (часть 4) | ЕГЭ 2024 Математика (база) | Цилиндр, конусСкачать

Задания егэ цилиндр конус

В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Тогда Для площадей поверхностей конуса и шара имеем: Тем самым, искомое отношение равно или 8:3.

Если записать 2.67, то это будет ошибкой?

Естественно. Это ж другое число.

а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).

б) Найдите объем данной пирамиды.

Читайте также: Рабочий цилиндр сцепления форд транзит коннект

Видео:Цилиндр, конус и шар в задании 2 | Математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать

Задания егэ цилиндр конус

Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем меньшего конуса в восемь раз меньше объема большего конуса.

Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите

где —площадь основания, а — высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в °: — он вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора:

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

где — площадь основания, а — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

V=1/3Sh-это формула объёма пирамиды!

Она же формула объема конуса.

Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, высоту конуса можно уменьшить в 3 раза (вообще говоря, в n раз) : 1) полагая неизменным основание (радиус основания) конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию конуса проводится сечение, делящее высоту в отношении 1:3 (1:n), и получается отсечённый конус с высотой, уменьшенной в 3 раз (в n раз). Во втором случае, учитывая, что меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/3, а объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем меньшего конуса в 27 раз меньше объема большего конуса.

В добавление замечу, что возможен ещё третий случай, когда высота конуса уменьшается в 3 раза (вообще говоря, в n раз): если образующая не меняется. При этом изменяются телесный угол (увеличивается), а радиус основания (увеличивается), так как образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора. В данном случае ответ будет соответствующим образом зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса. Например, если у исходного конуса положить угол между образующей и плоскость основания равным 45 град., то, в результате несложных вычислений, мы получим объём конуса (с уменьшенной в 3 раза высотой и той же самой образующей): V2 = 17/27*V1 или V2/V1 = 17/27.

Читайте также: Попадание песка в цилиндре

Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 1,5 раза, а высота останется прежней?

где — площадь основания, —высота конуса, а — радиус основания. При увеличении радиуса основания в 1,5 раза объем конуса увеличится в 2,25 раза.

Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, радиус основания конуса можно увеличить в 1,5 раза (вообще говоря, в n раз): 1) полагая неизменной высоту конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию исходного конуса проводится сечение конической поверхности (часть которой является боковой поверхностью исходного конуса), проходящее через точку на продолжении высоты конуса, отстоящую от вершины в 1,5 раза (в n раз) дальше основания высоты исходного конуса, и, таким образом, получается отсечённый конус с радиусом, увеличенным в 1,5 раза (в n раз), так как больший конус подобен меньшему с коэффициентом 1,5; или 3) полагая неизменной образующую конуса (при этом, изменяются телесный угол (увеличивается) и высота конуса (уменьшается), а образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора).

Во втором случае, учитывая, что объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем большего конуса в 3,375 раза (в n в кубе раз) больше объёма меньшего конуса, то есть, объём конуса увеличится в 3,375 раза (в общем случае – в n в кубе раз).

В третьем случае ответ будет зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса (так как образующая, высота и радиус основания связаны по теореме Пифагора).

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на

По теореме Пифагора найдем, что радиус основания равен Тогда объем конуса, деленный на :