Закон фурье для цилиндра

Видео:Интуитивное понимание формулы теплопроводности (часть 11) | Термодинамика | ФизикаСкачать

Постановка задачи и вывод дифференциального уравнения теплопроводности для сплошного цилиндра. Аналитическое решение.

Дифференциальное уравнение теплопроводности выводится на основе закона сохранения энергии. Из всего рассматриваемого объема выделим элементарный объем dV и процесс будем рассматривать в течении элементарного промежутка времени.

· Тепло физические параметры среды постоянны

· Температурной деформацией пренебрегаем

· Внутренний источник тепла , если он есть, распределен по всему объему

dQ₁ – количество тепла подведенного к рассматриваемому объему dV за время dτ за счет процессов электропроводности

dQ₂ – количество тепловой энергии, которой выделяется на dV за dτ за счет действия внутреннего источника тепла

dQ – изменение внутренней энергии рассматриваемого объема за dτ (изменение энтальпии тела).

Ø Методы переноса тепла: теплопроводность, тепловая конвекция, излучение

Ø Конвективный обмен – возможен только в подвижных средах. Перенос осуществляется только за счет перемещение самого вещества.

Ø Тепловое излучение – перенос тепла происходит в 2 этапа. Сначала тепло преобразуется в тепловую энергию, а затем обратно.

Ø Теплопроводность – перенос тепла в твердых телах, жидкостях или газах, если жидкость и газы неподвижны.

Механизм данного явления объясняется на основании молекулярно — кинетических изменений. Перенос энергии осуществляется вследствие теплового движения и энергетического взаимодействия между микрочастицами (молекулами, атомами, электронами), из которых состоит данное тело.

Теплопроводность в чистом виде существует только в твердых телах. А в подвижных средах теплообмен осуществляется за счет теплопроводности, конвекции и излучения.

По теплопроводности тепло распространяется от нагретых участков к холодным, то есть в сторону убывания температуры.

Температура определяет степень нагретости тела.

Процесс теплопроводности неразрывно связан с распределением температуры внутри тела, поэтому необходимо дать определение температурному полю и градиенту температуры:

— температурным полем называется совокупность значений температуры в каждой точке пространства в данный момент времени

Геометрическое место точек в пространстве имеющих одинаковую температуру, называется изотермической поверхностью

Поскольку любая точка пространства в данный момент времени может иметь только одно значение температуры, то изотермические поверхности не пересекаются →

— температурный градиент – предел отношения изменения температуры ΔТ к расстоянию между изотермами по нормали Δn.

Lim (ΔТ / Δn) _Δn→0 = = grad T. -единичный вектор

Является вектором, направленным по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры его размерность [ 0 С/м]

Наибольшее изменение температуры может происходить по нормали к изотермическим поверхностям.

· Количества тепла, прошедшего через произвольную изотермическую поверхность за некоторый интервал времени τ – будем обозначать P [Вт]

· Количества тепла, прошедшего через произвольный изотермическую поверхность в единицу времени будем обозначать – тепловой поток Q [Дж].

Читайте также: В цилиндре площадь основания которого равна 100 см2

· Тепловой поток отнесенный к единице поверхности, называется плотностью теплового потока – q [Вт/м 2 ]

· Закон Фурье (связь q и grad T). Фурье экспериментально установил что, количество переданного тепла пропорционально падению температуры, времени и площади сечения, перпендикулярного направлению распространению тепла

· λ – коэффициент теплопроводности – представляет собой количество тепла, которое роходит в единицу времени через один квадратный метр изотремической поверхности при температурном градиенте =1

В общем случаи λ зависит от температуры

· С – теплоемкость – количество энергии необходимого для нагрева 1 кг вещества на 1 градус. [Дж/кг 0 С]

dQ_X = q_X * dY * dZ * dτ

dQ₂ = q_V dV dτ, где q_V – количества тепла выделившегося в единице объема в единицу времени (внутренний источник тепла).

dQ = dU = ρ C dV dτ , где ρ – плотность среды [кг/м 3 ]

Из закона Фурье:

а – коэффициент температура проводность [м 2 / 0 С]

Постановка задачи:

1. рассматриваем сплошной цилиндр

3. цилиндрическая система координат

4. теплофизические свойства постоянны

5. внутреннего источника тепла нет (q_V =0)

Переходим от декартовой системы координат к цилиндрической:

Оператор Лапласа для цилиндрической системы координат запишется:

С учетом поставленной задачи получаем:

Охлаждение (нагревание) бесконечного длинного цилиндра.

Цилиндр радиусом г₀ отдает теплоту окружающей среде через свою боковую поверхность; коэффициент теплоотдачи α во всех точках поверхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего периода охлаждения. Температура среды Tcp постоянна. В начальный момент времени при τ = 0 температура является некоторой функцией T (r, 0) = f (r). При этих условиях уравнение теплопроводности принимает вид:

Граничные и начальные условия:

· при τ = 0 и 0 0 и r = 0

· при τ > 0 и r = r₀

Сформулированную задачу решим с помощью разделения переменных, т. е.

(r, τ) = φ (τ) ψ (r).

Подставив это выражение в уравнение (*),получим два обыкновенных дифференциальных уравнения вида

Если обозначить kr₀ = μ , тогда частное решение уравнения (*) будет иметь вид:

где — коэффициент температуро-проводность

Постоянная μ определяется из граничных условий (r= r₀), решение которых приводит к характеристическому уравнению:

(2) где J₁, (μ) — функция Бесселя первого рода первого порядка.

Уравнение (+) является трансцендентным, и его удобно решать графическим способом, обозначив:

· Отметим, что у₂ обращается в нуль в тех точках, для которых Jo (μ) = 0.

· В тех точках, в которых функция J₁ (μ₁) обращается в нуль, функция у₂ претерпевает разрыв непрерывности и становится равной ± оо.

Функ­ции Jo (μ) и J₁ (μ) являются периодическими затухающими функциями.

Читайте также: Цилиндры для автомобильных замков

— Кривая у₂ = напоминает котангенсоиду, но с убывающим периодом.

— Функция у₁ графически представляет прямую линию, проходящую через начало координат.

Выполнив построение, как показано на рис, в точках пересечения функции у₂ с прямой у₁ получим значения корней характеристического уравнения

Из рис следует, что уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений, а сами корни, представляют ряд возрастающих чисел, т. е. μ₁ 100) прямая совпадает с осью абсцисс и корни характеристического уравнения не зависят от Bi, а определяются из условий

· Если рассматривать охлаждение цилиндра при условии Bi → 0

· Если Fo ≥ 0,25, при вычислении безразмерной температуры можно ограничиться первым членом ряда. Допускаемая при этом ошибка не превысит 1 %.

Дата добавления: 2016-04-19 ; просмотров: 2674 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:ЗАЧЕМ в жизни нужно преобразование Фурье? В Первом Приближении. Чуть-Чуть о Науке #НаукаСкачать

Закон Фурье – основной закон теплопроводности.

В 1807 году французский ученый Фурье доказал экспериментально, что во всякой точке тела (вещества) в процессе теплопроводности присуща однозначная взаимосвязь между тепловым потоком и градиентом температуры:

,

где Q – тепловой поток, выражается в Вт;

grad(T) – градиент температурного поля (совокупности числовых значений температуры в разнообразных местах системы в выбранный момент времени), единицы измерения К/м;

S – площадь поверхности теплообмена, м 2 ;

Градиент температуры получится характеризовать в виде векторной суммы составляющих по осям декартовых координат:

,

где i, j, k – ортогональные между собой единичные векторы, нацеленные по координатным осям.

Значит, данный закон устанавливает величину теплового потока при переносе тепла посредством теплопроводности.

Закон Фурье для поверхностной плотности теплового потока принимает вид:

.

Знак « минус» обозначает, что векторы теплового потока и градиента температуры разнонаправленные. Следует понимать, что теплота передается в направлении спада температуры.

И все же не лишним будет указать, что закон Фурье не принимает в расчет инерционность процесса теплопроводности, иначе говоря, в представленной модели колебание температуры в любой точке мгновенно распространяется на всё тело. Закон Фурье некорректно применять для характеристики высокочастотных процессов таких как, к примеру, распространение ультразвука, ударной волны.

Видео:AGalilov: Преобразование Фурье "на пальцах"Скачать

Закон Фурье

Теплопрово́дность — это перенос теплоты структурными частицами вещества (молекулами, атомами, электронами) в процессе их теплового движения. Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния вещества. Явление теплопроводности заключается в том, что кинетическая энергия атомов и молекул, которая определяет температуру тела, передаётся другому телу при их взаимодействии или передаётся из более нагретых областей тела к менее нагретым областям. Иногда теплопроводностью называется также количественная оценка способности конкретного вещества проводить тепло.

Исторически считалось, что передача тепловой энергии связана с перетеканием теплорода от одного тела к другому. Однако более поздние опыты, в частности, нагрев пушечных стволов при сверлении, опровергли реальность существования теплорода как самостоятельного вида материи. Соответственно, в настоящее время считается, что явление теплопроводности обусловлено стремлением занять состояние более близкое к термодинамическому равновесию, что выражается в выравнивании температуры.

Читайте также: Зеркальный цилиндр что это

В установившемся режиме поток энергии, передающейся посредством теплопроводности, пропорционален градиенту температуры:

где — вектор потока тепла — количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной каждой оси, — коэффициент теплопроводности (иногда называемый просто теплопроводностью), T — температура. Это выражение известно как закон теплопроводности Фурье.

В интегральной форме это же выражение запишется так (если речь идёт о стационарном потоке тепла от одной грани параллелепипеда к другой):

где P — полная мощность тепловых потерь, S — площадь сечения параллелепипеда, ΔT — перепад температур граней, h — длина параллелепипеда, то есть расстояние между гранями.

Коэффициент теплопроводности измеряется в Вт/(м·K).

Видео:Учебный фильм - ТеплообменСкачать

Коэффициенты теплопроводности различных веществ

На практике нужно также учитывать проводимость тепла за счет конвекции молекул и проникаемости излучений. Например, при полной нетеплопроводности вакуума, тепло может передаваться за счет излучения (пример — Солнце, установки инфракрасного излучения). А газ или жидкость могут обмениваться нагретыми или охлажденными слоями самостоятельно или искусственно (пример — фен, греющие вентиляторы).

Видео:Л1 - Теплопроводность. Закон Фурье.Скачать

Коэффициент теплопроводности вакуума

Коэффициент теплопроводности вакуума стремится к нулю. Это связано с низкой концентрацией в вакууме материальных частиц, способных переносить тепло. Тепло в вакууме передаётся только излучением. Поэтому для уменьшения теплопотери стенки термоса делают двойными, серебрят (такая поверхность хуже излучает и лучше отражает), а воздух между ними откачивают.

Видео:ТеплопроводностьСкачать

Связь с электропроводностью

Связь коэффициента теплопроводности K с удельной электрической проводимостью σ в металлах устанавливает закон Видемана — Франца:

Видео:ТеплопроводностьСкачать

Обобщения закона Фурье

Следует отметить, что закон Фурье не учитывает инерционность процесса теплопроводности, то есть в данной модели изменение температуры в какой-то точке мгновенно распространяется на всё тело. Закон Фурье не применим для описания высокочастотных процессов (и, соответственно, процессов, чьё разложение в ряд Фурье имеет значительные высокочастотные гармоники). Примерами таких процессов являются распространение ультразвука, ударные волны и т. д. Инерционность в уравнения переноса первым ввел Максвелл [1] , а в 1948 году Каттанео был предложен вариант закона Фурье с релаксационным членом: [2]

Если время релаксации τ пренебрежимо мало, то это уравнение переходит в закон Фурье.

🌟 Видео

Закон БернуллиСкачать

Теплопроводность цилиндрической стенкиСкачать

Основы теплотехники. Второй закон термодинамики. Энтропия. Теорема Нернста.Скачать

С1 - Расчёт теплопроводности в твёрдых телах.Скачать

Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]Скачать

Походная фляга или закон КирхгофаСкачать

Закон диффузии ФикаСкачать

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Закон и уравнение теплопроводностиСкачать

Лекция 3.4 Теплопроводность. Основные понятия теплопроводности Закон Фурье.Скачать

Теплопроводность плоской стенкиСкачать